鄭亞男, 袁宏俊, 莊科俊

( 安徽財經(jīng)大學 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學學院， 安徽 蚌埠 233030 )

0 引言

在預(yù)測過程中，不同的單項預(yù)測方法能夠提供不同的有效信息.1969年， J.M.Bates等首次提出了組合預(yù)測方法[1]，該方法的思想是利用各單項方法的有效信息，取長補短，提高預(yù)測的精準度.此后，國內(nèi)外學者對組合預(yù)測方法進行了深入研究，并取得了一些成果[2-10].在實際的經(jīng)濟研究中，經(jīng)常會面臨變量取值不確定的情形，如研究股價的變動時，分別使用開盤價和收盤價會產(chǎn)生不同的結(jié)果.區(qū)間數(shù)據(jù)可以很好地表達動態(tài)事件，因此對區(qū)間型組合預(yù)測進行研究具有重要意義.陳華友等[11]引入誘導(dǎo)有序加權(quán)平均(induced ordered weighted averaging,IOWA)算子，以相關(guān)系數(shù)為最優(yōu)目標函數(shù)建立了多目標區(qū)間組合模型，并結(jié)合實例驗證了模型的精度優(yōu)于單項預(yù)測方法.胡凌云等[12]在區(qū)間數(shù)距離最小的準則下，使用誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)對數(shù)平均(induce generalized ordered weighted logarithmic averaging,IGOWLA)算子集結(jié)數(shù)據(jù)建立了變權(quán)的區(qū)間型組合預(yù)測模型，實證結(jié)果顯示該模型預(yù)測精度優(yōu)于傳統(tǒng)的定權(quán)組合預(yù)測模型.袁宏俊等[13]構(gòu)造了連續(xù)區(qū)間有序幾何加權(quán)平均Power (continuous ordered weighted geometric-weighted Power averaging,COWG -WPA)算子，在廣義絕對誤差λ次和最小的準則下建立了基于COWG -WPA算子的區(qū)間型組合預(yù)測模型，實例驗證表明該方法能夠顯著提高預(yù)測的精度.本文在已有的文獻基礎(chǔ)上，選取區(qū)間相離度作為衡量組合預(yù)測區(qū)間數(shù)序列與實際區(qū)間數(shù)序列的準則，并引入GIOWA算子，提出基于區(qū)間相離度及GIOWA算子的區(qū)間型組合預(yù)測方法，并通過實例驗證該方法的預(yù)測精度.

1 基本概念

定義3[15]設(shè)有兩區(qū)間數(shù)X1=[a1,b1]，X2=[a2,b2]， 定義X1、X2的相離度函數(shù)為

如果d(X1,X2)是區(qū)間數(shù)X1與X2的相離度函數(shù)，則：

1)d(X1,X2)≥0；

2)d(X1,X2)=d(X2,X1)；

3)d(X1,X2)=0當且僅當X1=X2.

其次證明d(X1,X2)=0 ?X1=X2.d(X1,X2)=0 ? |b2-b1|+|a2-a1|=0, 因此

即X1=X2.

由定理1可知，區(qū)間數(shù)相似度函數(shù)可用于刻畫兩個區(qū)間數(shù)的偏離程度.相似度函數(shù)越接近于0，表示兩個區(qū)間數(shù)越接近.特別地，當d(X1,X2)=0時，表示兩個區(qū)間數(shù)完全重合.因此，可以將兩個區(qū)間數(shù)的相離度函數(shù)進行擴展，應(yīng)用于描述兩個區(qū)間數(shù)序列的偏離程度.為使組合預(yù)測值與實際值區(qū)間相離度達到最小，本文提出基于區(qū)間相離度最小的區(qū)間型組合預(yù)測方法.

2 基于區(qū)間相離度及GIOWA算子的區(qū)間型組合預(yù)測方法

2.1 區(qū)間數(shù)組合預(yù)測值的構(gòu)造

顯然有vi t∈[0,1],t=1,2,…,N;i=1,2,…,m.

由此可以得出，組合預(yù)測區(qū)間數(shù)預(yù)測值為

2.2 實際值序列與各組合預(yù)測方法預(yù)測值序列區(qū)間相離度的計算

根據(jù)定義3計算第i種單項預(yù)測方法預(yù)測值序列與實際值序列之間的區(qū)間相離度：

由GIOWA算子集結(jié)得到的組合預(yù)測值序列與實際值序列之間的區(qū)間相離度為

2.3 基于區(qū)間相離度及GIOWA算子的區(qū)間型組合預(yù)測方法的構(gòu)造

由GIOWA算子集結(jié)得到的組合預(yù)測值序列與實際值序列之間的區(qū)間相離度可以表示為

從上式可以看出，區(qū)間相離度d是各單項預(yù)測方法權(quán)重W的函數(shù).根據(jù)上述分析，預(yù)測值序列與實際值序列區(qū)間相離度越小，則二者越接近.因此，可以得到如下最優(yōu)區(qū)間型組合預(yù)測方法(Ⅰ)：

2.4 區(qū)間型組合預(yù)測方法的有效性

1)若d(w1,w2,…,wn)

2)若dmin≤d(w1,w2,…,wn)≤dmax， 稱基于區(qū)間數(shù)相離度及GIOWA算子的區(qū)間型組合預(yù)測方法是非劣性區(qū)間組合預(yù)測；

3)若d(w1,w2,…,wn)>dmax， 稱基于區(qū)間數(shù)相離度及GIOWA算子的區(qū)間型組合預(yù)測方法是劣性區(qū)間組合預(yù)測.

2.5 區(qū)間型組合預(yù)測方法的精度檢驗

3 實例分析

選取文獻[16]的數(shù)據(jù)驗證本文預(yù)測方法的有效性，具體數(shù)據(jù)見表1所示.

表1 實際區(qū)間數(shù)和3種單項預(yù)測區(qū)間數(shù)及其等價形式

3.1 計算區(qū)間型組合預(yù)測值

根據(jù)定義4及表1的數(shù)據(jù)，計算t時刻第i單項預(yù)測方法的左、右端點預(yù)測精度，結(jié)果如表2所示.

表2 3種單項預(yù)測方法在各時刻的左、右端點預(yù)測精度

從表2可以看出，3種單項預(yù)測方法各有優(yōu)劣，均在某些時刻具有最高的預(yù)測精度，因此存在使用組合預(yù)測進行優(yōu)化的可能.由于參數(shù)λ具有無窮多個取值，為了簡化計算本文選取λ=-3，-1， 0.1， 1， 3 5種情況進行計算.將表1及表2中的數(shù)據(jù)代入到(Ⅰ)中，利用LINGO軟件計算得到最優(yōu)組合權(quán)重系數(shù)，計算結(jié)果如表3所示.

表3 5種取值下的區(qū)間型組合預(yù)測方法的權(quán)重

根據(jù)定義2，將表3的結(jié)果代入組合預(yù)測方法(Ⅰ)得到(Ⅰ)的預(yù)測值序列，結(jié)果如表4所示.

表4 實際區(qū)間數(shù)、不同取值下區(qū)間型組合預(yù)測方法預(yù)測值及等價形式

3.2 精度檢驗及靈敏度分析

利用誤差指標檢驗方法(Ⅰ)的預(yù)測精度.3種單項預(yù)測方法和區(qū)間型組合預(yù)測方法(Ⅰ)的5種特殊取值情況以及已有文獻所提方法的各項誤差指標見表5.由表5可以看出，本文方法的各項誤差指標均低于3種單項預(yù)測方法；另外，與文獻[17-18]中的區(qū)間型組合預(yù)測方法的有效性相比，本文方法的各項誤差指標也均小于文獻中提出的方法.這說明，本文構(gòu)建的區(qū)間型組合預(yù)測方法(Ⅰ)是有效的.

表5 預(yù)測精度評價體系

分別計算3種單項預(yù)測方法和5種特殊取值下組合預(yù)測方法的預(yù)測值區(qū)間數(shù)與實際值區(qū)間數(shù)之間的區(qū)間相離度，結(jié)果如表6所示.從表6可以看出，在5種取值情況下均有d(w1,w2,w3)

表6 各種預(yù)測方法與實際值間的區(qū)間相離度

由表5和表6可以大致看出，當-1<λ<1,λ≠0時，組合預(yù)測的精度更高.為了更深入地了解λ的取值對所構(gòu)建組合預(yù)測方法精度的影響，本文對參數(shù)進行靈敏度分析.圖1—圖3為參數(shù)λ變化對最優(yōu)目標函數(shù)值d、權(quán)重系數(shù)w1,w2,w3以及誤差指標MSEP、MSEL、MSEI、MRIE的影響.

圖1 λ變化對最優(yōu)目標函數(shù)值d的影響

圖2 λ變化對權(quán)重系數(shù)的影響

圖3 λ變化對誤差指標的影響

由圖1—圖3可以看出，當λ在(-∞,0)及(0,+∞)上變化時，3個圖中的曲線都有明顯的變化.從圖1可以看出，在(-∞,0)，隨著λ的增大，目標函數(shù)最優(yōu)值逐漸減小，最終穩(wěn)定在0.26左右；在(0,+∞)上，目標函數(shù)最優(yōu)值整體呈上升趨勢，最終變化率趨于平緩，穩(wěn)定在0.78附近.

從圖2可以看出，在λ的變化過程中始終有w1≥w2≥w3.根據(jù)GIOWA算子集結(jié)數(shù)據(jù)的方式，各時刻精度最高的單項預(yù)測方法將被賦予最大的權(quán)重，因此顯然有w1≥w2≥w3.另外，隨著λ的增大，w1逐漸下降，w2逐漸上升，二者逐漸趨于相等；而w3逐漸下降，最終趨近于0.

從圖3可以看出，當λ∈(-∞,0)時，隨著λ的增大，MSEP、MSEL、MSEI值均遞減.當λ∈(0,+∞)時，隨著λ的增大，MSEP值逐漸上升，而MSEL值逐漸下降；在MSEP和MSEL的共同作用下，MSEI值先下降后上升，最低值在0.17左右.MRIE值則一直呈逐漸下降趨勢，并最終穩(wěn)定在0.11附近.

綜合上述分析可知，當λ∈(-1,0)∪(0,1)時，MSEI和MRIE值達到最低，組合預(yù)測值與實際值的區(qū)間相離度穩(wěn)定在0.26

4 結(jié)束語

本文以左右端點精度作為誘導(dǎo)值，利用GIOWA算子對數(shù)據(jù)進行集結(jié)，并引入?yún)^(qū)間相離度作為最優(yōu)準則，得到了基于區(qū)間相離度及GIOWA算子的區(qū)間型組合預(yù)測方法.經(jīng)過實例驗證，本文所提出的區(qū)間型組合預(yù)測方法能夠有效地提高預(yù)測精度.另外，通過參數(shù)對靈敏度的影響分析，得到了參數(shù)λ的最優(yōu)取值區(qū)間.本文在研究過程中，缺少對該方法有效性的理論分析，今后將對本文方法的非劣性組合預(yù)測及優(yōu)性組合預(yù)測等存在性的充分條件進行研究，以完善本文方法.