劉江濤,李建章,劉彥軍,高志鈺

(1.蘭州交通大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院,蘭州 730070； 2.甘肅省地理國情監(jiān)測工程實(shí)驗(yàn)室,蘭州 730070)

CPⅢ水準(zhǔn)網(wǎng)網(wǎng)形狹長，普遍采用水準(zhǔn)測量方式[1](困難時采用中間設(shè)站三角高程測量法)?！陡咚勹F路工程測量規(guī)范》(以下簡稱“規(guī)范”)中指出CPⅢ控制網(wǎng)水準(zhǔn)測量可按矩形環(huán)單程水準(zhǔn)網(wǎng)(矩形法)或往返測水準(zhǔn)路線(中視法)構(gòu)網(wǎng)觀測。實(shí)際作業(yè)時中視法測量每測站一個后視對應(yīng)多個前視，導(dǎo)致觀測高差之間不獨(dú)立，存在相關(guān)性，給其后傳統(tǒng)水準(zhǔn)網(wǎng)平差的權(quán)陣確立帶來了一定困難[2]。之后提出的新中視法是以現(xiàn)代電子水準(zhǔn)儀重復(fù)測量數(shù)據(jù)離散性小為基礎(chǔ)的單程觀測方式[3]。相比中視法其觀測效率顯著提升，但同樣存在相鄰點(diǎn)高差相關(guān)的問題。矩形法閉合環(huán)內(nèi)的高差按照“后—前—前—后”或“前—后—后—前”的順序觀測，可以對CPⅢ點(diǎn)進(jìn)行重復(fù)觀測，符合我國水準(zhǔn)測量習(xí)慣的同時也保證了觀測高差彼此獨(dú)立，但觀測效率仍然不高。X形法和Z形法以及矩形法改進(jìn)型(新矩形法、單程矩形法、雙程矩形法)均通過有效縮短司尺員移動距離來提高觀測效率，是對矩形法的進(jìn)一步改進(jìn)[4-6]。

但上述的不同類網(wǎng)形對現(xiàn)有軟件的適用性提出新的要求，且以高差為觀測值的傳統(tǒng)CPⅢ水準(zhǔn)網(wǎng)平差模型(以下簡稱“傳統(tǒng)模型”)處理中視法這類網(wǎng)形時，忽略觀測值的相關(guān)性，理論上并不嚴(yán)密。因此提出一種CPⅢ水準(zhǔn)網(wǎng)平差通用模型(以下簡稱通用模型)，該模型觀測值為水準(zhǔn)尺讀數(shù)，徹底消除了觀測值相關(guān)的可能性，突破了觀測網(wǎng)形的限制，適用性較強(qiáng)。

1 CPⅢ水準(zhǔn)網(wǎng)平差通用模型

1.1 函數(shù)模型

一般在CPⅢ水準(zhǔn)網(wǎng)觀測中，儀器在兩對CPⅢ點(diǎn)構(gòu)成的矩形環(huán)中心位置附近不挪動，直至觀測完該測站所有點(diǎn)，則儀器高(設(shè)為b)和儀器架設(shè)點(diǎn)的地面高程(設(shè)為Hz)在一個測站中始終不變。若某個CPⅢ點(diǎn)的水準(zhǔn)尺讀數(shù)為a，該點(diǎn)高程未知，用H代替，理想水平視線下有下式成立

H+a=Hz+b

(1)

然而在實(shí)際觀測中受到大氣折光、地球曲率以及儀器i角誤差等系統(tǒng)性偏差的影響，導(dǎo)致觀測時視線總會偏離水平位置。如圖1所示：由儀器i角誤差引起的偏差為δh1，大氣垂直折光和地球曲率共同引起的偏差為δh2，考慮到系統(tǒng)誤差則有下式成立

H+a=Hz+b+δh1-δh2

(2)

圖1 系統(tǒng)偏差影響下的視線示意

高鐵CPⅢ水準(zhǔn)網(wǎng)施測等級為精密水準(zhǔn)，電子水準(zhǔn)儀觀測時要求前后視距差不超過2 m，那么可以近似認(rèn)為一個測站δh1，δh2均為固定的系統(tǒng)性偏差?？紤]到平差時只需求得未知CPⅢ點(diǎn)高程，對其余未知量可以統(tǒng)一用參數(shù)λ進(jìn)行合并，即令

λ=Hz+b+δh1-δh2

(3)

式(2)可化簡為

a=λ-H

(4)

進(jìn)一步誤差方程可寫為

V=λ-H-a

(5)

上式為CPⅢ點(diǎn)觀測值誤差方程，對應(yīng)已知點(diǎn)觀測值誤差方程為

V=λ-(H0+a)

(6)

其中，H0為已知點(diǎn)高程。

由于觀測值為水準(zhǔn)尺讀數(shù)，一副水準(zhǔn)尺的零點(diǎn)之差在一個測段中無法消除，但一副合格的因瓦水準(zhǔn)標(biāo)尺， 其零點(diǎn)之差允許值為0.1 mm[7]，其影響可以忽略不計(jì)。

1.2 隨機(jī)模型

觀測值向量a=(a1，a2，…，an)T的協(xié)方差陣為

7)

根據(jù)CPⅢ平面構(gòu)網(wǎng)特點(diǎn)，選擇30 m視距下的水準(zhǔn)尺讀數(shù)為單位權(quán)觀測值，又考慮到觀測值相互獨(dú)立，則權(quán)陣為對角陣如下

8)

其中，d代表觀測值的視距。

1.3 現(xiàn)有網(wǎng)形下的多余觀測

目前，學(xué)者提出的諸多CPⅢ水準(zhǔn)網(wǎng)形，按每測站觀測的CPⅢ點(diǎn)個數(shù)，大致可歸納為兩類。第一類以中視法為代表，除首個測站外，單程每測站觀測CPⅢ點(diǎn)個數(shù)為3。網(wǎng)形如圖2所示，單程觀測時有n個測站，(2n+2)個CPⅢ點(diǎn)，(3n+1)個觀測值，n個值。往返觀測，值與觀測值的個數(shù)為單程觀測的2倍，多余觀測數(shù)r=2×(3n+1)-(2n+2+2n)=2n。

圖2 第一類網(wǎng)形單程觀測示意

第二類以矩形法為代表，每測站觀測4個CPⅢ點(diǎn)。如圖3所示，n個測站下，CPⅢ點(diǎn)、值個數(shù)分別為2n+2和n，觀測值個數(shù)為4n(同測站同一個CPⅢ點(diǎn)有多個水準(zhǔn)尺讀數(shù)時取均值作為一個觀測值，下同)。多余觀測數(shù)r=4n-(2n+2+n)=n-2，因此至少需要3個測站來確保網(wǎng)形有多余觀測。而CPⅢ水準(zhǔn)網(wǎng)，測站數(shù)遠(yuǎn)多于3，極易滿足要求。

圖3 第二類網(wǎng)形觀測示意

《規(guī)范》要求與已知點(diǎn)聯(lián)測方式通常為往返水準(zhǔn)。在轉(zhuǎn)點(diǎn)個數(shù)未知的情況下假設(shè)其個數(shù)為k，對于往返水準(zhǔn)路線，如圖4所示，共有(4k+4)個觀測值，(2k+2)個值，k個未知高程點(diǎn)(CPⅢ點(diǎn)在上述網(wǎng)形中已作為未知點(diǎn)，這里不再重復(fù)考慮)，多余觀測數(shù)為r=k+2。綜合考慮，附合到線路水準(zhǔn)基點(diǎn)的CPⅢ水準(zhǔn)網(wǎng)采用平差通用模型解算，多余觀測充足，誤差方程系數(shù)矩陣列滿秩，法方程解唯一。

圖4 往返水準(zhǔn)觀測示意

1.4 平差計(jì)算及精度評定

根據(jù)式(5)、式(6)和式(8)可構(gòu)建誤差方程的系數(shù)矩陣B、常數(shù)項(xiàng)l和權(quán)陣P，解法方程得

9)

進(jìn)一步可求得觀測值改正值

10)

單位權(quán)中誤差為

11)

12)

相鄰CPⅢ點(diǎn)間的高差平差值為

13)

由協(xié)因數(shù)傳播率得

14)

則高差中誤差為

15)

2 高差精度預(yù)估與閉合差限差推定

根據(jù)文獻(xiàn)[3]統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，在視距30 m的前提下，重復(fù)觀測50次，電子水準(zhǔn)儀讀數(shù)平均誤差θ=0.08 mm，由式(16)計(jì)算得單次觀測水準(zhǔn)尺讀數(shù)中誤差σ≈0.1 mm。

16)

設(shè)a1為后尺讀數(shù)，a2為前尺讀數(shù)，任意相鄰點(diǎn)的高差h=a1-a2，使用誤差傳播定律得

17)

忽略一副水準(zhǔn)尺的制造差異，在視距大致等于30 m的情況下，可以認(rèn)為a1、a2誤差均相等，均為σ。由式(17)得任意相鄰點(diǎn)的高差中誤差為

18)

每個CPⅢ點(diǎn)在單次觀測的情況下，利用水準(zhǔn)尺讀數(shù)估算的相鄰CPⅢ點(diǎn)間高差中誤差約0.14 mm，滿足《規(guī)范》不大于0.5 mm的要求。由誤差傳播律得相鄰4個CPⅢ點(diǎn)構(gòu)成的環(huán)閉合差中誤差σW=2σh=0.28 mm，取3倍中誤差為限差，其值不超過0.84 mm，小于《規(guī)范》規(guī)定的1 mm閉合差限差。

3 數(shù)據(jù)驗(yàn)證與分析

選取某客運(yùn)專線2個分段的CPⅢ水準(zhǔn)網(wǎng)原始觀測數(shù)據(jù)對通用模型進(jìn)行驗(yàn)證，觀測網(wǎng)形均為單程矩形閉合環(huán)，聯(lián)測水準(zhǔn)基點(diǎn)的方式為往返觀測。每個閉合環(huán)觀測4段高差，便于在觀測時進(jìn)行閉合環(huán)閉合差檢核。水準(zhǔn)網(wǎng)具體信息見表1。

表1 水準(zhǔn)網(wǎng)信息

其中，第一段水準(zhǔn)網(wǎng)待求點(diǎn)中CPⅢ點(diǎn)為228個，另外4個為聯(lián)測的高程未知的CPⅡ點(diǎn)。

3.1 計(jì)算流程

根據(jù)上面推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型，本文用Matlab編寫平差通用模型程序。計(jì)算流程如下。

(1)讀取原始觀測數(shù)據(jù)，生成一個平差文件，該文件包含觀測點(diǎn)名、水準(zhǔn)尺讀數(shù)、視距、測點(diǎn)的測站編號等信息。

(2)導(dǎo)入已知點(diǎn)高程數(shù)據(jù)，并對平差文件中的已知點(diǎn)高程進(jìn)行賦值。

(3)進(jìn)行測站觀測限差、環(huán)閉合差、附合路線閉合差的檢查，并計(jì)算每公里高差偶然中誤差和全中誤差判斷是否超限。

(4)由平差文件組建法方程，解算高程及參數(shù)的平差值和精度。

(5)按測站搜索相鄰的CPⅢ點(diǎn)，然后進(jìn)行高差平差值以及其精度的計(jì)算。

(6)計(jì)算成果輸出，繪制精度統(tǒng)計(jì)圖。

3.2 計(jì)算結(jié)果對比分析

經(jīng)檢核，兩段水準(zhǔn)網(wǎng)附合水準(zhǔn)路線閉合差、CPⅢ環(huán)閉合差及每千米水準(zhǔn)測量偶然中誤差和全中誤差均滿足精密水準(zhǔn)測量要求后進(jìn)行了平差解算。為檢驗(yàn)通用模型解算成果的可靠性，本文以基于傳統(tǒng)模型的 FSDI-GDPAS(中鐵一院通用地面測量工程控制網(wǎng)數(shù)據(jù)處理自動化軟件)平差成果作為實(shí)驗(yàn)的對比值。圖5、圖6分別顯示程序解算的高程和高差與對應(yīng)軟件解算值的較差絕對值分布情況。高程和高差較差絕對值大部分集中在0～0.2 mm內(nèi)，只有個別值分別落在0.3～0.5 mm和0.3～0.4 mm區(qū)間。通用模型解算的高程以及高差值已經(jīng)非常接近軟件解算成果。

圖5 高程較差絕對值分布

圖6 高差較差絕對值分布

通用模型解算的CPⅢ點(diǎn)高程中誤差(也包含了第1段的4個CPⅡ點(diǎn))與軟件解算對比見圖7。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，高程精度比軟件計(jì)算平均約高0.04 mm。

圖7 兩種模型解算的CPⅢ高程精度對比

通過高程平差值協(xié)方差計(jì)算的相鄰點(diǎn)間高差中誤差與軟件解算的中誤差見圖8，中誤差均滿足規(guī)范規(guī)定≯0.5 mm的要求，且精度不低于軟件解算。說明通用模型計(jì)算結(jié)果是可靠的。

圖8 兩種模型解算的高差精度對比

現(xiàn)用自編程序從原始觀測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取CPⅢ點(diǎn)一次的水準(zhǔn)尺觀測讀數(shù)組成新的觀測數(shù)據(jù)，用來模擬CPⅢ點(diǎn)單次觀測的情形。依然使用原始實(shí)測數(shù)據(jù)的高程、高差軟件解算值與單次觀測下通用模型對應(yīng)的解算結(jié)果作對比。圖9、圖10分別為通用模型解算的高程與高差和軟件解算值的較差絕對值分布圖?？梢钥闯?，高程較差絕對值大于0.2 mm的只有少數(shù)部分，均占其總體不到11%，同時高差較差絕對值大于0.2 mm的部分均不超過其總體的3%。

圖9 單次觀測下高程較差絕對值分布

圖10 單次觀測下高差較差絕對值分布

為檢驗(yàn)單次觀測下通用模型解算后的相鄰CPⅢ點(diǎn)位高程相對關(guān)系是否可靠，從上述兩段水準(zhǔn)網(wǎng)高差平差值中提取相鄰CPⅢ點(diǎn)間高差(第1段340個，第2段475個)與軟件解算值進(jìn)行對比。CPⅢ點(diǎn)間高差較差絕對值最大值及平均值如表2所示。兩段水準(zhǔn)網(wǎng)中相鄰CPⅢ點(diǎn)間高差較差絕對值最大為0.34 mm，說明通用模型解算的相鄰CPⅢ點(diǎn)間高差準(zhǔn)確，不改變CPⅢ點(diǎn)位高程相對關(guān)系。

表2 單次觀測下相鄰CPⅢ點(diǎn)間高差較差絕對值比較

表3顯示通用模型解算的兩段單次觀測水準(zhǔn)網(wǎng)相鄰CPⅢ點(diǎn)間的高差中誤差，顯然滿足規(guī)范≯0.5 mm的精度要求。綜合考慮，通用模型解算單次觀測的CPⅢ水準(zhǔn)網(wǎng)是可行的。

表3 單次觀測下通用模型解算的相鄰高差中誤差

4 結(jié)論

本文提出的CPⅢ水準(zhǔn)網(wǎng)平差通用模型，完全避免了觀測值相關(guān)的可能性，可適用于目前各類CPⅢ水準(zhǔn)網(wǎng)形。經(jīng)過實(shí)測數(shù)據(jù)檢驗(yàn)，該模型解算的高程、高差值均可靠，且在精度上略高于傳統(tǒng)CPⅢ水準(zhǔn)網(wǎng)平差模型。

CPⅢ水準(zhǔn)網(wǎng)平差通用模型算法流程簡單，直接提取原始觀測文件中的水準(zhǔn)尺讀數(shù)開列誤差方程，而傳統(tǒng)模型平差前需要對高差進(jìn)行預(yù)處理，如搜索同名高差并取均值然后重新定權(quán)等過程。另一方面，計(jì)算一個高差需要2把水準(zhǔn)尺的讀數(shù)，相比以高差為觀測值的傳統(tǒng)平差模型，通用模型數(shù)據(jù)利用率高。

精度估算和數(shù)據(jù)驗(yàn)證均表明，在現(xiàn)代電子水準(zhǔn)儀單次測量可靠性高的前提下，用CPⅢ水準(zhǔn)網(wǎng)平差通用模型處理單次觀測的CPⅢ水準(zhǔn)網(wǎng)時，解算值是可靠的。這解決了以往傳統(tǒng)CPⅢ水準(zhǔn)網(wǎng)平差時要求高差觀測值獨(dú)立，CPⅢ點(diǎn)需要重復(fù)觀測的問題，可降低對觀測數(shù)據(jù)量的要求，提高現(xiàn)場實(shí)測效率。