封 濤

平行四邊形是初中階段非常重要的內(nèi)容，可是最近小濤同學(xué)在解題中總是出現(xiàn)各種各樣的問(wèn)題，究竟是什么原因呢？下面我們針對(duì)他的錯(cuò)誤一起來(lái)分析。

一、基本概念吃不透

例1下列說(shuō)法正確的是（ ）。

A.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

【小濤解答】D。

【錯(cuò)因分析】本題主要考查用對(duì)角線判斷四邊形形狀，其中B、C、D三個(gè)選項(xiàng)都忽略了矩形、菱形、正方形是特殊的平行四邊形，所以對(duì)角線應(yīng)該滿足互相平分。

【正確解答】A。

二、考慮問(wèn)題不全面

例2 矩形一個(gè)角的平分線分矩形一邊成2cm和3cm，則這個(gè)矩形的面積為_(kāi)_______。

【小濤解答】10cm2。

【錯(cuò)因分析】題目中并沒(méi)有明確指出2cm和3cm分別是哪一段，所以應(yīng)該要分類(lèi)討論。

【正確解答】如圖1，面積為10cm2；如圖2，面積為15cm2。

圖1

圖2

【小結(jié)反思】在解決問(wèn)題時(shí)如果碰到無(wú)法確定的情況需要分類(lèi)討論。

【鞏固練習(xí)】在?ABCD中，AP平分∠BAD交直線CD于點(diǎn)P，且AB=6，CP=3，則這個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)為_(kāi)________。

三、圖形本質(zhì)抓不住

例3如圖3，已知矩形ABCD，R為DC的中點(diǎn)，P為BC上的點(diǎn)，E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在BC上從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論成立的是（ ）。

A.線段EF的長(zhǎng)逐漸增大

B.線段EF的長(zhǎng)逐漸減小

C.線段EF的長(zhǎng)不變

D.線段EF的長(zhǎng)不能確定

圖3

【小濤解答】D。

【錯(cuò)因分析】本題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)及三角形中位線性質(zhì)。這題首先要學(xué)會(huì)定性分析，A、R為兩個(gè)定點(diǎn)，連接而成的線段AR是定長(zhǎng)的線段，則對(duì)應(yīng)中位線EF也為定長(zhǎng)的線段。

【正確解答】C。

【小結(jié)反思】幾何問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)變化的圖形，我們需要抓住圖形本質(zhì)，從變化中尋找不變的量，從而解決問(wèn)題。

四、圖形個(gè)數(shù)找不全

例4 如圖4，在給定的5×5網(wǎng)格紙中，以已畫(huà)線段AB為一邊畫(huà)出菱形ABCD，使菱形的各個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，這樣的菱形有______個(gè)。

【小濤解答】3。

【錯(cuò)因分析】本題考查了菱形的性質(zhì)以及網(wǎng)格中作圖技巧。小濤之所以找不全是因?yàn)闆](méi)有掌握將菱形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等腰三角形問(wèn)題的方法。我們可以借助圓規(guī)解決問(wèn)題。

【正確解答】5。（如圖5所示）

【小結(jié)反思】很多菱形問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為等腰三角形問(wèn)題去解決，因?yàn)檫B接菱形對(duì)角線就可以把菱形分成兩個(gè)等腰三角形，這也是很多解答題中解決菱形存在性問(wèn)題常見(jiàn)的思路。

圖4

圖5

五、圖形變換不熟練

例5如圖6，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=1，PD=2，PC=3，求∠APD的度數(shù)。

【小濤解答】120°。

【錯(cuò)因分析】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理的逆定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)。小濤解答錯(cuò)誤的原因是不能靈活運(yùn)用圖形變換轉(zhuǎn)化條件，再通過(guò)勾股定理逆定理解決問(wèn)題。

納什均衡是博弈到達(dá)均衡時(shí)的一種狀態(tài)。在這個(gè)狀態(tài)下，博弈中任何參與者在其他參與者的策略既定的情況下，都無(wú)法通過(guò)改變當(dāng)前策略來(lái)獲得更好的支付或更高收益。如果?si∈Si,πi(S*)≥

【正確解答】

圖6

圖7

解：如圖7，將△APD繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)△CDQ的位置。則∠PDQ=90°，QD=PD=2，QC=AP=1，∴∠PQD=45°。

由勾股定理得：

PQ2=22+22=8。

而CQ2=1，PC2=32=9，

∴PC2=PQ2+CQ2，∴∠PQC=90°。

又∵∠PQD=45°，

∴∠CQD=135°，

∴∠APD=∠CQD=135°。

【小結(jié)反思】在解決問(wèn)題的過(guò)程中一定要靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。當(dāng)題目條件分散時(shí)可以通過(guò)圖形變換將條件集中從而解決問(wèn)題，平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)要善于反思、歸納和總結(jié)。例如本題DA=DC為旋轉(zhuǎn)變換提供了“土壤”。

【鞏固練習(xí)】在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，PA=1，PC=2，求∠APB的度數(shù)。

同學(xué)們，相信通過(guò)對(duì)小濤同學(xué)解題時(shí)的錯(cuò)因分析，大家對(duì)解決與平行四邊形有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)注意點(diǎn)和方法有了一定的認(rèn)識(shí)了吧。其實(shí)，只要平時(shí)尋找錯(cuò)因，反思總結(jié)，歸類(lèi)整理，我們一定會(huì)越來(lái)越優(yōu)秀！

參考答案：

例2鞏固練習(xí)：30或18。

例5鞏固練習(xí)：150°。