郭 昊，魏 旭，張永平，王海濤，鄧大偉，朱興旺

（1.東北石油大學(xué)石油工程學(xué)院，黑龍江大慶163318；2.中國石油大慶油田有限責(zé)任公司采油工程研究院，黑龍江大慶163454）

致密儲層的低滲透特性使其無法在鉆完井之 后直接投入生產(chǎn)［1］，需要采取適當(dāng)?shù)脑霎a(chǎn)措施。提升水平井鉆井技術(shù)［2］以及采取水力壓裂增產(chǎn)措施是提升該類儲層產(chǎn)能的重要方法［3-8］，有必要對其進行深入研究。水力壓裂技術(shù)的研究方法主要包括3方面：理論研究、實驗研究以及數(shù)值模擬研究。較常見的數(shù)值模擬方法包括邊界元法、有限元法、有限差分法以及離散元法等。CHEN等［9］應(yīng)用有限差分法解決斷裂力學(xué)問題。有限元法也能夠解決裂縫問題，許多基于有限元的方法已被開發(fā)用于解決這類問題，例如具有自適應(yīng)網(wǎng)格的常規(guī)有限元法［10］、粘結(jié)單元法［11］、節(jié)點力釋放法、嵌入式不連續(xù)法［12］和擴展有限單元法等［13］。這些方法主要是將裂縫模型嵌入網(wǎng)格中，但在處理裂縫延伸時有很大難度。因為常規(guī)有限元法不能描述單元內(nèi)的不連續(xù)表面，裂縫必須沿著單元邊界或給定的路徑延伸，在一定程度上限制了裂縫的延伸。這些數(shù)值模擬方法有個共同點，就是需要劃分網(wǎng)格。但在求解過程中的網(wǎng)格變形、沙漏效應(yīng)嚴(yán)重影響計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

物質(zhì)點法（MPM）是一種無網(wǎng)格數(shù)值模擬法，用來解決動態(tài)固體力學(xué)問題。它可以用來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的動態(tài)有限元法。在MPM中，將材料離散為一組質(zhì)點。背景網(wǎng)格與質(zhì)點相關(guān)聯(lián)，由網(wǎng)格控制邊界條件，背景網(wǎng)格只是作為計算工具，質(zhì)點信息與背景關(guān)聯(lián)，在每一個時間步長內(nèi)求解動量方程。方程式求解成功后，基于所有的質(zhì)點屬性如位置、速度、加速度和應(yīng)力狀態(tài)等，對網(wǎng)格進行更新。MPM結(jié)合了拉格朗日（質(zhì)點）和歐拉（網(wǎng)格）的優(yōu)點，已證明可用于解決裂縫延伸問題，包括在塑性或粘性變化影響下的大應(yīng)變或旋轉(zhuǎn)。但目前該方法很少用于水力壓裂方面的研究。在考慮儲層非均質(zhì)性的基礎(chǔ)上，對大慶油田某地區(qū)致密儲層水平井的改造效果進行評價分析，模擬結(jié)果與井下微地震監(jiān)測情況進行對比，以驗證所提出方法的準(zhǔn)確性。

1 物質(zhì)點方程

1.1 控制方程

假設(shè)區(qū)域Ω受牽引力和位移邊界條件的影響，其控制方程為［14］：

壓裂液在儲層中的流動滿足質(zhì)量守恒方程，即（1）式。

以虛擬位移δu（iδui|Γu=0）為測試函數(shù)，動量方程（2）和牽引邊界方程（3）的弱形式為：

在斷裂力學(xué)中，主要的問題是對裂縫應(yīng)力場進行分析。為了表征裂縫尖端的應(yīng)力場各向異性，并預(yù)測裂縫的延伸情況，假設(shè)裂縫延伸過程中能量是均衡的，能量釋放率控制裂縫的延伸。當(dāng)能量釋放率超過臨界韌性（裂縫表面吸收能）時，裂縫延伸。在物質(zhì)點法中，根據(jù)局部應(yīng)力和裂縫面的J積分來計算能量釋放率［15］，J積分表達(dá)式為：

假設(shè)人工壓裂的裂縫延伸角度主要受最大水平主應(yīng)力方向的影響。該假設(shè)基于物體在剪切力方向上阻止裂縫形成，使得裂縫走向發(fā)生變化，形成Ⅰ型裂縫?；谶@個理論，裂縫走向與水平軸夾角的表達(dá)式為：

1.2 方程離散及求解

在求解動量方程時，質(zhì)點和背景網(wǎng)格完全固定連接，隨背景網(wǎng)格一起運動，因此可通過建立在背景網(wǎng)格節(jié)點上的有限元形函數(shù)N（Ix）i來實現(xiàn)質(zhì)點和背景網(wǎng)格節(jié)點之間信息的映射。用帶有下標(biāo)I的量來表示背景網(wǎng)格節(jié)點的變量，用帶有下標(biāo)p的量來表示質(zhì)點攜帶的變量，則質(zhì)點p的位移uip可以由背景網(wǎng)格節(jié)點的位移uiI插值而得到，即在MPM中，區(qū)域Ω被離散化為質(zhì)點集合，并且背景網(wǎng)格用于求解動量方程。在每個時間步中，質(zhì)點都附著在背景網(wǎng)格上。因此，可以通過內(nèi)插網(wǎng)格節(jié)點位移來獲得粒子位移，其表達(dá)式為：

以弱形式（6）中的粒子作為正交點，應(yīng)用虛擬位移（δuiI）可得到背景網(wǎng)格節(jié)點動量方程為：

采用中心差分法［16］求解背景網(wǎng)格結(jié)點動量，可得tn+1/2時刻的背景網(wǎng)格結(jié)點動量為：

通過背景網(wǎng)格形函數(shù)將積分結(jié)果映射回質(zhì)點以更新質(zhì)點的位置和速度，即分別利用背景網(wǎng)格的加速度場和速度場更新質(zhì)點的速度和位置，則：

2 儲層改造效果評價模型的建立及分析

2.1 模型的建立

根據(jù)已完鉆水平井的井眼軌跡，選取參數(shù)包括：儲層滲透率為0.29 mD，泄流面積為100 000 m2，楊氏模量為55 GPa，泊松比為0.26，巖石密度為2.60 g/cm3，斷裂韌性為15 J/m2，最大水平主應(yīng)力為50 MPa，最小水平主應(yīng)力為40 MPa，各向異性系數(shù)為1.08，水平井與南北夾角為45°，施工排量為10 m3/min，最大加砂濃度為25%?；谖镔|(zhì)點法，建立儲層改造效果評價模型（圖1）。通過求解動量方程（（2）式），利用背景網(wǎng)格的加速度場和速度場更新質(zhì)點的速度和位置（（18）式和（19）式）來計算裂縫的延伸情況。根據(jù)J積分計算結(jié)果，即（7）式和（8）式，確定壓裂裂縫附近產(chǎn)生的應(yīng)變，從而對儲層改造效果進行評價。

圖1 儲層改造效果評價模型Fig.1 Schematic of the mathematical model to evaluate the formation stimulation

2.2 壓裂施工段數(shù)

目前為止，壓裂施工段數(shù)的選取并沒有一個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，所建立的儲層改造效果評價模型考慮了地質(zhì)參數(shù)與施工參數(shù)，最大可能地還原儲層真實情況，從而需要對壓裂施工段數(shù)進行優(yōu)化。由壓裂施工段數(shù)對儲層改造面積的影響（圖2）可見，儲層改造面積比例隨著壓裂段數(shù)的增加而逐漸增加，但整體上升趨勢逐漸減緩，當(dāng)壓裂段數(shù)達(dá)到15段時，繼續(xù)增加壓裂段數(shù)，儲層改造面積的比例提升不再明顯。由儲層改造面積增長比例（圖2b）可見，壓裂段數(shù)從10段增長到12段時，增幅比例較大且保持在0.04，這表明，該儲層條件下，若采用小于12段壓裂，會嚴(yán)重限制儲層改造效果的提升。當(dāng)壓裂段數(shù)超過12段時，儲層改造面積的增長比例持續(xù)下降，達(dá)到15段后繼續(xù)增加壓裂段數(shù)，其儲層改造面積增幅比例小于0.01。結(jié)合圖2a和2b可最終得出，該井選取15段壓裂較為合理，此時儲層改造面積比例為0.87。

2.3 裂縫形態(tài)

在考慮儲層非均質(zhì)性的情況下，由水平井井筒左右兩側(cè)裂縫半長與設(shè)計裂縫半長的對比（圖3）可以明顯看出，左右裂縫半長相差很大，裂縫半長的整體變化規(guī)律與儲層改造面積的變化規(guī)律基本相同，在假設(shè)為均質(zhì)的前提下，該區(qū)塊的研究結(jié)果會與實際情況產(chǎn)生嚴(yán)重的偏離。對于6—10段較均質(zhì)的儲層，其裂縫半長均小于設(shè)計裂縫半長，產(chǎn)生這種情況的主要原因是對于非均質(zhì)儲層，水平井井筒一側(cè)裂縫可能很難有效延伸，使得地面注入的壓裂液流向更容易產(chǎn)生裂縫的另一側(cè)，從而產(chǎn)生一側(cè)裂縫半長特別長，另一側(cè)裂縫半長較短的情況；而對于儲層較為均質(zhì)的情況，能量均勻分布在水平井井筒兩翼裂縫縫尖上，因此兩翼裂縫半長很相近，裂縫半長與設(shè)計半長相近。

圖2 壓裂施工段數(shù)對儲層改造面積的影響Fig.2 Influence of the number of fracturing stage on the stimulated reservoir area

圖3 考慮非均質(zhì)性的水平井井筒兩側(cè)裂縫半長分布Fig.3 Distribution of fracture half-length on two wings of horizontal well in the consideration of heterogeneity

2.4 儲層改造效果

壓裂施工能有效增加儲層的改造面積，最終提升油氣井的產(chǎn)量。而對儲層改造效果一直缺乏合理準(zhǔn)確的評價方法。根據(jù)所建立的儲層改造效果評價模型，對15段裂縫的改造效果進行評價。因為模型考慮儲層非均質(zhì)性，所以對水平井井筒左側(cè)和右側(cè)的儲層改造情況分別進行研究。1—5段兩翼不對稱，東側(cè)改造效果好；6—11段兩翼較為對稱，但西側(cè)改造效果好于東側(cè)；12—15段西側(cè)改造效果好（圖1）。由圖4可見，6—10段水平井井筒左右兩側(cè)的儲層改造面積相差不大，表明6—10段附近區(qū)域儲層較為均質(zhì)。1—5段和11—15段水平井井筒左右兩側(cè)的儲層改造面積差距很大，表明儲層非均質(zhì)性強。對于強非均質(zhì)儲層采用均質(zhì)模型進行計算，結(jié)果會存在很大誤差。應(yīng)用所建模型可知，如果在左右兩側(cè)儲層改造面積相同的部位（圖1中的黑色實線）布置水平井井筒，則其左右兩側(cè)近似為均質(zhì)情況，可避免儲層非均質(zhì)性對儲層改造效果的影響，使儲層改造效果得以改善。

圖4 儲層改造效果評價Fig.4 Evaluation of the formation stimulation

為進一步對儲層的非均質(zhì)性進行研究，選取非均質(zhì)性較為嚴(yán)重的1—5段進行詳細(xì)分析，應(yīng)用（7）式分別計算1—5段的J積分變化情況（圖5）。J積分是與裂縫延伸路徑無關(guān)的積分，主要表示裂縫尖端產(chǎn)生的應(yīng)變場的平均值。由圖5可見，無因次時間小于0.5時，J積分的值為0。當(dāng)無因次時間達(dá)到0.5時，J積分的值開始逐漸增加。J積分的值從大到小排序為第3段、第5段、第2段、第4段及第1段。與5段裂縫的儲層改造面積（左右裂縫半長的改造面積之和）的大小排序相同。這表明可以通過計算J積分的大小來比較各壓裂段之間的儲層改造效果。每段的J積分曲線波動情況不同且均出現(xiàn)無規(guī)律的增減，水平井井筒兩側(cè)的儲層改造面積之差越大，儲層非均質(zhì)性越強，J積分曲線波動越明顯。產(chǎn)生這種情況的主要原因是由于水平井井筒一側(cè)相對容易產(chǎn)生應(yīng)變而另一側(cè)相對困難，導(dǎo)致能量分布不均勻，J積分變化無規(guī)律。因此，可以根據(jù)J積分曲線的復(fù)雜程度，評價儲層的非均質(zhì)性。

圖5 J積分變化情況Fig.5 Changes of J integral

2.5 模型驗證

為了驗證所建數(shù)值模型的準(zhǔn)確性，將差應(yīng)力場模擬情況與微地震檢測信號進行對比（圖6），差應(yīng)力場與微地震檢測信號一致，儲層非均質(zhì)性較強的1—5段（圖6a和6b中黑圈部分），其相似度仍然很高，因此，所建非均質(zhì)模型的計算結(jié)果準(zhǔn)確，與實際情況相似度很高，適合作為該類非均質(zhì)儲層的數(shù)值模型。

圖6 差應(yīng)力場與微地震檢測信號對比Fig.6 Comparison between in-situ differential stress field and microseismic detection signal

3 結(jié)論

根據(jù)物質(zhì)點法特性，建立非均質(zhì)儲層改造效果評價模型，對儲層改造效果進行分析，并對壓裂施工段數(shù)選取情況進行研究。最終可以得到如下結(jié)論：①壓裂過程中，儲層的非均質(zhì)性必須考慮，所建模型能有效預(yù)測及評價儲層改造效果。②通過計算J積分，可以比較各段儲層改造面積，并且可以根據(jù)J積分曲線的復(fù)雜程度，評價儲層的非均質(zhì)性。③壓裂施工段數(shù)在一定程度上可以增加儲層的改造面積，但是當(dāng)段數(shù)達(dá)到一定程度時，儲層改造面積增幅顯著降低。④不考慮儲層非均質(zhì)性，會嚴(yán)重降低儲層改造效果，且水平井井筒兩翼裂縫半長分布不均勻。

符號解釋：Ω——區(qū)域；ρ——密度，kg/m3；X——拉格朗日坐標(biāo)；t——當(dāng)前時間，s；J——雅可比行列式；ρ0——初始密度，kg/m3；σij,j——柯西應(yīng)力，Pa；bi——單位質(zhì)量的體力，N/kg；i——加速度，m/s2；下標(biāo) i，j——愛因斯坦公式中空間變量的分量；ω˙int——單位質(zhì)量的內(nèi)能，J；Dij——變形率張量，m；σij——ij方向的柯西應(yīng)力張量，Pa；——物質(zhì)點速度，m/s；u˙0i——初始速度，m/s；ui——物質(zhì)點位移，m；u0i——初始位移，m；n′j——無因次單位外法線方向；σji——ji方向的柯西應(yīng)力張量，Pa； ˉti——面力，N；uˉi——質(zhì)點邊界速度，m/s；Γt和Γu——Ω的無因次牽引邊界和位移邊界；δ——Dirac函數(shù)；ui,j——質(zhì)點在愛因斯坦公式中空間變量的分量位移，m；?！獓@裂縫尖端的任意積分輪廓；Jm——J積分，J/m2；m——其值為1，2，分別表示水平井井筒左側(cè)和右側(cè)；k——積分點，個；nj——積分點總數(shù)，個；W——通過積分dW=σijdεij得到的應(yīng)力功密度，J/m2；εij——應(yīng)變；E——動能密度，J/m2，其值為2；nm——圍繞裂縫尖端的任意積分輪廓（Γ）或圍繞裂縫尖端的具有最大半徑ε的積分輪廓（Γε）單位法向量的第m個分量，m2；xm——質(zhì)點坐標(biāo)；?ui/?xm——位移梯度；G——能量釋放率；J1——水平井井筒左側(cè)J積分，J/m2；J2——水平井井筒右側(cè)J積分，J/m2；θ——裂縫走向與水平軸的夾角，（°）；KⅠ——Ⅰ型裂縫應(yīng)力強度因子，MPa· m；KⅡ——Ⅱ型裂縫應(yīng)力強度因子，MPa· m；uip——質(zhì)點p的位移，m；NIp——在粒子p的位置處評估的節(jié)點I的形狀函數(shù)；uiI——背景網(wǎng)格節(jié)點位移，m；下標(biāo)p——質(zhì)點；I——網(wǎng)格節(jié)點；p˙i——節(jié)點動量，kg·m/s；mI——背景網(wǎng)格的總質(zhì)量矩陣；u¨iI——粒子的加速度，m/s2；fiIint——背景網(wǎng)格節(jié)點內(nèi)力，N；fext——背景網(wǎng)格節(jié)點外力,N;p——第I個網(wǎng)格節(jié)點在i方iIiI向的動量，kg·m/s；viI——網(wǎng)格節(jié)點I處的速度，m/s；np——質(zhì)點數(shù)量，個；mp——背景網(wǎng)格的質(zhì)量矩陣；ρp——p點密度，kg/m3；NIp,j——p點的形函數(shù)；σijp——p點的應(yīng)力張量，Pa；bip——p點的體力，N；Δtn——時間間隔時刻質(zhì)點的速度時刻質(zhì)點的速度，m/s；ng——網(wǎng)格節(jié)點的數(shù)量，個時刻質(zhì)點的位置；——tn時刻質(zhì)點的位置。