董正方, 師成力, 王君杰, 曾繁凱

(1. 河南大學(xué) 巖土與軌道交通工程研究所, 河南 開封 475004; 2. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點實驗室, 上海 200092)

0 引言

分析地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)時,工程設(shè)計中的常用做法是作用組合,即將結(jié)構(gòu)所受的重力作用和地震作用分開考慮,得到各自的結(jié)果后再進(jìn)行疊加。從理論上來說,這種作用組合方法對于線性情況適用而非線性情況并不適用。但為了分析簡便,目前,對非線性情況也常采用線性疊加方式。這種方式對于地上結(jié)構(gòu)誤差較小,但對于埋入土體中的地下結(jié)構(gòu),由于土體中存在初始地應(yīng)力,且土體在地震作用下很容易進(jìn)入非線性狀態(tài),因此,可能會存在較大的誤差。

目前,國內(nèi)外學(xué)者對地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)涉及的一些問題進(jìn)行了研究。高峰等[1]通過同時考慮靜力效應(yīng)和動力效應(yīng)的地下結(jié)構(gòu)靜-動力分析方法,推薦了一種較為合理的地下結(jié)構(gòu)靜-動力分析的人工邊界轉(zhuǎn)換方法; 趙密等[2]基于改進(jìn)的動力剛度連分式逼近方法,為頻域解析解的精確人工邊界條件轉(zhuǎn)換為時域高精度人工邊界條件提供了方法; 文獻(xiàn)[3-4]研究了土體的非線性處理方式; 文獻(xiàn)[5-6]探討了地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的簡化分析方法; 汪精河等[7]對比3種地震輸入方法并進(jìn)行算例分析得出黏邊彈性邊界,采用應(yīng)力輸入的方法進(jìn)行地震輸入; 劉晶波等[8]基于波動法和有限元法的特點,提出直接求解等效地震荷載然后進(jìn)行地震輸入的方法; 劉立平[9]和董正方等[10]等討論了重力的分析方法,但對該方法以及重力對地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影響程度等研究還不充分。因此,本文將從重力對土體特性的影響、重力對地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)影響的分析方法、重力對地震反應(yīng)影響的程度等幾個方面開展研究。

1 重力對地震反應(yīng)的影響

1.1 重力對土體性質(zhì)的影響

土體初始應(yīng)力主要受重力影響,深度越大則自重應(yīng)力越大。另外,同樣的土體在不同的埋深處,由于其自重應(yīng)力不同造成的力學(xué)特性也不同。在自重作用下,土體表現(xiàn)為壓硬性和剪脹性。當(dāng)土體的本構(gòu)關(guān)系采用黏彈性或等效線性時,需要知道最大剪切模量Gmax(或初始剪切模量G0)、阻尼比λ、剪切模量比和阻尼比隨剪應(yīng)變的試驗曲線等。其中,對于Gmax和λ,圍巖壓力對其有顯著影響,例如文獻(xiàn)[11]通過分析上海深厚場地的地震反應(yīng)得出,在大震作用時,宜考慮圍巖壓力對土體特性的影響,而剪切模量比、阻尼比隨剪應(yīng)變的經(jīng)驗曲線受土體性質(zhì)等諸多因素影響[12]。因此,重力因素主要是通過圍巖壓力影響土體性質(zhì),最大剪切模量受圍巖壓力影響較大,圍巖壓力越大,剪切模量越大。剪切模量比曲線隨圍巖壓力增加不變或增加不大,其中,砂土受到的影響較小,黏土受到的影響較大。阻尼比曲線隨圍巖壓力增加不變或減小。

1.2 重力與地震相互影響

地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)主要受周圍土體變形影響,土體受到的重力荷載和地震荷載也會影響土體的變形。因此,重力和地震對地下結(jié)構(gòu)的影響是不能分開來考慮的。重力產(chǎn)生正應(yīng)力σ和正應(yīng)變ε(見圖1(a)),垂直輸入剪切波產(chǎn)生剪應(yīng)力τ和剪應(yīng)變γ(見圖1(b))。對于二維和三維問題,為方便研究,經(jīng)常采用一些特殊的應(yīng)力,如八面體應(yīng)力和應(yīng)變。

圖1 應(yīng)力-應(yīng)變圖Fig. 1 Diagram of stress and strain

八面體正應(yīng)變?yōu)?/p>

八面體剪應(yīng)變?yōu)?/p>

式中:ε為正應(yīng)變,下標(biāo)x、y、z代表3個方向的主應(yīng)變;γ為剪應(yīng)變。

在重力與地震相互作用中,當(dāng)土體進(jìn)入非線性時,在地震作用下會引起剛度變化,進(jìn)而引起正應(yīng)變和剪應(yīng)變變化;土體正應(yīng)變和剪應(yīng)變的變化反過來也將引起土體剛度變化。因此,重力與地震是相互影響的。

2 重力作用下的地震反應(yīng)計算方法

2.1 初始應(yīng)力的處理

土體在自重作用下已經(jīng)完成的固結(jié)變形稱為先期固結(jié)變形。然而,固結(jié)完成前,土體尺寸是未知的,因此,有限元計算模型尺寸需根據(jù)固結(jié)完成后的尺寸確定。如果直接在模型上施加重力,模型將產(chǎn)生附加固結(jié)變形,特別是對于深厚土層,這種附加變形很大,甚至將改變模型的幾何尺寸,不利于后續(xù)的分析[13]。因此,在計算模型中需要施加初始地應(yīng)力,從而模擬土體的實際狀態(tài)。但在實際工程中,由于測試條件、工程投資等方面的限制,只能對為數(shù)不多的點進(jìn)行土體應(yīng)力測量。因此,通常通過分析計算的方法獲得土體應(yīng)力。

在分析時,如果不考慮構(gòu)造應(yīng)力的影響,土體中的應(yīng)力場和自重應(yīng)力場處于相互平衡狀態(tài)。自重應(yīng)力場常利用數(shù)值計算方法得到。假定彈性材料體內(nèi)存在初始應(yīng)力σ0或初始應(yīng)變ε0,則施加外荷載后的總應(yīng)力向量

式中: σ是總應(yīng)力列向量; D為彈性本構(gòu)矩陣; ε為加載產(chǎn)生的應(yīng)變。

采用虛位移原理,單元節(jié)點力與單元應(yīng)力關(guān)系

式中: Ke為單元剛度矩陣; pe為單元內(nèi)力的等效節(jié)點力向量; δe為單元節(jié)點位移向量; BT為應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣;為與初始應(yīng)力有關(guān)的剛度矩陣。

系統(tǒng)的平衡方程可變?yōu)?

式中: K為系統(tǒng)剛度矩陣; δ為單元節(jié)點位移向量; K為系統(tǒng)與初始應(yīng)力有關(guān)剛度矩陣; p為外荷載向量; CeT為位移轉(zhuǎn)換矩陣。

式(6)中,可以把初始應(yīng)力當(dāng)作一種特殊的荷載或者把其效應(yīng)當(dāng)作初始剛度。假定p為與重力等效的系統(tǒng)的荷載向量,σ0為與重力場相平衡單元的總應(yīng)力,則式(6)中的節(jié)點位移δ=0。這樣可以保證附加固結(jié)變形被消除,且施加的重力場不會產(chǎn)生新的單元應(yīng)力,保證單元應(yīng)力狀態(tài)與初始條件一致。還有一種近似方法就是從初始應(yīng)力為零開始先施加重力,得到應(yīng)力和應(yīng)變,后續(xù)計算減去初始應(yīng)變得到實際應(yīng)變。如果將初始應(yīng)力的效應(yīng)當(dāng)作初始剛度,則初始應(yīng)力或初始應(yīng)變相當(dāng)于修正了剛度矩陣,假定p為與重力相等效的系統(tǒng)的荷載向量,則{δ}≠0,這種情況常用于纜索結(jié)構(gòu)初始剛度的描述。本文使用ABAQUS軟件自帶的地應(yīng)力平衡模塊,把初始應(yīng)力當(dāng)做一種特殊的荷載。

2.2 重力的施加方式

開始地震計算時同時考慮重力,重力可以當(dāng)作不變的荷載施加[10],如式(7)中就是重力。

式中: u¨g=[0 0g0 0 0…0 0g0 0 0]Tm×m,m×m表示除了邊界以外的自由度;g是重力加速度,由于要與地震同時進(jìn)行動力計算,所以是時間的函數(shù)。

重力作用采用時間的函數(shù)有3種形式(見圖2),t1和t2是施加的重力時程變?yōu)間的時刻,同時,t2是地震開始施加時刻,本文t1取1 s,t2取10 s。方式1為t2時間內(nèi)重力從0變?yōu)間; 方式2為保持g一直不變;方式3為開始t1內(nèi)重力從0變?yōu)間,以后保持g一直不變。這3種施加方式都需要系統(tǒng)實際的或人為假定的阻尼或者耗能機(jī)制耗散重力時程的動力效應(yīng)。在消除動力效應(yīng)前的反應(yīng)時間t2內(nèi),系統(tǒng)的反應(yīng)是不真實的,因此,地震施加需要從t2時刻開始或者地震開始前t2時間內(nèi)進(jìn)行補(bǔ)零。方式1和方式2是方式3的2個極端,施加方式的優(yōu)劣可通過數(shù)值分析進(jìn)行評價。

3 重力對地震反應(yīng)的影響程度

由重力作用和地震作用相互影響,但影響程度以及重力施加的方式需要通過數(shù)值計算來評價。

3.1 算例

為評價重力施加方式,本文采用土層厚度為25 m的自由場,均勻土層,土體天然重度為18.6 kN/m3、剪切波速為130 m/s、泊松比為0.30; 模型底部垂直輸入水平地震,地震輸入采用Anza波,如圖3(a)所示。

圖2 重力時程施加方式Fig. 2 Different modes of gravity time history

圖3 地震波Fig. 3 Earthquake waves

評價重力對地震反應(yīng)的影響程度時,選取土層厚度為25 m的2種不同性質(zhì)均勻土層(Ⅱ類場地和Ⅲ類場地),土體、地下結(jié)構(gòu)參數(shù)和模型邊界條件見圖4。在模型底部輸入水平和豎向地震動,地震動采用Anza波,見圖3(a)(豎向地震動取水平地震動的2/3)以及Elcentro波(分別采用水平分量和豎向分量),如圖3(b)和圖3(c)所示。

為考慮人工邊界處地震波的反射問題,將人工邊界設(shè)置在離地下結(jié)構(gòu)一定的距離處,使在計算時間內(nèi)人工邊界處的反射波不影響地下結(jié)構(gòu)。因此,本文中計算模型寬度取為1 000 m。

圖4 模型示意圖Fig. 4 Schematic diagram of model

土體單元和結(jié)構(gòu)單元大小見圖4。其中,土體單元不大于λmin/8(λmin為地震波最小波長)[15]。土體阻尼比取5%,土體和地下結(jié)構(gòu)采用平面應(yīng)變單元,單元厚度為1 m。土體非線性采用Davidenkov模型[16]。

式中:A′、B′和γ0為擬合參數(shù),參數(shù)取值如表1所示,按Mashing法則構(gòu)造相應(yīng)的滯回曲線;γ為瞬時動剪應(yīng)變;G為瞬時動剪切模量;Gmax為最大動剪切模量。

表1 擬合參數(shù)表Table 1 Fitting parameters

3.2 重力的施加方式評價

選用自由場,設(shè)置工況如下: 工況1為有初始應(yīng)力、線性計算; 工況2為無初始應(yīng)力、線性計算; 工況3為有初始應(yīng)力、非線性計算。選取地表A點的水平和豎向位移時程結(jié)果進(jìn)行分析,如圖5所示。

圖5 位移對比結(jié)果Fig. 5 Comparison of displacements

分析圖5可知: 1)工況1時,由于地應(yīng)力平衡后系統(tǒng)有和重力平衡的初始應(yīng)力,如果開始時施加的重力為0(如方式1和方式3),就會產(chǎn)生一個較大的向上波動位移,且方式1的波動大于方式3; 如果施加重力為1g,則3種方式的豎向位移沒有波動。一定時間后再施加地震,方式2和方式3的豎向位移是重合的,方式1有偏差,三者水平位移重合。2)工況2時,方式2相當(dāng)于突加荷載,豎向位移在開始段波動大;方式1和方式3的波動小,其余規(guī)律同工況1。3)工況3時,方式1的豎向位移在開始段波動大,且方式1和方式3豎向位移沒有返回到0的位置; 施加地震后3種方式水平位移不重合。綜上可得,方式1有誤差,不宜使用;方式2和方式3在線性情況下可以使用。但由于進(jìn)行非線性工況計算不考慮初始應(yīng)力,很容易造成不收斂,因此,非線性工況需要進(jìn)行地應(yīng)力平衡,宜使用方式2。

3.3 重力對地震反應(yīng)影響程度評價

為考察2種場地(Ⅱ類和Ⅲ類場地)的非線性程度,將水平地震動加速度峰值分別調(diào)整為0.1g和0.6g,模型中間位置土體單元應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系如圖6所示。由圖6可知,0.6g工況的滯回曲線飽滿程度大于0.1g工況,其非線性程度較大;Ⅲ類場地的滯回曲線飽滿程度大于Ⅱ類場地,其非線性程度較大。

圖6 土體滯回曲線Fig. 6 Soil hysteretic curves

為考察重力的影響,加速度峰值為0.1g時計算線性和非線性2種情況,0.6g時只計算非線性,每種情況采用2種計算方式。方式1是初始地應(yīng)力、重力、地震同時計算,這種方式理論上精確;方式2是初始應(yīng)力和重力同時計算,地震單獨(dú)計算,然后再疊加。

計算結(jié)果取圖4中A、B、C3個點的豎向和水平位移的平均值,計算地下結(jié)構(gòu)側(cè)墻頂、底點的軸力、剪力和彎矩,其中,軸力、剪力和彎矩的計算公式分別為:

式(9)—(11)中:FN、V、M分別為結(jié)構(gòu)軸力、剪力和彎矩;h為結(jié)構(gòu)壁厚;σ、τ分別為正應(yīng)力和剪應(yīng)力; 1為平面應(yīng)變單元厚度。

以重力施加方式1的結(jié)果為基準(zhǔn),評價方式2的結(jié)果。為全面地衡量誤差,定義3種不同概念的最大值誤差,誤差定義如下:

式(12)—(14)中:r0(t)為基準(zhǔn)模型的反應(yīng);r(t)為疊加的反應(yīng);tmax為|r0(t)|max對應(yīng)的時刻; |?|max為反應(yīng)量“?”絕對值的最大值;ε1為r(t)最大值的絕對值與基準(zhǔn)模型最大值的絕對值之間的誤差,反映的是模型最大反應(yīng)時的相對誤差;ε2為基準(zhǔn)模型最大值tmax時刻r(t)的值與對應(yīng)的疊加模型之間的誤差,反映的是基準(zhǔn)模型達(dá)到反應(yīng)最大值時刻的相對誤差;ε3為模型反應(yīng)差值最大時的相對誤差,代表模型的最大值誤差。

計算結(jié)果見圖7和圖8,圖中實線代表Ⅱ類場地,虛線代表Ⅲ類場地,Elcentro波(簡稱E波)結(jié)果用實心標(biāo)簽表示,Anza波(簡稱A波)結(jié)果用空心標(biāo)簽表示。

圖7 位移誤差Fig. 7 Displacement error

圖8 內(nèi)力誤差Fig. 8 Internal force error

由圖7和圖8可知: 線性情況疊加誤差較小,非線性情況疊加誤差較大,且非線性程度越大,疊加誤差越大。其中,對于位移,水平位移的疊加誤差小于豎向位移,豎向誤差最大值超過100%;Ⅱ類場地疊加誤差小于Ⅲ類場地,誤差的大小受場地類別的影響。對于內(nèi)力,誤差最大值接近120%,有類似位移出現(xiàn)的規(guī)律,但沒有位移規(guī)律明顯,且有非單調(diào)情況。

誤差結(jié)果中ε3總是偏大,而ε1和ε2趨近一致,這一點可以從反應(yīng)時程圖得到更清晰解釋。圖9示出在Elcentro波作用下,Ⅲ類場地頂點剪力0.6g工況時程和底點彎矩0.1g工況時程曲線。根據(jù)ε1、ε2和ε3的定義,由圖9可知,基準(zhǔn)模型反應(yīng)最大值時刻,進(jìn)行疊加的反應(yīng)與基準(zhǔn)模型的反應(yīng)的差別并非總是最大,而是隨時間二者差別有增大的趨勢,因此ε3一般總是較大;由于二者時程的趨勢基本一致,二者峰值具有一定的同步性,因此ε1和ε2數(shù)值接近。

誤差結(jié)果中還存在ε1、ε2和ε3非單調(diào)增加的情況,以ε3為例,取出Anza波Ⅱ類場地底點彎矩和軸力,將非線性0.1g、0.6g的疊加結(jié)果、合算結(jié)果的差值時程和合算時程進(jìn)行比較,結(jié)果如圖10所示。0.1g和0.6g的差值時程的峰值相差不大,但二者合算結(jié)果的時程峰值相差較大(2～3倍)。因而,會出現(xiàn)0.6g誤差小于0.1g誤差的情況。

圖9 典型時程圖1Fig. 9 Typical time history diagram 1

圖10 典型時程圖2Fig. 10 Typical time history diagram 2

4 結(jié)論與討論

通過理論分析和典型算例數(shù)值計算,討論了地應(yīng)力、重力施加方式對地下結(jié)構(gòu)的影響,以及重力作用對地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影響程度,得出以下結(jié)論:

1)地下結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性動力時程計算時,地下結(jié)構(gòu)反應(yīng)和重力反應(yīng)分開計算然后疊加產(chǎn)生的水平位移誤差較小、豎向位移誤差較大,水平位移最大誤差超過100%,內(nèi)力最大誤差接近120%。

2)重力和地震作用同時計算時,重力可采用時程荷載的形式施加,并且非線性計算時宜采用一直不變的形式。

3)位移和內(nèi)力的疊加誤差隨著土體非線性程度的增加而增大,內(nèi)力疊加誤差并非單調(diào)增加,誤差范圍從小非線性程度的5%到大非線性程度的120%。

4)疊加誤差還受場地軟硬影響,Ⅲ類場地位移誤差大于Ⅱ類場地,Ⅲ類場地的最大誤差接近100%,而Ⅱ類場地的最大誤差僅達(dá)到16%?？傮w來看,內(nèi)力誤差規(guī)律沒有位移誤差規(guī)律明顯。

重力對土體中地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影響還需要進(jìn)一步研究,比如選取的場地和地震波樣本較少,得到的規(guī)律不明顯,有待設(shè)置更多的工況以得到更有規(guī)律的結(jié)果。