寧黎明，何曉霞，王志明

(武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢，430065)

刪失數(shù)據(jù)廣泛存在于金融、生物、醫(yī)學(xué)、工程等研究領(lǐng)域。為了更好地對(duì)刪失數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，各種統(tǒng)計(jì)模型相繼出現(xiàn)，較早的有Cox提出的比例風(fēng)險(xiǎn)模型[1]，但其中一些假設(shè)在現(xiàn)實(shí)中是不成立的。隨后Cox等[2]又提出了加速失效時(shí)間(accelerated failure time, AFT)模型：logT=XTβ+ε，將失效時(shí)間的對(duì)數(shù)表示為協(xié)變量的線性組合。AFT模型很顯然是有意義的，但在實(shí)際應(yīng)用中，不可能保證所有協(xié)變量對(duì)生存時(shí)間都有線性影響，因此研究人員又提出了部分線性變系數(shù)模型，它在線性回歸模型的基礎(chǔ)上增加了非線性部分，使得整個(gè)模型具有更強(qiáng)的可塑性，通常采用局部多項(xiàng)式和光滑樣條來(lái)估計(jì)其非參數(shù)部分?；诰植慷囗?xiàng)式方法，Zhang等[3]研究了半變系數(shù)模型，而Fan等[4]研究了協(xié)變量帶測(cè)量誤差情況下的懲罰經(jīng)驗(yàn)似然估計(jì)。Zhao等[5]基于B樣條估計(jì)，得到半?yún)?shù)部分線性變系數(shù)模型的模態(tài)回歸。

分位數(shù)回歸較普通的均值回歸更加靈活，其應(yīng)用也得到了迅速發(fā)展。何曉霞等[6]針對(duì)右刪失數(shù)據(jù)，得到光滑回歸函數(shù)的組合分位數(shù)回歸估計(jì)。Wang等[7]對(duì)非參數(shù)部分采用B樣條近似，得到部分線性變系數(shù)模型在縱向數(shù)據(jù)情形下的分位數(shù)回歸。Shen等[8]運(yùn)用局部多項(xiàng)式方法，在指示變量缺失的條件下得到部分線性變系數(shù)模型的分位數(shù)回歸估計(jì)。由于局部多項(xiàng)式的計(jì)算速度較慢，因此本文采用B樣條估計(jì)，研究刪失指示變量缺失情形下部分線性變系數(shù)模型的分位數(shù)回歸。

1 模型描述

本文考慮右刪失數(shù)據(jù)情形下的部分線性模型

(1)

由于數(shù)據(jù)右刪失，故只能觀察到(Xi,Ui,Zi,Yi)，其中Yi=min(Ti,Ci)，Ci是隨機(jī)刪失時(shí)間。定義刪失指示量δi=I(Ti≤Ci)以及缺失指示量ξi，其中I為示性函數(shù)，如果δi被觀測(cè)到存在缺失時(shí)ξi=1，否則ξi=0。另外，記Hi=(Xi,Zi,Ui)。

2 估計(jì)方法和主要結(jié)論

2.1 樣條近似和估計(jì)

(1)s限制在任何區(qū)間IMi(0≤i≤M)上是r次多項(xiàng)式；

(2)對(duì)r≥2，s在區(qū)間[a,b]上是r次連續(xù)可微的。

由文獻(xiàn)[10]，對(duì)Sn存在標(biāo)準(zhǔn)化的B樣條基{Bω,1≤ω≤mn}，其中mn=M+r是Sn的維數(shù)。因此對(duì)于任意函數(shù)αn(t)∈Sn，能夠得到

(2)

在合理的平滑假設(shè)條件下，可以通過(guò)Sn中的基函數(shù)來(lái)逼近任意平滑函數(shù)。因此模型(1)中對(duì)α*的估計(jì)就可以轉(zhuǎn)化為估計(jì)αω。

(3)

進(jìn)一步地，式(3)又可以寫(xiě)為

(4)

其中Wi=Ip?B(Ui)·Xi且γ=(α1,α2,…,αmn)T，cτk是誤差ε的τk分位數(shù)。

(5)

(6)

在刪失指示量隨機(jī)缺失的情況下，對(duì)于G(·)的估計(jì)不能再使用較為常見(jiàn)的Kaplan-Meier估計(jì)。參照文獻(xiàn)[11]，這里給出G(·)的估計(jì)：

(7)

(8)

2.2 估計(jì)量的理論性質(zhì)

為了分析估計(jì)量的理論性質(zhì)，首先給出以下假設(shè)條件：

(C1) 對(duì)于任意α*∈Ψ，有E[α*(Ui)]=0。

(C2) 協(xié)變量U有密度函數(shù)fU(u)且存在兩個(gè)常數(shù)c1和c2，使得在[a,b]區(qū)間上，有0

(C3)Ci獨(dú)立于(Zi,Ui)和Ti。

(C4) 對(duì)于任何t∈[0,τ]，P(t≤T≤C)≥ζ0，其中ζ0是正常數(shù)。

(C5)ε1,ε2,…,εn有共同的連續(xù)可微的概率密度函數(shù)f(·)，滿足0

(C7) 定義aH=inf{t∶H(t)=1},aG=inf{t∶G(t)=1}，令aH

條件(C1～C2)是一般性假定，條件(C3～C5)是生存分析背景下的常規(guī)設(shè)定，條件(C6)保證定理1的證明中所定義矩陣D的特征值是有界的并且遠(yuǎn)離零,條件(C7)表示G(Yi)遠(yuǎn)離零。

關(guān)于估計(jì)量的性質(zhì)，本文有下述結(jié)論。

定理1假設(shè)條件(C1～C7)成立，可以得到

其中，D1和Σ的定義在定理1的證明中給出。假設(shè)mn=O(n1/(2p+1))，定理1的結(jié)論(II)也可寫(xiě)為

3 定理的證明

3.1 三條引理

引理2假設(shè)條件(C1～C7)成立，最小化式(8)等同于最小化下式：

(9)

同時(shí)，可以得到

因此A2=op(1),A3=op(1)。

基于以上結(jié)論，可以得到

(10)

(11)

而

=op(1)

(12)

(13)

根據(jù)引理1和引理2，可以得到

(14)

結(jié)合式 (13) 和式(14) 就可以得到式(11)。

3.2 定理1的證明

定義如下矩陣：

D-1=

令

=op(1)。

下面證明定理1的結(jié)論(II)。由式(11)也可得到:

則可以得到

因此，

(15)

根據(jù)I2的定義與如下等式:

有

(16)

結(jié)合式 (15)～式(16)，有

因此

4 數(shù)值模擬與實(shí)例驗(yàn)證

4.1 蒙特卡洛模擬

本文采用R軟件中的lpsolve包解決此線性規(guī)劃問(wèn)題。

樣本數(shù)據(jù)由以下模型產(chǎn)生：

Ti=b1zi1+b2zi2+α(Ui)Xi+εi,i=1,…,n

(17)

評(píng)價(jià)非參數(shù)部分估計(jì)效果采用均方誤差指標(biāo)：

(18)

本文應(yīng)用3種方法處理缺失數(shù)據(jù)：校準(zhǔn)方法(Calibration Method, CA)和插補(bǔ)方法 (Imputation Method, IM)以及完全記錄分析(Complete Case Analysis, CC)方法。CC方法的基本思路就是直接忽略那些有缺失記錄的個(gè)體，再用傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分析方法去處理剩下的數(shù)據(jù)集，該方法的缺點(diǎn)是，當(dāng)缺失數(shù)據(jù)太多時(shí)得不到有效的估計(jì)。IM方法是對(duì)缺失的數(shù)據(jù)進(jìn)行填補(bǔ)，然后再用傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分析方法去處理整個(gè)數(shù)據(jù)集，其缺點(diǎn)也很明顯，對(duì)缺失的數(shù)據(jù)進(jìn)行填補(bǔ)亦要選擇合適的方法，否則不會(huì)得到較好的估計(jì)。CA方法是用當(dāng)前的可觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)參數(shù)，通過(guò)給定參數(shù)的形式產(chǎn)生模擬數(shù)據(jù)，即對(duì)包含缺失在內(nèi)的整個(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行估計(jì)。

設(shè)置模擬次數(shù)為200、q=5，誤差服從N(0,1)和t(5)分布的計(jì)算結(jié)果分別見(jiàn)表1和表2，其中MSE為200次模擬均值。另外，在表1中，CR為10%和20%時(shí)所對(duì)應(yīng)的刪失時(shí)間指數(shù)分布參數(shù)分別為0.1和0.19；在表2中，CR為10%和20%所對(duì)應(yīng)的刪失時(shí)間指數(shù)分布參數(shù)分別為0.08和0.16。

從表1和表2的結(jié)果可以看出:①對(duì)比不同的處理缺失數(shù)據(jù)方法，CA方法最好，IM方法其次，CC方法最差，表明本案例選用數(shù)據(jù)校準(zhǔn)方法比較合適，而CC方法在不是完全隨機(jī)缺失的假設(shè)下只能得到有偏的估計(jì)，所以在本案例中的估計(jì)效果是最差的。②隨著樣本數(shù)量的增多，估計(jì)結(jié)果的偏差也逐漸變小，這與估計(jì)的大樣本性相符。③當(dāng)刪失率和丟失率增大時(shí)，估計(jì)偏差隨之變大，這也從側(cè)面說(shuō)明了估計(jì)的大樣本性，在足夠的樣本容量下，配合適當(dāng)?shù)墓烙?jì)方法才能得到好的估計(jì)結(jié)果。④在樣本量一定的情況下，相較于丟失率的變化，刪失率的變化對(duì)最后的估計(jì)結(jié)果影響更大。

4.2 實(shí)例分析

實(shí)例分析數(shù)據(jù)來(lái)源于文獻(xiàn)[15]。該數(shù)據(jù)是基于“東部腫瘤合作組織”(Eastern Cooperative Oncology Group)進(jìn)行的一次臨床試驗(yàn)，其對(duì)象是II 期女性乳腺癌患者，目的是比較三苯氧胺(tamoxifen)和安慰劑對(duì)于該病的療效。在參與試驗(yàn)的170 名對(duì)象中，只關(guān)注其中79 個(gè)在試驗(yàn)結(jié)束前死亡的病患。根據(jù)報(bào)告可知，這個(gè)試驗(yàn)的死亡原因數(shù)據(jù)并不完全。在這79 個(gè)死亡對(duì)象中， 44人死于乳腺癌，17 人死于已知的其他原因，剩下的18 名死于未知原因。為了適用于本文模型，在下面的數(shù)據(jù)分析中，采用的都是生存時(shí)間(單位：d)的對(duì)數(shù)值，記作Y。設(shè)指標(biāo)δ顯示死亡是否由乳腺癌引起，指標(biāo)ξ顯示死因是否已知。另外，變量Z1表示病人服用藥物情況(1，三苯氧胺；0，安慰劑)；變量Z2表示病人雌激素受體蛋白狀態(tài)(1，陽(yáng)性；0，陰性)；X為病人腋淋巴結(jié)個(gè)數(shù);U為腫塊的大小。模型如下：

表1 誤差服從N(0,1)分布的模擬結(jié)果

表2 誤差服從t(5)分布的模擬結(jié)果

Y=b1Z1+b2Z2+α(U)X+ε

(19)

實(shí)例分析時(shí)采用的缺失數(shù)據(jù)處理方法為CA和IM，參數(shù)估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表3，非參數(shù)部分的估計(jì)結(jié)果見(jiàn)圖1。由表3可見(jiàn)，所有的系數(shù)估計(jì)值都是正值，但是變量Z1的系數(shù)估計(jì)值比較小，也就是說(shuō)，乳腺癌患者的生存時(shí)間雖然沒(méi)有受到“是否接受藥物治療”這個(gè)因素的顯著性影響，但若服用三苯氧胺，病人存活的時(shí)間還是可以延長(zhǎng)；另外雌激素受體蛋白狀態(tài)為陽(yáng)性也能增加生存時(shí)間，變量Z2的系數(shù)相對(duì)比較大，可見(jiàn)該因素對(duì)乳腺癌患者生存時(shí)間的影響更顯著一些。上述計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[11]的結(jié)論基本一致。根據(jù)圖1，非參數(shù)部分估計(jì)值意味著腫塊的增大會(huì)導(dǎo)致生存時(shí)間的減少，這與文獻(xiàn)[15]中的試驗(yàn)結(jié)果是一致的。

表3 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

圖1 非參數(shù)部分估計(jì)結(jié)果

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