李 健，任 青，呂洪勇

(1.上海理工大學(xué) 土木工程系，上海 200093；2.上海金盛隆置地有限公司，上海 201602)

1 研究背景

20世紀以來，國內(nèi)外關(guān)于部分埋入樁的水平振動特性展開了廣泛研究，但大多數(shù)采用恒定的土性參數(shù)研究線性條件下樁基振動特性，其中Gazetas和Dobry[1]基于靜力荷載作用下的樁身位移，提出了動力荷載作用下水平動阻抗的計算模型。黃茂松等[2]采用動力Winkle地基模型模擬樁土之間的動力相互作用，提出了線性條件下計算層狀地基中單樁及群樁阻抗的一種簡化數(shù)學(xué)方法。任青等[3]采用Euler-Bernoulli梁模型提出了考慮軸力影響的部分埋入樁水平振動模型。程鎮(zhèn)等[4]在2017年以Winkle地基梁模型為基礎(chǔ)，采用傳遞矩陣法考慮土體的分層情況，推導(dǎo)出了水平分布荷載下單樁計算公式，并建立了部分埋入群樁的樁-樁相互作用模型，得到了分布荷載作用下群樁的計算分析方法。

在程鎮(zhèn)等[4]提出的模型中假定土體剛度及阻尼比為恒值，事實上土體的剛度和阻尼比具有十分顯著的非線性特性，因此在樁基振動分析中，考慮土體非線性特性的影響具有十分重要的意義。Angelides等[5]最早基于blaney等的編碼采用一種等效的線性程序來模擬土體非線性特性以此來分析樁-土系統(tǒng)的非線性響應(yīng)。Gazetas[6]在2006年以p-y曲線為基礎(chǔ)，提出了一種新的求解單樁橫向荷載作用下的計算方法，該方法可以模擬土的非線性行為。鐘銳等[7]以Hardin-Drnevich模型參量作為非線性基礎(chǔ)，用迭代方法考慮了土體非線性對部分埋入群樁豎向振動的影響,分析了迭代收斂的條件。此外胡育佳等[8]、楊冬英等[9]、黃茂松等[10]、李煒等[11]對水平荷載下樁基的非線性動力響應(yīng)進行了深入研究。

本文在文獻[4]振動模型的基礎(chǔ)上以p-y曲線模型中動剛度、動阻尼特性作為非線性參數(shù)，運用循環(huán)迭代的方法，提出在非線性條件下求解單樁以及群樁在水平荷載作用下振動特性的新方法，并將其進行程序編碼，通過程序編碼控制不同工況下的樁-土變量進行非線性模擬分析。

2 動態(tài)p-y曲線模型

本文采用動態(tài)p-y曲線模型來模擬樁周土的非線性特性，即采用Matlock提出的靜態(tài)p-y曲線模型的割線剛度作為本文的動剛度kx,采用Gazetas[6]給出的阻尼公式作為本文的動阻尼cx。

2.1 動剛度kx

土體的剛度可定義為土體發(fā)生單位位移y所需的力的大小,即k=p/y。要得到動剛度kx,將黏性土中p-y曲線表達式:

(1)

變形得到土體動剛度kx:

(2)

式中:p為土體承載力；pu為土體極限承載力；y為土體位移；y50為土體承載力達到極限承載力的一半時的土體位移。

2.2 動阻尼cx

(3)

式中：ρs、βs和Vs分別為土密度、阻尼比和剪切波波速；d為樁身直徑；ω為振動圓頻率;a0=ω·d·Vs為無量綱頻率。

3 基礎(chǔ)理論部分

3.1 單樁振動方程

圖1為層狀土中部分埋入單樁，在樁身受到水平簡諧分布力q(z)eiωt作用下的計算簡圖，圖1中樁體彈性模量為Ep，截面慣性矩為Ip，單位長度的質(zhì)量為mp，長度為L，半徑為r，未埋入部分與埋入部分樁身長度分別為L1，L2。

圖1 部分埋入單樁計算簡圖

由文獻[4]中的假定，根據(jù)動力平衡條件，單樁第t微段樁身運動微分方程為:

(4)

解方程式(4)并根據(jù)傳遞矩陣法，可以得到單樁樁端(樁長為L處)與樁頂(樁長為0處)的位移u、轉(zhuǎn)角φ、彎矩M和剪力H之間的傳遞關(guān)系：

(5)

式中：[T]=[t]n[t]n-1…[t]1,[t]t為單樁自傳遞矩陣，首先由樁頂及樁底邊界條件可以得到單樁樁頭截面狀態(tài)向量：

(6)

3.2 分布荷載作用下的樁-樁相互作用模型

假設(shè)群樁由n根完全相同的部分埋入單樁組成，樁-樁相互作用的模型如圖2所示。

圖2 樁-樁水平相互作用模型

根據(jù)二維波動理論，主動樁位移u1(z)t引發(fā)被動樁附近土體自由場位移us(z)t:

us(z)t=ψt(s,θ)u1(z)t

(7)

式中:ψt(s,θ)為位移衰減函數(shù)，將土體位移場看作支點位移加到被動樁樁身，則被動樁第t段樁身的動力平衡方程可表示為:

(8)

采用求解單樁的方法求解方程式(8)，可得到被動樁樁底變形、內(nèi)力與被動樁樁頭處變形、內(nèi)力及主動樁樁頭處變形內(nèi)力之間的關(guān)系：

(9)

[T1]=[tB]n[tB]n-1…[tB]1

(10)

(11)

其中，tB為被動樁單樁自傳遞矩陣；tz為主動樁單樁自傳遞矩陣；tH為相互作用傳遞矩陣。根據(jù)被動樁樁頭及樁底邊界條件可得到被動樁樁樁頭截面狀態(tài)向量：

Z121=[u2(0),φ2(0),M2(0),H2(0)t]T

(12)

并根據(jù)傳遞矩陣(9)依次遞推可得被動樁樁身任意截面狀態(tài)向量：

(13)

由此根據(jù)已求出的被動(樁j)樁頭水平位移與主動樁(樁i)樁頭水平位移的比值可求得樁樁相互作用因子：

αji=uj(0)/ui(0)

(14)

3.3 分布荷載作用下的群樁振動模型

根據(jù)平衡及變形條件，可得以下矩陣方程組：

(15)

求解方程組(15)可以得到群樁樁頭位移uG和附加剪力Fi，同時群樁中第i根樁第t微段的變形和內(nèi)力可以由公式(16)來表示(詳見文獻[4])：

(16)

4 考慮土體非線性的部分埋入樁水平振動特性

4.1 單樁樁身非線性變形和內(nèi)力計算

(2)將上一步求解的土體位移y代入到土體的非線性剛度公式(2)和非線性阻尼公式(3)中，得到每層土體在對應(yīng)的位移下相對應(yīng)的非線性剛度kx和非線性阻尼cx；

(3)再將新得到的非線性剛度和非線性阻尼代入到單樁的運動微分方程(4)中，在動剛度和動阻尼條件下重新求解樁身的位移；

(4)比較前后兩次求解樁頭位移的差值Δ，當(dāng)Δ不滿足規(guī)定精度范圍時重復(fù)步驟(2)～(4)，反之當(dāng)兩者差值滿足精度要求時，進行下一步計算；

(5)計算此時樁身各截面狀態(tài)及其他所需數(shù)據(jù)并結(jié)束。

4.2 方法驗證與實例應(yīng)用

本節(jié)主要通過算例來驗證在考慮土體非線性條件下單樁動力響應(yīng)計算的正確性。

4.2.1 方法驗證1 Kramer等[12]在1990年對圓柱鋼管樁進行了全尺寸的橫向振動葉片測試，其計算簡圖如圖(3)所示，計算參數(shù)為：鋼管樁外徑d=0.2 m、鋼管壁厚t=0.0064 m、樁長L=14.9 m、彈性模量與慣性矩的積EpIp=3 831 kN·m2；土體重度γ=11.2 kN/m3、泊松比νs=0.49、土體剪切波速Vs=30 m/s、不排水抗剪強度cu=4～9 kPa(具體計算參數(shù)如圖3)。

(注：cu為土的不排水抗剪強度，kPa；Es單位為MPa，Z單位為m)

Gazetas等[13]在2006年用自己提出的非線性計算方法對Kramer的實驗進行了模擬，將自己的模擬結(jié)果與實驗結(jié)果進行對比驗證了自己模型的正確性。本文同樣用前文提出的非線性計算方法對Kramer的實驗進行模擬計算，并將計算結(jié)果同時與Kramer的全尺寸實驗結(jié)果以及Gazetas的理論模擬結(jié)果進行對比分析，圖4為在樁頭施加不同荷載下3種實驗結(jié)果的單樁樁頭位移隨荷載變化的關(guān)系對比圖。

圖4 單樁樁頭位移-荷載關(guān)系對比圖(方法驗證1)

圖4中可以看出本文解與Gazetas的計算結(jié)果吻合較好，并且與Kramer等的線性實驗數(shù)據(jù)規(guī)律一致，說明了本文模型的正確性和有效性，同時驗證本文計算結(jié)果更貼近實驗數(shù)據(jù)。

針對Gazetas等[13]在集中荷載Q=29 kN時對位移與彎矩隨深度變化趨勢的分析，利用本文模型進行計算并與Gazetas的計算結(jié)果進行了對比分析，如圖5所示。

圖5 單樁樁身位移及彎矩圖

從圖5可以看出本文解與Gazetas的理論解基本一致，樁身位移符合最好，在頂端時達到最大，埋深達到一定深度后位移幅值變得很小并且基本趨于穩(wěn)定，同時彎矩隨深度的變化規(guī)律也基本一致在頂端時彎矩為0，整體呈現(xiàn)沿深度先增大后減小的趨勢。

4.2.2 方法驗證2 Comodromos等[14]在2012年利用有限差分程序FLAC3D 對Matlock在1970年進行的混凝土單樁振動響應(yīng)實驗進行了非線性分析，本文采用模型對此實驗也進行了非線性計算，并對單樁樁頭位移-荷載變化關(guān)系與前人計算結(jié)果進行了對比。其計算參數(shù)為：混凝土樁直徑d=1.0 m、樁長L=25.0 m、樁彈性模量Ep=32 000 MPa、泊松比νs=0.2；土體飽和重度γsat=20 kN/m3、泊松比νp=0.49土體彈性模量Es=10 000 kPa，計算對比結(jié)果如圖6所示。

圖6 單樁樁頭位移-荷載關(guān)系對比圖(方法驗證2)

圖6給出了混凝土單樁在不同荷載等級下樁頭位移的規(guī)律，由圖6可以看出本文解與Matlock(1970)的實驗結(jié)果吻合較好，同時與Comodromos等基于Flac3d得到的結(jié)果規(guī)律一致，進一步驗證了本文模型的正確性和有效性。

4.3 非線性條件下單樁動阻抗影響因素

圖7為分析激振頻率與荷載等級對單樁阻抗的影響(土性參數(shù)選擇與Kaynia等[15]在1982年的分析相同)，其中在荷載Q=100 kN時與Kaynia等[15]在1982年的線彈性阻抗吻合較好，這是因為荷載較小時樁身的位移也相對較小，此時土體表現(xiàn)為線性狀態(tài)，這就導(dǎo)致了荷載較小時本文解與線彈性解基本一致。

隨著荷載的增加單樁剛度ks呈減小趨勢，而且在較低激振頻率下減小幅度較大，在較高激振頻率時剛度減小較少，說明荷載大小和激振頻率都對單樁剛度有一定的影響；對單樁阻尼Cs來說，荷載等級的影響很小，基本可以忽略(圖7(b)中不同荷載等級的多條線重合在一塊)，而激振頻率相對來說對單樁阻尼的影響較大，單樁阻尼隨激振頻率的增大而增大。

圖8為激振頻率與土體參數(shù)Es/cu對單樁非線性動力阻抗的影響，可以看出隨著Es/cu的增大，單樁剛度呈減小趨勢，而且在較低激振頻率下減小幅度較大，在較高激振頻率時剛度減小較小，說明土體參數(shù)Es/cu對單樁剛度的影響主要集中在較低頻率；但對單樁阻尼來說簡諧振動無論是在低頻率還是高頻率，Es/cu對單樁阻尼的影響均較小(不同級別的Es/Cu擬合線都重合在一起)，基本可以忽略不計。

4.4 考慮土體非線性的樁-柱相互作用因子

本節(jié)從埋入比、樁間距和樁位置角等因素對樁-樁相互作用因子的影響進行研究分析，并與線彈性下的計算結(jié)果進行對比分析。各計算參數(shù)為：混凝土樁彈性模量Ep=25 000 MPa、泊松比νp=0.2；土體彈性模量Es=25 000 kPa。計算結(jié)果如圖9所示，給出了樁頭集中力作用下樁-樁相互作用因子α，分析圖9可以得出如下結(jié)論：

圖7 不同荷載等級下激振頻率對單樁非線性動力阻抗的影響

圖8 不同土體參數(shù)Es/cu激振頻率對單樁非線性動力阻抗的影響

(1)由圖9(a)可以看出不管是對樁-樁相互作用因子α的實部還是虛部，在低頻段(a0<0.3時),各埋入比下的計算結(jié)果線彈性與非線性計算結(jié)果都有一定差距，隨著頻率的增加線性與非線性計算結(jié)果逐漸趨于一致，但當(dāng)a0>0.3時埋入比越大線彈性與非線性的計算結(jié)果有逐漸增大的趨勢，由此可以看出在頻率較低(a0<0.3)以及埋入比較大的情況下非線性計算更能準確地模擬出樁-樁相互作用因子的變化情況。

(2)由圖9(b)綜合觀察樁-樁相互作用因子α的實部與虛部變化情況，可以看出在低頻段(a0<0.3)不同樁間距(s/d=2、5、10)的非線性計算結(jié)果與線彈性計算差距結(jié)果都比較明顯，但是當(dāng)a0>0.3時，兩種計算結(jié)果基本重合且隨著樁間距的增加線彈性計算與非線性計算結(jié)果趨于一致，由此可以看出在激振頻率較低時土體的非線性特性在樁基振動問題中對樁-樁相互作用因子的影響較大，高頻率下樁間距的變化土體非線性對樁-樁相互作用因子的影響不大。

(3)圖9(c)給出了θ角對樁-樁相互作用因子的影響。在低頻段(a0<0.2)不同θ角的非線性計算結(jié)果與線彈性條件下樁-樁相互作用因子的計算結(jié)果都有較大的差距，但當(dāng)a0>0.2時其基本重合，而且在重合部分中θ=45°時相互作用因子的二倍為θ=0°和θ=90°時相互作用因子數(shù)值的和，出現(xiàn)這種趨勢正好符合土體的水平自由位移的衰減函數(shù)的特征，由此證明了本文非線性模型在低頻率計算中的優(yōu)越性。

圖9 樁樁相互作用因子的影響因素

4.5 群樁非線性動力模型

線性條件下的群樁振動模型如3.3節(jié)所述,考慮土體非線性條件的群樁樁身變形和內(nèi)力求解步驟為：

(2)將上一步求解的各樁身位移代入到土體的非線性剛度公式(2)和非線性阻尼公式(3)得到每層土體在對應(yīng)的位移下相對應(yīng)的非線性動剛度kx和非線性動阻尼cx；

(3)再將新得到的非線性剛度和非線性阻尼，按3.3節(jié)公式(15)、(16)求出在動剛度和動阻尼下各樁樁身位移及群樁樁頭位移；

(4)比較前后兩次求解的群樁樁頭位移的差值Δ，當(dāng)Δ不滿足精度要求時重復(fù)步驟(2)～(4)，反之滿足要求的精度后，進行下一步；

(5)算出此時各樁身各截面狀態(tài)及其他所需數(shù)據(jù)并結(jié)束。

群樁非線性水平動阻抗筆者定義為群樁頭產(chǎn)生單位位移所需要的合力的大小，即：

(17)

本節(jié)主要以3×3群樁為例重點研究埋入比和樁間距等因素對群樁水平阻抗的影響。各計算參數(shù)的取值為：混凝土樁彈性模量Ep=25 000 MPa、泊松比νp=0.2；土體彈性模量Es=25 000 kPa。3×3群樁樁位布置示意圖如圖10所示，計算結(jié)果如圖11所示。

分析圖11 可以得出如下結(jié)論：

(1)由圖11(a)可以看出對于群樁來說，無論是線彈性還是非線性情況，隨著埋入比的增加群樁非線性水平動剛度和動阻尼幅值都相應(yīng)的減小(在較高頻率a0>0.5時變化更明顯)，說明埋入比越大，群樁阻抗越小，樁更加柔性；此外在全頻率范圍內(nèi)隨著埋入比的逐漸減小，非線性計算結(jié)果與線性計算結(jié)果的差值呈現(xiàn)出逐漸增大的趨勢，說明在埋入比較小的情況下土體表現(xiàn)出強烈的非線性特性，在實際工程應(yīng)用中應(yīng)重點考慮。

(2)由圖11(b)可以看出無論是非線性計算結(jié)果還是線性計算結(jié)果，群樁的水平動剛度和動阻尼的變化曲線都隨樁間距的增加而出現(xiàn)了更多峰合值，說明樁間距對群樁非線性水平動剛度和動阻尼有明顯地影響；此外，針對不同的樁間距考慮土體非線性的計算結(jié)果與線性條件下的計算結(jié)果都有不同程度的差值，但差值與樁間距的變化趨勢并未發(fā)現(xiàn)特定的聯(lián)系，需要進行后續(xù)研究。

圖10 3×3群樁樁位布置示意圖

圖11 不同埋入比和樁間距對3×3群樁阻抗的影響因素

5 結(jié) 論

本文基于分布荷載作用下部分埋入的群樁水平振動特性的研究成果，以樁身內(nèi)力-位移與土性參數(shù)之間的相互關(guān)系為依據(jù)，運用循環(huán)迭代的計算方法，提出一種新的單樁及群樁在橫向荷載作用下的非線性計算方法并將其程序化。該程序不僅可以模擬土體的非線性特性，還可以模擬樁身在橫向荷載作用下的非線性結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)。通過與Kramer、Matlock、Gazetas等實驗結(jié)果的對比驗證了本文方法的正確性。同時利用本文提出的程序方法更精確地分析了土體的非線性在不同埋入比、樁間距和激振頻率下的表現(xiàn)特性，分析了在何種工況下應(yīng)著重考慮樁側(cè)土體非線性對水平受荷單樁及群樁動力響應(yīng)的影響。