張 攀，張選利，袁向麗，劉文秀

(青島科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，山東 青島 266069)

彈性模量(Elasticity Modulus,常簡寫為E)是表征固體材料抵抗變形的重要物理常數(shù)。測量彈性模量是材料力學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一。目前，實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中主要通過拉伸法來測量E，并采用增量法獲得等載荷增量F作用下，產(chǎn)生的應(yīng)變增量△εi,從而可以驗(yàn)證胡克定理并計(jì)算彈性模量[1-3]。

用增量法測量時(shí)，大多數(shù)文獻(xiàn)采用平均應(yīng)變增量計(jì)算E[2-3]。這種處理方式在本質(zhì)上會(huì)抹掉了中間測量數(shù)據(jù)，而僅使用了第一和最后一位數(shù)據(jù)，在一定程度上會(huì)導(dǎo)致較大的測量誤差。本文對實(shí)驗(yàn)測定低碳鋼的彈性模量過程中幾種常用的處理方法進(jìn)行對比分析，并就處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法給出一點(diǎn)建議。

1 平均應(yīng)變增量法

采用增量法，即逐級加載(如圖1所示)，可以測量在各次載荷增量Fi作用下，產(chǎn)生的應(yīng)變增量△εi。材料在比例極限內(nèi)服從虎克定律，應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系，有:

(1)

當(dāng)載荷增量相同時(shí)，理論上各級應(yīng)變增量也應(yīng)相同，文獻(xiàn)[2-3]采用平均應(yīng)變增量計(jì)算材料彈性模量

(2)

(3)

圖1 增量法示意圖

從式(3)可以看出，平均應(yīng)變增量計(jì)算得到的彈性模量僅與第1點(diǎn)和第N點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變有關(guān)，即彈性模量為圖1中直線1的斜率，而與過程中的其它數(shù)據(jù)點(diǎn)沒有關(guān)系，使得增量法在測量E時(shí)失去應(yīng)有的價(jià)值。而且由于使用數(shù)據(jù)少，會(huì)導(dǎo)致測量誤差大。

2 其它處理方法

文獻(xiàn)中，還有采用算術(shù)平均法，即根據(jù)每級載荷得到的Ei計(jì)算材料彈性模量[1]，計(jì)算式如下：

(4)

從式(4)看到，從幾何學(xué)角度，算術(shù)平均法的實(shí)質(zhì)是用各段直線斜率的平均值計(jì)算E，難以解釋其幾何意義。

利用數(shù)值分析中的最小二乘法原理可以將測量的應(yīng)力與應(yīng)變數(shù)據(jù)擬合成直線。根據(jù)最小二乘原理[4]，彈性模量的表達(dá)式為式(5)：

(5)

最小二乘法采用了所有測量點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行直線擬合，該直線的斜率即為彈性模量，其物理意義和幾何意義明確，并且該直線與實(shí)驗(yàn)測定的數(shù)據(jù)點(diǎn)的誤差的平方和也最小。

在數(shù)值分析中，還有采用均方根的平均方法，其計(jì)算方法是先平方、再平均、然后開方，計(jì)算式如式(6)：

(6)

在物理意義上，均方根平均有表達(dá)力的功的含義。

3 各種計(jì)算方法的結(jié)果比較

將實(shí)驗(yàn)中用電測法采集到的低碳鋼拉伸時(shí)的數(shù)據(jù)和采用不同方法計(jì)算彈性模量得到的結(jié)果，分別列于表1和表2。圖2也表達(dá)了平均應(yīng)變增量法和最小二乘擬合的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線。

表1 實(shí)驗(yàn)記錄數(shù)據(jù)(低碳鋼，截面積A=445.30mm2)

表2 各種計(jì)算的誤差比較

從表2可以看到，當(dāng)以最小二乘法擬合計(jì)算的彈性模量為基準(zhǔn)時(shí)，各種計(jì)算方法給出的E值的相對誤差并不大。但是從計(jì)算結(jié)果的物理和幾何意義的角度看，采用最小二乘法擬合是恰當(dāng)?shù)摹?/p>

圖2 各種計(jì)算方法擬合的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系圖

4 結(jié)語

與平均應(yīng)變增量法、算術(shù)平均法等方法計(jì)算低碳鋼的彈性模量相比，采用最小二乘法擬合雖然需要更多的數(shù)學(xué)知識，或數(shù)學(xué)軟件來幫助處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，但是，最小二乘法擬合在物理和幾何意義上更明確。因此，最小二乘法擬合更合適用于測量低碳鋼的彈性模量時(shí)的數(shù)據(jù)處理，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。