王長龍， 武 斌， 李永科， 楊 森

(陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)無人機(jī)工程系, 河北 石家莊 050003)

無人旋翼飛行器能夠?qū)崿F(xiàn)垂直起降、懸停等獨(dú)特的飛行功能，廣泛應(yīng)用于偵察、救援、航拍等領(lǐng)域[1]。共軸旋翼飛行器，又稱為共軸直升機(jī)，相比于傳統(tǒng)單旋翼直升機(jī)，由于取消了尾槳結(jié)構(gòu)，因此具有結(jié)構(gòu)緊湊、飛行效率高等優(yōu)點(diǎn)[2-4]。然而，共軸旋翼飛行器本質(zhì)上是多變量、強(qiáng)耦合的高階非線性系統(tǒng)，而且，機(jī)動飛行時(shí)具有非定常氣動特性，同時(shí)受到外部擾動的影響。因此，共軸旋翼飛行器的控制器設(shè)計(jì)成為研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題。

李宏偉等[5]研究了共軸旋翼飛行器航線飛行中的航向控制問題；柯吉等[6]針對微型共軸旋翼飛行器的自主控制，提出一種包含非線性模型預(yù)測控制與線性反饋控制器的控制策略，但該方法要求飛行器模型具有較高的精度；袁夏明等[7]針對共軸旋翼飛行器非線性、強(qiáng)耦合的動力學(xué)特性，提出一種基于動態(tài)反饋線性化方法的魯棒跟蹤控制策略，但該方法需要完成復(fù)雜的解耦過程才能得到周期變距輸入。

近年來，非線性控制理論的發(fā)展為共軸旋翼飛行器控制器的設(shè)計(jì)提供了有效的解決方法，其中反步(Backstepping)方法[8]在控制器設(shè)計(jì)中利用系統(tǒng)固有的非線性特性，能夠有效處理非線性問題，但該方法在共軸旋翼飛行器控制器設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用鮮有報(bào)道。RAPTIS等[9]忽略了揮舞角的動態(tài)變化，設(shè)計(jì)了離散Backstepping直升機(jī)控制器；魏青銅等[10]采用反步控制設(shè)計(jì)了四旋翼無人機(jī)姿態(tài)控制器，但角速率模型未考慮通道間的耦合；JIA等[11]在考慮外部干擾的情況下設(shè)計(jì)了積分反步滑?？刂破?，但該方法要求外界干擾的界限已知;文獻(xiàn)[10-11]作者采用力矩作為控制模型的輸入量，然而共軸旋翼飛行器的實(shí)際輸入量為旋翼變距角，由于旋翼存在不可測的揮舞角，因此無法由控制力矩得到精確的變距角;陳南宇等[12]未區(qū)分模型不確定性和外界干擾，針對系統(tǒng)總的不確定性設(shè)計(jì)了擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Extended State Observer,ESO)，利用反步控制實(shí)現(xiàn)了直升機(jī)軌跡的魯棒跟蹤控制。

基于以上分析，筆者將Backstepping方法用于共軸旋翼飛行器的姿態(tài)控制問題。首先，考慮旋翼揮舞、氣動干擾、通道耦合和外部干擾等因素，建立了含有模型不確定性和有界擾動的非線性姿態(tài)模型；其次，采用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對模型不確定部分進(jìn)行估計(jì)，采用干擾觀測器對有界擾動進(jìn)行估計(jì)；再次，設(shè)計(jì)了姿態(tài)Backstepping控制器；最后，通過對參考姿態(tài)信號的跟蹤仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性。

1 系統(tǒng)建模

1.1 機(jī)體動力學(xué)模型

設(shè)計(jì)姿態(tài)控制器對滾轉(zhuǎn)角和俯仰角實(shí)施跟蹤控制。將共軸旋翼無人飛行器視為剛體，考慮到研究對象的對稱性，建立如下滾轉(zhuǎn)和俯仰運(yùn)動動力學(xué)模型：

(1)

(2)

式中：φ為滾轉(zhuǎn)角；θ為俯仰角；p、q、r分別為滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航角速率；τφ、τθ分別為滾轉(zhuǎn)和俯仰力矩；Jx、Jy、Jz分別為飛行器轉(zhuǎn)動慣量，J=diag(Jx,Jy)。

1.2 力矩模型

共軸旋翼飛行器機(jī)動飛行所需力和力矩主要由上、下2副共軸旋翼產(chǎn)生，利用下式計(jì)算：

(3)

式中：i=1,2，分別表示上旋翼和下旋翼；fix、fiy分別為上旋翼和下旋翼提供的前向力和右向力；hi為旋翼中心距離機(jī)體重心的高度；Qi為旋翼反扭矩；βic、βis分別為旋翼的縱向和橫向揮舞角。相關(guān)參數(shù)表達(dá)如下：

(4)

(5)

Ti=CTi·ρa(bǔ)ir(ΩiRi)2Si/2，i=1,2；

(6)

Qi=CQi·ρa(bǔ)ir(ΩiRi)2RiSi/2，i=1,2。

(7)

式中：Ti為旋翼拉力；CTi和CQi分別為升力系數(shù)和反扭矩系數(shù)；ρa(bǔ)ir為空氣密度；Ωi為旋翼轉(zhuǎn)速；Ri為旋翼半徑；Si為槳盤面積；τi為旋翼揮舞時(shí)間常數(shù)；Ai、Bi分別為縱向和橫向操縱輸入比例系數(shù)；δic、δis分別為旋翼縱向和橫向周期變距角。

1.3 姿態(tài)控制模型

由于直升機(jī)旋翼揮舞及氣動干擾等因素，根據(jù)控制力矩很難得到精確的周期變距角。因此，本文直接采用周期變距角作為姿態(tài)控制模型的輸入，將力矩與周期變距轉(zhuǎn)換過程中的不確定部分作為系統(tǒng)總的不確定性的一部分，在控制器設(shè)計(jì)過程中對其加以補(bǔ)償，試圖得到更加精確的實(shí)際輸入量。

在控制器設(shè)計(jì)時(shí)，將偏航角速率作為外部擾動，將上、下旋翼的周期變距設(shè)為相同大小，即

(8)

(9)

式中：

Δf(x,u)為系統(tǒng)未建模動態(tài)；d1為等效擾動量；d2為外部擾動量。

2 控制器設(shè)計(jì)

令系統(tǒng)輸出為y=x1，本文的控制目標(biāo)為設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)目刂坡?，使得?shí)際輸出能夠有效跟蹤給定的期望姿態(tài)yr?？刂破髟O(shè)計(jì)過程如下：

1) 定義誤差變量

(10)

式中：α1為虛擬控制量。

對誤差z1求導(dǎo)可得

(11)

對誤差d1設(shè)計(jì)如下干擾觀測器：

(12)

選取如下Lyapunov函數(shù)

(13)

對V1求導(dǎo)可得

(14)

設(shè)計(jì)虛擬控制量α1為如下形式：

(15)

式中：c1>0，為待設(shè)計(jì)參數(shù)。

將式(15)代入式(14)，可得

(16)

2) 考慮如下Lyapunov函數(shù)

(17)

對V2求導(dǎo)可得

(18)

由于Δf(x,u)和d2未知，需要對其進(jìn)行估計(jì)。本文采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Radial Basis Function Neural Network，RBFNN)對未知的系統(tǒng)未建模動態(tài)Δf(x,u)進(jìn)行逼近[13]。

令

LΔf(x,u)=WTφ(X)+ε，

(19)

υi、σi分別為徑向基函數(shù)的中心和半徑。

由式(9)、(19)可得

(20)

對D設(shè)計(jì)如下干擾觀測器：

(21)

設(shè)計(jì)控制律u為如下形式：

(22)

式中：c2>0，為待設(shè)計(jì)參數(shù)。

對z2求導(dǎo)，由式(20)、(22)可得

(23)

將式(16)、(23)代入式(18)可得

(24)

考慮系統(tǒng)所有信號的收斂性，選擇如下Lyapunov函數(shù)：

(25)

式中：Λ=ΛT>0，為待設(shè)計(jì)參數(shù)。

對V求導(dǎo)可得

(26)

由式(20)、(21)可得

(27)

式中：ζ2>0,為適當(dāng)?shù)某?shù)。

設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值自適應(yīng)律為如下形式：

(28)

式中：σ0>0，為設(shè)計(jì)參數(shù)。

(29)

考慮如下事實(shí)：

(30)

將式(27)、(29)、(30)代入式(26)可得

(31)

式中：ζ3>0,為適當(dāng)?shù)某?shù)。

為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，選擇控制器設(shè)計(jì)參數(shù)滿足以下條件：

(32)

考慮如下事實(shí)：

(33)

式中:λmax(·)為矩陣的最大特征值。故有

-κV+C0，

(34)

式中：

由式(34)可得

0≤V≤C0/κ+(V(0)-C0/κ)e-κt。

(35)

因此，閉環(huán)系統(tǒng)信號一致最終有界，通過選擇合適的控制器和干擾觀測器參數(shù)可以保證系統(tǒng)狀態(tài)量收斂到原點(diǎn)附近較小的鄰域內(nèi)。

3 仿真驗(yàn)證

本節(jié)通過仿真驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的可行性。共軸旋翼飛行器的姿態(tài)模型主要參數(shù)如表1所示。由于設(shè)計(jì)的是姿態(tài)控制器,未涉及到旋翼總距，因此假設(shè)上、下旋翼拉力和反扭矩為常數(shù)。

表1 共軸旋翼飛行器姿態(tài)模型主要參數(shù)

控制器和觀測器參數(shù)設(shè)置如表2所示，RBFNN參數(shù)設(shè)置為：σi=1，υi=(-0.03,-0.02,-0.01,0.01,0.02,0.03)T。

表2 控制器設(shè)計(jì)參數(shù)

選取期望姿態(tài)角(單位：(°))，外部干擾和模型不確定性如下：

系統(tǒng)初始狀態(tài)設(shè)置為

x1=(1.635,4.874)T(°)，

x2=(0.01,0.02)T(rad/s)。

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的性能，在不考慮模型不確定性的條件下，設(shè)計(jì)了H∞狀態(tài)反饋控制器，將兩者的控制結(jié)果做對比。仿真結(jié)果如圖1-6所示。其中：圖1、2為滾轉(zhuǎn)角輸出量及其跟蹤誤差曲線；圖3、4為俯仰角輸出量及其跟蹤誤差曲線；圖5、6分別為橫向和縱向周期變距輸入量。由圖1-4可知：設(shè)計(jì)的控制器能夠有效跟蹤參考姿態(tài)信號，跟蹤誤差收斂，相比于H∞控制器，姿態(tài)跟蹤誤差較小。由圖5、6可知：控制輸入有界且快速收斂到0附近很小的鄰域內(nèi)，與H∞控制器相比，輸入量更小，因此能量消耗較少。通過以上分析可知：設(shè)計(jì)的姿態(tài)控制器能夠有效抑制外界擾動和模型不確定性，具有良好的姿態(tài)跟蹤性能和較強(qiáng)的魯棒性。

圖1 滾轉(zhuǎn)角輸出量

圖2 滾轉(zhuǎn)角跟蹤誤差

圖3 俯仰角輸出量

圖4 俯仰角跟蹤誤差

圖5 橫向周期變距輸入量

4 結(jié)論

筆者基于反步法設(shè)計(jì)了共軸旋翼無人飛行器魯棒姿態(tài)控制器。采用旋翼的周期變距角作為輸入，建立了包含模型未知動態(tài)和外部擾動的非線性模型。采用RBFNN和干擾觀測器分別對未建模動態(tài)和外部擾動進(jìn)行估計(jì)，結(jié)合干擾估計(jì)模型設(shè)計(jì)了反步控制器，基于Lyapunov函數(shù)分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過與H∞狀態(tài)反饋控制器的對比仿真，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)的控制器具有良好的姿態(tài)跟蹤性能和魯棒性。下一步，要將設(shè)計(jì)的控制器應(yīng)用于實(shí)際的共軸旋翼無人飛行器中，完成實(shí)際飛行。