杜玉亮

(1 中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 機(jī)車車輛研究所， 北京 100081；2 北京縱橫機(jī)電科技有限公司， 北京 100094)

隨著軌道交通行業(yè)的發(fā)展，高速動(dòng)車組列車電傳動(dòng)系統(tǒng)輕量化、高效能已成為路內(nèi)技術(shù)研究的重要方向[1]。與目前我國(guó)動(dòng)車組列車普遍采用的異步電機(jī)不同，永磁同步電機(jī)(Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM)轉(zhuǎn)子為永磁體結(jié)構(gòu)，它無(wú)需轉(zhuǎn)子勵(lì)磁電流，因而功率密度和電機(jī)效率更高[2]。永磁牽引技術(shù)在軌道交通領(lǐng)域彰顯出強(qiáng)大的活力，阿爾斯通、西門子、東芝、中車株洲所等國(guó)內(nèi)外軌道交通裝備供應(yīng)商均已完成永磁同步電機(jī)在軌道交通裝備上的開發(fā)應(yīng)用和裝車運(yùn)行。

電流調(diào)節(jié)器作為永磁同步電機(jī)矢量控制的內(nèi)環(huán)，其動(dòng)態(tài)性能和魯棒性直接影響永磁同步電機(jī)控制性能[2-3,5]。矢量控制中，通過(guò)坐標(biāo)變換將電機(jī)定子三相電流轉(zhuǎn)換為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(Synchronous Rotating Frame, SRF)dq軸下直流量進(jìn)行控制，但靜止坐標(biāo)系到同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換后，電機(jī)定子dq軸之間存在交叉耦合，隨著電機(jī)轉(zhuǎn)速的升高會(huì)影響電流內(nèi)環(huán)的動(dòng)態(tài)性能[3,6-7]。

文中推導(dǎo)了永磁同步電機(jī)復(fù)矢量數(shù)學(xué)模型，基于該模型對(duì)同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系前饋/反饋解耦PI電流調(diào)節(jié)器和同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器的控制器性能做了對(duì)比分析。理論分析和仿真結(jié)果驗(yàn)證了同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器優(yōu)異的動(dòng)態(tài)性能。

1 永磁同步電機(jī)復(fù)矢量數(shù)學(xué)模型[4]

定義復(fù)矢量變量

(1)

永磁同步電機(jī)在靜止坐標(biāo)系下的復(fù)矢量數(shù)學(xué)模型如式(2)，式中上標(biāo)“s”表示靜止坐標(biāo)系

(2)

(3)

復(fù)矢量變量由靜止坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系時(shí)有

(4)

上標(biāo)“r”表示同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系。由式(4)可知，微分運(yùn)算轉(zhuǎn)為同步選坐標(biāo)系如式(5)

(5)

其中p代表微分算子，將式(4)式(5)代入式(3)可得同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下定子電壓矢量方程

(6)

化簡(jiǎn)后可得同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系永磁同步電機(jī)定子電壓復(fù)矢量方程

(7)

式中

由式(7)可以得到永磁同步電機(jī)d軸和q軸電壓方程矩陣為

(8)

2 永磁同步電機(jī)電流調(diào)節(jié)器動(dòng)態(tài)性能分析[3]

采用復(fù)矢量描述永磁同步電機(jī)模型可以簡(jiǎn)化分析，永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型由多輸入多輸出系統(tǒng)變換為單輸入單輸出系統(tǒng)。由式(7)可以得到永磁同步電機(jī)復(fù)矢量模型為

圖1 永磁同步電機(jī)復(fù)矢量數(shù)學(xué)模型

圖1 中永磁磁鏈產(chǎn)生的反電動(dòng)勢(shì)項(xiàng)jωeψf可以作為一個(gè)常量，假設(shè)不考慮其影響，則永磁同步電機(jī)復(fù)矢量數(shù)學(xué)模型在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下傳遞函數(shù)如式(9)

(9)

式(9)可以看出PMSM模型中包含一項(xiàng)與同步角頻率相關(guān)的耦合項(xiàng)jωeLs。隨著電機(jī)轉(zhuǎn)速的升高，dq軸交叉耦合項(xiàng)jωeLs隨同步頻率增大而增大。因此dq軸交叉耦合項(xiàng)的解耦處理是永磁同步電機(jī)控制的關(guān)鍵，直接影響中高速段電機(jī)控制性能。

2.1 基于狀態(tài)反饋解耦的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系PI電流調(diào)節(jié)器

圖2 狀態(tài)反饋解耦的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系PI電流調(diào)節(jié)器控制框圖

由圖2可推導(dǎo)狀態(tài)反饋解耦系統(tǒng)閉合傳遞函數(shù)如式(10)

(10)

圖3 基于前饋解耦的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系PI電流調(diào)節(jié)器控制框圖

根據(jù)圖3可知，基于前饋解耦的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系PI電流調(diào)節(jié)器閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(11)

圖4是永磁同步電機(jī)同步頻率從0到100 Hz變化時(shí)，基于前饋解耦的PI電流調(diào)節(jié)器系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)變化情況。

基于前饋解耦同步旋轉(zhuǎn)PI電流調(diào)節(jié)器零點(diǎn)Z1軌跡如圖4中所示，零點(diǎn)Z1軌跡試圖抵消變化的主導(dǎo)極點(diǎn)P1。由此可知，基于前饋解耦同步旋轉(zhuǎn)PI電流調(diào)節(jié)器的本質(zhì)是通過(guò)改變系統(tǒng)零點(diǎn)位置以抵消耦合項(xiàng)的影響，但其傳遞函數(shù)中仍存在耦合項(xiàng)，耦合未完全抵消，隨著同步頻率的升高，主導(dǎo)極點(diǎn)P1向虛軸移動(dòng)表明系統(tǒng)仍有不穩(wěn)定趨勢(shì)。

圖4 基于前饋解耦的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系PI電流調(diào)節(jié)器零極點(diǎn)分布圖

圖5 基于前饋解耦同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系PI電流調(diào)節(jié)器波特圖

圖5給出了前饋解耦方法的波特圖，當(dāng)系統(tǒng)同步頻率fe增大時(shí)，如圖中fe=50 Hz、fe=100 Hz，系統(tǒng)幅頻特性和相頻特性均與零速時(shí)幅頻特性和相頻特性有所差異。

2.2 同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器

改善電流調(diào)節(jié)器性能、消除耦合項(xiàng)影響的另一種方法是：不改變被控對(duì)象極點(diǎn)位置，對(duì)電流調(diào)節(jié)器進(jìn)行改進(jìn)，使電流調(diào)節(jié)器產(chǎn)生與被控對(duì)象極點(diǎn)位置相同的復(fù)零點(diǎn)，以滿足零極點(diǎn)對(duì)消條件達(dá)到消除耦合的目的。

同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器控制結(jié)構(gòu)如圖6所示。

根據(jù)圖6可知，基于復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為式(12)

(12)

復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器的核心是改變PI電流調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)，將PI調(diào)節(jié)器的零點(diǎn)由-Ki/Kp移至-Ki/Kp-jωe，這樣系統(tǒng)零點(diǎn)與主導(dǎo)極點(diǎn)能時(shí)刻相抵消。此外，復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器只需要控制器滿足Ki/Kp=Rs/Ls即可實(shí)現(xiàn)解耦控制，與電機(jī)電感Ls無(wú)關(guān)，因此復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器對(duì)電機(jī)參數(shù)的依賴程度遠(yuǎn)低于前饋解耦方法。

圖6 基于同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器控制框圖

圖7是永磁同步電機(jī)同步頻率從0到100 Hz變化時(shí)，同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)變化情況。由于在電機(jī)任何同步頻率處，復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器均能實(shí)現(xiàn)其主導(dǎo)極點(diǎn)與零點(diǎn)相抵消，如圖中P1、Z1所示，因此系統(tǒng)整定為典型I型系統(tǒng)。同樣地，同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器波特圖也可以在任意同步頻率處均具有理想的帶寬，這里不再給出。

圖7 基于復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器零極點(diǎn)分布圖

2.3 兩種電流調(diào)節(jié)器對(duì)比

基于反饋解耦電流調(diào)節(jié)器和復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器是兩種行之有效的控制方法，兩者本質(zhì)上是一致的，都是試圖改造系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)或控制器零點(diǎn)位置，以實(shí)現(xiàn)主導(dǎo)極點(diǎn)和零點(diǎn)相互抵消。下面從兩方面對(duì)這兩種電流調(diào)節(jié)器進(jìn)行比較。

(1)對(duì)電機(jī)參數(shù)依賴性

基于反饋解耦電流調(diào)節(jié)器系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)如式(13)

(13)

可以看出當(dāng)電機(jī)參數(shù)估算準(zhǔn)確時(shí)，系統(tǒng)是典型I型系統(tǒng)。

圖8 電機(jī)參數(shù)估算差異下反饋解耦電流調(diào)節(jié)器波特圖(fe=100 Hz)

當(dāng)電機(jī)參數(shù)估算準(zhǔn)確時(shí)，復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器可以取得良好的帶寬性能。當(dāng)參數(shù)估算不準(zhǔn)確時(shí)，如圖8中綠線和藍(lán)線所示，復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器性能受到一定影響，但與紅線相比差異非常小。此外，復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器相比反饋解耦PI電流調(diào)節(jié)器具有更好的電機(jī)參數(shù)魯棒性，其對(duì)電機(jī)參數(shù)依賴性更小，展示出更強(qiáng)的抗干擾性能。

(2)交叉耦合程度

電機(jī)電流調(diào)節(jié)器除了要具備更弱的電機(jī)參數(shù)依賴性，還應(yīng)對(duì)電機(jī)交叉耦合項(xiàng)實(shí)現(xiàn)良好的解耦效果。上面分析可知，電機(jī)交叉耦合程度與同步頻率密切相關(guān)，一般來(lái)說(shuō)隨著同步頻率的升高較差耦合程度愈強(qiáng)。

圖9 電機(jī)參數(shù)估算差異下復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器波特圖(fe=100 Hz)

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)均可寫為式(14)形式

(14)

理想情況下，|Gclo(s)|=1，表明系統(tǒng)電流實(shí)際值與指令值可實(shí)現(xiàn)零靜差跟蹤。實(shí)際中，系統(tǒng)交叉耦合是由坐標(biāo)變換復(fù)數(shù)因子j引來(lái)的，因此在系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)中，虛部Im{Gclo(s)}反映了系統(tǒng)交叉耦合的程度。由此可以定義式(15)表達(dá)式，觀測(cè)其幅頻特性曲線，幅值越大則表明交叉耦合頻率響應(yīng)的耦合越大。

(15)

圖10 前饋解耦PI電流調(diào)節(jié)器交叉耦合響應(yīng)(f*e=300 Hz)

圖10給出了前饋解耦PI電流調(diào)節(jié)器交叉耦合響應(yīng)圖，可以看出隨著電機(jī)同步頻率fe增加，交叉耦合響應(yīng)的幅值也隨之增加，這說(shuō)明交叉耦合響應(yīng)加重。由此可得，對(duì)于前饋解耦PI電流調(diào)節(jié)器，同步頻率越大耦合含量越高。

相反地，復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)和零點(diǎn)完全抵消，不隨同步頻率的改變而受到影響。因此復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器能夠?qū)崿F(xiàn)在任意頻率處的完全解耦控制。

3 仿真驗(yàn)證

分別選擇低速2 000 r/min和高速12 000 r/min兩種情況進(jìn)行仿真。在每種情況下，分別改變d軸和q軸電流指令值，觀察另一電流變化情況。d軸電流指令值在0.3 s由-10 A階躍至-30 A，q軸電流指令值在0.2 s 由10 A階躍至30 A。系統(tǒng)帶寬頻率設(shè)計(jì)為2 000 Hz。

圖11 2 000 r/min時(shí)兩種方法動(dòng)態(tài)特性仿真波形

圖12 12 000 r/min時(shí)兩種方法動(dòng)態(tài)特性仿真波形

(1)2 000 r/min轉(zhuǎn)速

圖11給出了電機(jī)運(yùn)行在2 000 r/min時(shí)前饋解耦PI電流調(diào)節(jié)器和復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器動(dòng)態(tài)特性仿真波形圖。0.2 s時(shí)，Iq電流由10 A階躍至30 A，可以看出前饋解耦方法Id電流有微小波動(dòng)，復(fù)矢量方法基本無(wú)波動(dòng)；0.3 s時(shí)，Id電流由-10 A階躍至-30 A，前饋解耦方法Iq電流也出現(xiàn)微小波動(dòng)，復(fù)矢量方法也基本無(wú)波動(dòng)。前饋解耦方法在低速時(shí)解耦性能雖與復(fù)矢量方法相比略有劣勢(shì)，但解耦效果仍然比較理想。

(2)12 000 r/min轉(zhuǎn)速

電機(jī)運(yùn)行于12 000 r/min時(shí)，從仿真結(jié)果可以看出前饋解耦方法和復(fù)矢量方法的解耦效果有了明顯的差異。在0.2 s時(shí)Iq電流由10 A階躍至30 A時(shí)，Id電流隨之產(chǎn)生較大的振蕩，幅值達(dá)到10 A左右；0.3 s時(shí)Id電流由-10 A階躍至-30 A時(shí)，Iq電流同樣有較大的振蕩，幅值達(dá)到5 A左右。這與上面分析一致，前饋解耦PI電流調(diào)節(jié)器特性隨著電機(jī)同步頻率的升高而逐漸惡化。然而復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器在12 000 r/min時(shí)，Id、Iq電流也能實(shí)現(xiàn)與低速時(shí)一樣的良好解耦效果。

仿真結(jié)果證明了上面對(duì)前饋解耦方法和復(fù)矢量方法的理論分析，表明前饋解耦方法動(dòng)態(tài)特性隨著電機(jī)同步頻率的升高而逐漸惡化，復(fù)矢量方法在任何同步頻率處均有理想的動(dòng)態(tài)特性。

4 結(jié) 論

文中推導(dǎo)了永磁同步電機(jī)復(fù)矢量數(shù)學(xué)模型，對(duì)比分析了同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系前饋/反饋解耦PI電流調(diào)節(jié)器和同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器的控制器性能

(1) 同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系前饋/反饋解耦PI電流調(diào)節(jié)器在低速時(shí)解耦效果較好，但隨著電機(jī)轉(zhuǎn)速的升高，該控制器對(duì)電機(jī)參數(shù)的依賴性增強(qiáng)，解耦效果下降。

(2) 同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系復(fù)矢量電流調(diào)節(jié)器在任何同步頻率處均有理想的解耦效果和動(dòng)態(tài)特性，且對(duì)電機(jī)參數(shù)的依賴性更低。優(yōu)于傳統(tǒng)電流控制方法，為永磁同步電機(jī)控制提供了一種抗擾能力強(qiáng)、動(dòng)態(tài)響應(yīng)迅速的控制方法。