許蕭寒，王可東

北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100191

在GPS (Global Positioning System)接收機(jī)設(shè)計(jì)中，載波鎖相環(huán)(Phase Locked Loop, PLL)用來(lái)完成對(duì)接收載波信號(hào)的本地復(fù)制，并對(duì)其相位和頻率進(jìn)行鎖定，是衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)的關(guān)鍵技術(shù)。為了提高接收機(jī)對(duì)環(huán)路噪聲的抑制能力，要求載波環(huán)路采用較小的噪聲帶寬和較長(zhǎng)的預(yù)檢測(cè)積分時(shí)間。但是，為提高接收機(jī)對(duì)載體動(dòng)態(tài)的跟蹤能力，又需要環(huán)路采用較大的噪聲帶寬和較短的預(yù)檢測(cè)積分時(shí)間[1]。為解決此問(wèn)題，文獻(xiàn)[2]應(yīng)用四陣元圓心陣的抗干擾算法從硬件設(shè)計(jì)角度提高了接收機(jī)的抗干擾能力；文獻(xiàn)[3]提出了兩級(jí)快速傅里葉變換多普勒頻率捕獲方法提高了多普勒頻率估計(jì)精度；文獻(xiàn)[1]采用鎖頻環(huán)(Frequency Locked Loop, FLL)輔助并采取差分相干累加比特同步算法以增強(qiáng)PLL環(huán)路的抗干擾性能以及對(duì)載體高動(dòng)態(tài)的跟蹤能力;文獻(xiàn)[4-5]應(yīng)用無(wú)跡卡爾曼濾波器、擴(kuò)展卡爾曼濾波器取代傳統(tǒng)環(huán)路中的鑒別器和低通濾波器以提高載波環(huán)路的動(dòng)態(tài)跟蹤性能。當(dāng)前，隨著慣導(dǎo)技術(shù)的普及，利用慣導(dǎo)系統(tǒng)(Inertial Navigation System, INS)與GPS構(gòu)成組合導(dǎo)航系統(tǒng)，并通過(guò)校正后的INS提供載體動(dòng)態(tài)信息與衛(wèi)星星歷信息計(jì)算多普勒頻移，輔助接收機(jī)對(duì)GPS信號(hào)的跟蹤成為了同時(shí)提高接收機(jī)抗噪能力和動(dòng)態(tài)跟蹤能力的有效途徑。

目前對(duì)INS/GPS超緊組合導(dǎo)航系統(tǒng)的研究中，在跟蹤誤差建模的研究方面，文獻(xiàn)[6]針對(duì)二階載波跟蹤環(huán)路將INS多普勒輔助誤差拆分為噪聲項(xiàng)和偏置項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，并針對(duì)低動(dòng)態(tài)載體推導(dǎo)了輔助誤差計(jì)算方法。

在跟蹤誤差的計(jì)算方式研究中，文獻(xiàn)[7]給出的環(huán)路跟蹤誤差的計(jì)算方法，文獻(xiàn)[8]在設(shè)定動(dòng)態(tài)應(yīng)力上限的條件下驗(yàn)證了INS輔助下環(huán)路帶寬的下降；在只考慮熱噪聲和動(dòng)態(tài)應(yīng)力的情況下，文獻(xiàn)[9-10]針對(duì)固定的載噪比和載體動(dòng)態(tài)情況，通過(guò)計(jì)算跟蹤誤差均方差對(duì)帶寬偏導(dǎo)數(shù)等于0來(lái)求解最優(yōu)帶寬；文獻(xiàn)[11]利用實(shí)時(shí)檢測(cè)的信號(hào)載噪比，以載體典型動(dòng)態(tài)為基準(zhǔn)建立了載噪比與最優(yōu)帶寬的查找表。然而，上述方案對(duì)實(shí)時(shí)變化的載噪比和INS動(dòng)態(tài)輔助殘差的應(yīng)用尚且比較缺乏，易出現(xiàn)實(shí)際動(dòng)態(tài)條件偏離設(shè)計(jì)點(diǎn)而導(dǎo)致帶寬的計(jì)算喪失最優(yōu)性。

在最優(yōu)帶寬實(shí)時(shí)計(jì)算方法的研究中，文獻(xiàn)[12-13]通過(guò)仿真數(shù)據(jù)建立了最優(yōu)帶寬與信號(hào)載噪比的一次、二次函數(shù)關(guān)系，結(jié)合載噪比的測(cè)量新息計(jì)算各時(shí)刻的最優(yōu)帶寬；文獻(xiàn)[14]在未考慮INS輔助的情況下以熱噪聲和動(dòng)態(tài)應(yīng)力誤差的能量最小為目標(biāo)函數(shù)，使用離散牛頓二階梯度法迭代解算最優(yōu)帶寬，然而目標(biāo)函數(shù)計(jì)算復(fù)雜，需要100次迭代才能計(jì)算得到最優(yōu)帶寬；文獻(xiàn)[7]基于載噪比信息將環(huán)路帶寬的計(jì)算劃分為2種模式，并通過(guò)固定帶寬增量的方式來(lái)計(jì)算門限帶寬和最優(yōu)帶寬，然而其收斂速度和收斂精度受到設(shè)定步長(zhǎng)的影響，因而目前缺少能夠以較小計(jì)算量實(shí)時(shí)計(jì)算最優(yōu)帶寬的設(shè)計(jì)方案。

針對(duì)當(dāng)前研究中出現(xiàn)的問(wèn)題，本文推導(dǎo)了多普勒頻率估計(jì)誤差及多普勒頻率變化率估計(jì)誤差的計(jì)算方法，針對(duì)二階載波跟蹤環(huán)路給出了INS動(dòng)態(tài)估計(jì)殘差的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，在此基礎(chǔ)上綜合考慮熱噪聲、機(jī)械振動(dòng)、晶振Allan方差等誤差源的影響，結(jié)合實(shí)時(shí)測(cè)定的載噪比信息，應(yīng)用二階梯度法對(duì)載波跟蹤環(huán)路最優(yōu)帶寬進(jìn)行實(shí)時(shí)迭代解算，提供了一種根據(jù)載體實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況實(shí)時(shí)計(jì)算環(huán)路最優(yōu)帶寬的方式，有助于在實(shí)際工況下提高接收機(jī)載波環(huán)路的跟蹤性能。

1 INS輔助載波跟蹤環(huán)路建模

INS輔助GPS接收機(jī)載波跟蹤環(huán)路誤差傳播結(jié)構(gòu)可以建模為如圖1所示的控制環(huán)路。

圖1 載波跟蹤環(huán)路誤差傳播Fig.1 Doppler aiding carrier tracking loop error propagation

因此相位跟蹤誤差可以表示為：

Δφ(s)=H(s)Δφt(s)+[1-H(s)]Δφvib(s)+

[1-H(s)]ΔφAllan(s)+Hd(s)Δφd(s) (1)

其中各部分傳遞函數(shù)可以表示為：

(2)

由式(2)中各誤差源的傳遞函數(shù)可知，熱噪聲為寬帶噪聲，帶寬越大其引發(fā)的跟蹤誤差越大；而機(jī)械振動(dòng)、晶體Allan方差、多普勒輔助誤差等誤差源為窄帶噪聲，帶寬越小其引發(fā)的跟蹤誤差越大。因此，當(dāng)INS/GPS超緊耦合系統(tǒng)帶寬降低時(shí)，需要綜合考慮各類誤差源的影響，進(jìn)而進(jìn)行最優(yōu)帶寬的設(shè)計(jì)。

2 載波環(huán)跟蹤誤差建模

PLL環(huán)路1σ跟蹤誤差σPLL可以表示為：

(3)

在INS輔助條件下，接收機(jī)可以得到多普勒信息的有效估計(jì)，但是其估計(jì)誤差依舊需要PLL環(huán)路進(jìn)行跟蹤。若PLL采用二階環(huán)路的形式，則多普勒頻率估計(jì)誤差將以噪聲的形式影響跟蹤精度，而多普勒頻率變化率估計(jì)誤差將以穩(wěn)態(tài)誤差的形式影響跟蹤精度。

(4)

對(duì)于二階PLL環(huán)路，由INS計(jì)算的多普勒頻率變化率估計(jì)誤差將造成環(huán)路的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差θRR，其具體形式為：

(5)

式中：穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差的幅度ARR由多普勒頻率變化率估計(jì)誤差的精度σafd決定，即ARR≈3σafd[6]。由式(4)(5)可知，INS輔助信息的精度直接影響著PLL環(huán)路的相位跟蹤精度，因此σfd，σafd的在線估計(jì)是PLL跟蹤誤差實(shí)時(shí)計(jì)算的必要步驟。

在INS/GPS超緊耦合系統(tǒng)中，通過(guò)INS輸出的接收機(jī)位置、速度信息以及衛(wèi)星星歷信息計(jì)算多普勒頻率測(cè)量值，其具體計(jì)算方式為：

(6)

式中：fd為載波信號(hào)的多普勒頻率;e為視線方向向量;vR為接收機(jī)速度向量;vS為衛(wèi)星速度向量;λ為載波波長(zhǎng)。

(7)

(8)

其中符號(hào)上方的“～”均表示帶有誤差的值。用式(8)減去式(7)，且忽略由載體位置估計(jì)誤差引起的視線方向偏差，可得多普勒頻率估計(jì)誤差為：

(9)

因此，多普勒頻率估計(jì)誤差的方差可以計(jì)算為：

(10)

在慣導(dǎo)遞推周期中，P(ΔvR)可用一步預(yù)測(cè)協(xié)方差陣中速度誤差協(xié)方差陣，在組合濾波周期中P(ΔvR)可用量測(cè)更新協(xié)方差陣中速度誤差協(xié)方差進(jìn)行計(jì)算。

對(duì)式(10)兩邊求導(dǎo)可得多普勒頻率變化率估計(jì)誤差：

(11)

式中：I為3行3列的單位矩陣。將式(12)代回式(11)可得多普勒頻率變化率估計(jì)誤差為：

(13)

因此多普勒頻率變化率估計(jì)誤差的方差可以計(jì)算為：

(15)

至此，結(jié)合式(4)(5)(10)(14)(16)，可以實(shí)時(shí)計(jì)算由INS輔助誤差引起的相位抖動(dòng)和穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差。

3 最優(yōu)帶寬計(jì)算

3.1 載噪比C/N0的實(shí)時(shí)測(cè)定

在接收機(jī)某一通道中，以Tcoh為相干積分時(shí)間，通過(guò)連續(xù)M組即時(shí)相干積分值Ip(n)、Qp(n)來(lái)計(jì)算第k個(gè)相關(guān)積分周期時(shí)寬帶功率Pwb(k)和窄帶功率Pnb(k)，并計(jì)算二者的比率Pnw(k)：

(17)

為降低Pnw(k)中的噪聲量，先對(duì)Pnw(k)進(jìn)行K組平均，進(jìn)而計(jì)算載噪比：

(18)

3.2 最優(yōu)帶寬的實(shí)時(shí)計(jì)算

應(yīng)用離散牛頓二階梯度法，第i步迭代增量的計(jì)算方法如式下：

(19)

式中：J(xi)，H(xi)為別為σPLL關(guān)于Bn的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)在xi點(diǎn)的取值，在應(yīng)用中采用小間隔差商代導(dǎo)數(shù)計(jì)算，當(dāng)增量相對(duì)于當(dāng)前帶寬數(shù)值變化小于1%時(shí)，認(rèn)為收斂穩(wěn)定，停止迭代，取當(dāng)前迭代結(jié)果作為最優(yōu)帶寬Bopt。

最優(yōu)帶寬的計(jì)算流程為：

1)設(shè)定初始迭代步數(shù)i=1，帶寬迭代初值Bn(i)=10 Hz，離散帶寬步長(zhǎng)BnGap=0.01 Hz，精度水平ε=1%，最大迭代次數(shù)N=20。

2)通過(guò)BnGap計(jì)算Bn(i)的一階、二階差商代替一階、二階導(dǎo)數(shù)。

3)根據(jù)式(19)計(jì)算迭代增量。

4)若滿足|Δxi|/|Bn(i)|≤ε則停止迭代，Bopt=Bn(i)；否則Bn(i+1)=Bn(i)+Δxi。

5)迭代步數(shù)i增加1，若i

4 最優(yōu)帶寬設(shè)計(jì)方法驗(yàn)證

以車載載體為研究對(duì)象，設(shè)載體的位置為東經(jīng)116.343 4°、北緯39.979 8°、高度39 m，以40 m/s的速度向北行駛，取衛(wèi)星的位置為載體正上方，即東經(jīng)116.343 4°、北緯39.979 8°，高度為GPS衛(wèi)星平均軌道高度20 200 km，以 3 804 m/s的速度向北運(yùn)行。接收機(jī)OCXO晶振、衛(wèi)星Ce原子鐘的時(shí)鐘模型按照文獻(xiàn)[8]進(jìn)行設(shè)置，相應(yīng)時(shí)鐘參數(shù)取文獻(xiàn)[8]中的典型值。

誤差協(xié)方差陣設(shè)置如下：

(20)

載體本體坐標(biāo)系加速度信息和ECEF坐標(biāo)系地球自轉(zhuǎn)角速度信息如設(shè)置：

(21)

(22)

(23)

圖2顯示了在不同實(shí)現(xiàn)距離、載體速度的情況下，由式(22)引起的計(jì)算偏差。

圖2 文獻(xiàn)[6]中的方差計(jì)算偏差Fig.2 Deviation error of algorithm in reference [6]

(24)

應(yīng)用迭代的方法計(jì)算最優(yōu)帶寬，圖3、圖4分別顯示了迭代結(jié)果與最優(yōu)帶寬理論值的偏差百分比以及迭代所用的步數(shù)。從圖3中可以看到，在不同載噪比和輔助誤差條件下，迭代方法的計(jì)算誤差始終保持在0.4%以下。同時(shí)圖4顯示，在各類條件下，迭代步數(shù)保持在11步以下，在保證計(jì)算精度的同時(shí)，相比于文獻(xiàn)[12]中100次的迭代次數(shù)大幅提高了實(shí)時(shí)性。

將固定帶寬下的跟蹤誤差σPLL(Fixed Bn)與最優(yōu)帶寬下的跟蹤誤差σPLL(Optimal Bn)的偏差記為ΔσPLL：

ΔσPLL=σPLL(Fixed Bn)-σPLL(Optimal Bn)(25)

圖3 迭代算法計(jì)算誤差Fig.3 Calculation error of iterative algorithm

圖4 迭代步數(shù)Fig.4 Iterative steps

分別以5Hz、30Hz固定帶寬以及以實(shí)時(shí)最優(yōu)帶寬作為環(huán)路帶寬，圖5～圖9顯示了在不同載噪比、不同輔助誤差條件下環(huán)路跟蹤效果，以及不同帶寬情況下跟蹤誤差的對(duì)比。

圖5 5 Hz固定帶寬環(huán)路跟蹤誤差門限Fig.5 Error threshold of 5 Hz bandwidth tracking loop

圖6 5 Hz固定帶寬環(huán)路與最優(yōu)帶寬環(huán)路跟蹤誤差對(duì)比Fig.6 Difference of 5 Hz bandwidth loop and optimal bandwidth loop tracking error

圖7 30 Hz固定帶寬環(huán)路跟蹤誤差門限Fig.7 Error threshold of 30 Hz bandwidth tracking loop

圖8 30 Hz固定帶寬環(huán)路與最優(yōu)帶寬環(huán)路跟蹤誤差對(duì)比Fig.8 Difference of 30 Hz bandwidth loop and optimal bandwidth loop tracking error

從圖5可以看到，在輔助誤差較低時(shí)，應(yīng)用5 Hz固定帶寬的環(huán)路對(duì)弱信號(hào)情況有相對(duì)較好的跟蹤性能，但是隨著輔助誤差增加，低固定帶寬的環(huán)路無(wú)法跟蹤較大的動(dòng)態(tài)應(yīng)力殘差，跟蹤性能下降明顯，甚至導(dǎo)致環(huán)路失鎖。從圖6可以看到，當(dāng)S=1時(shí)其跟蹤門限為28 dBHz，當(dāng)S=20時(shí)，在各類信號(hào)強(qiáng)度條件下環(huán)路跟蹤誤差都已超過(guò)15°，環(huán)路已經(jīng)失鎖。

圖9 實(shí)時(shí)最優(yōu)帶寬環(huán)路跟蹤誤差門限Fig.9 Error threshold of optimal bandwidth tracking loop

從圖7可以看到，應(yīng)用30 Hz固定帶寬的環(huán)路對(duì)于輔助誤差有較強(qiáng)的跟蹤能力，且在強(qiáng)信號(hào)情況下有較好的跟蹤精度，但當(dāng)接收信號(hào)載噪比降低時(shí)，大固定帶寬的環(huán)路易過(guò)多的引入熱噪聲，導(dǎo)致跟蹤誤差增大，從圖8看到，當(dāng)C/N0=50 dBHz時(shí)其與最優(yōu)跟蹤誤差的偏差為1.3°，當(dāng)C/N0=25 dBHz時(shí)其與最優(yōu)跟蹤誤差的偏差將超過(guò)10°。

從圖9可以看到，相比于固定帶寬環(huán)路，應(yīng)用實(shí)時(shí)最優(yōu)帶寬的環(huán)路在弱信號(hào)、低輔助精度情況下的跟蹤能力有明顯提升，當(dāng)S=20時(shí)其跟蹤門限為26 dBHz，同時(shí)在強(qiáng)信號(hào)、輔助精度較高的良好外部環(huán)境下能夠進(jìn)一步提高環(huán)路的跟蹤精度，當(dāng)C/N0=50 dBHz、S=1時(shí)其跟蹤誤差可降低至1.5°。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文分析了視線方向變化率與載體速度誤差等因素對(duì)多普勒頻率估計(jì)誤差、多普勒頻率變化率估計(jì)誤差造成的影響，結(jié)合組合濾波器對(duì)導(dǎo)航狀態(tài)和慣導(dǎo)器件誤差的精度估計(jì)，推導(dǎo)了二階載波跟蹤環(huán)路INS動(dòng)態(tài)估計(jì)殘差的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，提高了高軌、高動(dòng)態(tài)條件下的輔助誤差描述精度指標(biāo)的計(jì)算方法。在INS輔助條件下，環(huán)路帶寬得以降低，窄帶噪聲不可忽略，最優(yōu)帶寬與跟蹤誤差構(gòu)成高階非線性關(guān)系，本文利用實(shí)時(shí)測(cè)定的載噪比信息、多普勒輔助誤差信息，以最小化跟蹤誤差為目標(biāo)，應(yīng)用離散牛頓二階梯度迭代算法，以二階速度逼近帶寬的數(shù)值最優(yōu)解，在保證最優(yōu)帶寬計(jì)算精度的同時(shí)顯著降低了迭代次數(shù)。仿真試驗(yàn)表明，本文設(shè)計(jì)的最優(yōu)帶寬迭代解算方法能夠11次迭代內(nèi)達(dá)到99.6%的計(jì)算精度；對(duì)比固定帶寬方案，應(yīng)用本文提出的最優(yōu)帶寬計(jì)算和調(diào)整方案能夠在弱信號(hào)、輔助信息精度較低的情況下有效提高環(huán)路的跟蹤精度，提高環(huán)路抗干擾能力和動(dòng)態(tài)跟蹤能力。