■河南省羅山高中老校區(qū) 王國(guó)棟

《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》這一章共有2小節(jié)，主要內(nèi)容有數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算。復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充，這不僅可以使我們對(duì)數(shù)的概念有一個(gè)初步的、完整的認(rèn)識(shí)，也為我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)。高考考試大綱的要求是：(1)復(fù)數(shù)的概念：①理解復(fù)數(shù)的基本概念，②理解復(fù)數(shù)相等的充要條件，③了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義。(2)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算：①會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，②了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義。其中一共有六個(gè)考點(diǎn)，能力層次要求基本上是了解與理解。

從最近三年高考全國(guó)卷看，每一年每一張?jiān)嚲韺?duì)本章都有考查，而且試題很好地貫徹了考試大綱的要求。

從三年試卷我們可以看到，高考對(duì)這部分知識(shí)的考查完全按照考試大綱的要求，對(duì)復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)運(yùn)算等進(jìn)行重點(diǎn)考查。尤其是復(fù)數(shù)四則運(yùn)算更是考查熱點(diǎn)。值得一提的是，突出了復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的模運(yùn)算，這一點(diǎn)可以提高我們對(duì)復(fù)數(shù)的概念的認(rèn)識(shí)，它與實(shí)數(shù)還是有很大的不同的。關(guān)于四則運(yùn)算方面的考查，我們要特別注重乘法和除法的訓(xùn)練，近三年都有考查。在學(xué)習(xí)四則運(yùn)算時(shí)，對(duì)加法運(yùn)算和減法運(yùn)算要注意它們的幾何意義，并能證明它們的運(yùn)算律，對(duì)乘法和除法運(yùn)算要注意運(yùn)算法則的定義和運(yùn)算律，這對(duì)我們的學(xué)習(xí)無(wú)疑是有幫助的。請(qǐng)看2017年全國(guó)Ⅰ卷理科第3題：

設(shè)有下面四個(gè)命題：

p1：若復(fù)數(shù)z滿足∈R，則z∈R；

p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R；

p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1=；

p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則∈R。

其中的真命題為( )。

A.p1，p3B.p1，p4

C.p2，p3D.p2，p4

本題從多角度考查了復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算，旨在考查我們?cè)趯W(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的時(shí)候能否跳出實(shí)數(shù)這個(gè)小圈子，理解和運(yùn)用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，這里一定要運(yùn)用類比方法，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算律認(rèn)真對(duì)比、掌握。結(jié)合最近三年的高考試題，舉例說(shuō)明如下。

一、復(fù)數(shù)的概念

例1(2016年文科Ⅰ卷第2題)設(shè)(1+2 i)(a+i)的實(shí)部與虛部相等，其中a為實(shí)數(shù)，則a=( )。

A.-3 B.-2 C.2 D.3

試題分析：(1+2 i)(a+i)=a-2+(1+2a)i，由已知，得a-2=1+2a，解得a=-3，應(yīng)選A。

例2(2017年文科Ⅰ卷第3題)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是( )。

A.i(1+i)2B.i2(1-i)

C.(1+i)2D.i(1+i)

【答案】C

【考點(diǎn)定位】本考點(diǎn)需要我們了解復(fù)數(shù)單位i的引入，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi(a，b∈R)，復(fù)數(shù)的分類，特別是z為實(shí)數(shù)、純虛數(shù)等的充要條件。

【考查意圖】主要考查同學(xué)們對(duì)概念的理解和運(yùn)用能力，運(yùn)算能力。

【錯(cuò)因分析】導(dǎo)致同學(xué)們出錯(cuò)的主要原因是對(duì)復(fù)數(shù)代數(shù)形式z=a+bi(a，b∈R)沒(méi)有掌握好，搞不清楚實(shí)部、虛部的概念，還有的同學(xué)對(duì)虛數(shù)單位i的定義掌握不好。

【同類題型】

1.若復(fù)數(shù)z滿足(3-4 i)z=|4+3 i|，則z的虛部為( )。

【解析】由(3-4 i)z=|4+3 i|，由z=得z的虛部為故選D。

二、復(fù)數(shù)的幾何意義

例3(2016年理科Ⅱ卷第1題)已知z=(m+3)+(m-1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )。

A.(-3，1) B.(-1，3)

C.(1，+∞) D.(-∞，-3)

試題分析：要使復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，應(yīng)滿足解得 ，故-3＜m＜1選A。

例4(2017年文科Ⅲ卷第2題)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i(-2+i)的點(diǎn)位于( )。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【答案】C

【考點(diǎn)定位】本考點(diǎn)需要同學(xué)們了解復(fù)平面的概念，建立復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為始點(diǎn)的平面向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解復(fù)數(shù)的模的幾何意義，發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)間的距離公式的復(fù)數(shù)形式，樹立數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決問(wèn)題。

【考查意圖】主要考查同學(xué)們對(duì)概念的理解能力、運(yùn)算能力和數(shù)形結(jié)合思想。

【錯(cuò)因分析】由于有些同學(xué)對(duì)復(fù)平面的概念不清楚，不注意和平面直角坐標(biāo)系區(qū)別開，所以很容易犯概念性錯(cuò)誤，特別要注意復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)這一重要規(guī)定。

【同類題型】

2.復(fù)數(shù)z=i(1+i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】由z=i(1+i)得z=-1+i，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故選B。

三、復(fù)數(shù)相等與復(fù)數(shù)的模

例5(2016年理科Ⅰ卷第2題)設(shè)(1+i)x=1+yi，其中x，y是 實(shí)數(shù)，則=( )。

試題分析：因?yàn)?1+i)x=1+yi，所以x+xi=1+yi，所以x=1，y=x=1，故|x+故選B。

例6(2017年理科Ⅲ卷第2題)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2 i，則|z|=( )。

【答案】C

例7(2018年理科Ⅰ卷第1題，2018年文科Ⅰ卷第2題)設(shè)則( )。

【答案】C

【考點(diǎn)定位】本考點(diǎn)涉及兩個(gè)重要概念，復(fù)數(shù)相等與復(fù)數(shù)的模，歸根結(jié)底還是復(fù)數(shù)代數(shù)形式的具體運(yùn)用。

【考查意圖】主要考查同學(xué)們的運(yùn)算能力和方程思想。

【錯(cuò)因分析】容易出錯(cuò)的原因一是在利用復(fù)數(shù)相等的條件之前沒(méi)有能夠把復(fù)數(shù)化成代數(shù)形式，對(duì)實(shí)部和虛部分辨不清，二是在利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算性質(zhì)方面出錯(cuò)，該開方時(shí)不開方，該平方時(shí)不平方。

【同類題型】

3.i是虛數(shù)單位，若R)，則a+b的值是( )。

【答案】C

4.|(3+2 i)-(1+i)|表示( )。

A.點(diǎn)(3，2)與點(diǎn)(1，1)之間的距離

B.點(diǎn)(3，2)與點(diǎn)(-1，-1)之間的距離

C.點(diǎn)(3，2)到原點(diǎn)的距離

D.以上都不對(duì)

【答案】A

四、共軛復(fù)數(shù)

例8(2016年文科Ⅱ卷第2題)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i=3-i，則=( )。

A.-1+2 i B.1-2 i

C.3+2 i D.3-2 i

試題分析：由z+i=3-i得z=3-2 i，所以=3+2 i，故選C。

例9(2016年理科Ⅲ卷第2題)若z=1+2 i，則

A.1 B.-1 C.i D.-i

試題分析：易知故故選C。

【考點(diǎn)定位】本考點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)，包括共軛復(fù)數(shù)的定義，共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)及幾何意義，共軛復(fù)數(shù)的模運(yùn)算等。

【考查意圖】主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義、幾何意義和模運(yùn)算性質(zhì)，考查同學(xué)們的應(yīng)變能力和運(yùn)算能力。

【錯(cuò)因分析】出錯(cuò)主要原因是有些同學(xué)理解偏差或者是對(duì)定義模糊，運(yùn)算時(shí)漏掉虛部互為相反數(shù)這一重要條件，還有些同學(xué)搞不清楚實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是其本身，導(dǎo)致錯(cuò)誤。

【同類題型】

5.若復(fù)數(shù)z滿足(z-3)(2-i)=5(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)為( )。

A.2+i B.2-i

C.5+i D.5-i

【解析】由(z-3)(2-i)=5得z=3+故z的共軛復(fù)數(shù)為5-i，故選D。

6.已知復(fù)數(shù)z1=a+2 i，z2=a+(a+3)i且z1z2＞0，則實(shí)數(shù)a的值為( )。

A.0 B.0或-5

C.-5 D.以上均不對(duì)

【答案】C

五、復(fù)數(shù)運(yùn)算

例10(2017年理科Ⅱ卷第1題)=( )。

A.1+2 i B.1-2 i

C.2+i D.2-i

【答案】D

例11(2017年文科Ⅱ卷第2題)(1+i)(2+i)=( )。

A.1-i B.1+3 i

C.3+i D.3+3 i

【答案】B

例12(2018年理科Ⅱ卷第1題)( )。

【答案】D

【考點(diǎn)定位】本考點(diǎn)是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，主要包括復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法、除法四則運(yùn)算，加法與減法運(yùn)算的幾何意義即平行四邊形法則、三角形法則，乘法與除法運(yùn)算基本和多項(xiàng)式運(yùn)算方法相同。

【考查意圖】主要考查同學(xué)們的運(yùn)算能力。

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)誤主要出現(xiàn)在除法運(yùn)算方面，不少同學(xué)在對(duì)分母進(jìn)行實(shí)數(shù)化時(shí)出錯(cuò)。注意互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘積是它們的模的平方，以免出錯(cuò)。

【同類題型】

7.設(shè)z=1+i(i是虛數(shù)單位)，則=( )。

A.1+i B.-1+i

C.1-i D.-1-i

【答案】A

【學(xué)習(xí)建議】解決復(fù)數(shù)問(wèn)題，通常是運(yùn)用代數(shù)形式把它轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題去解決，或者運(yùn)用向量及其幾何形式把它轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題或解析幾何問(wèn)題去解決，有時(shí)需要運(yùn)用復(fù)數(shù)本身一些特有形式，如共軛運(yùn)算、模運(yùn)算等。復(fù)數(shù)溝通了代數(shù)、三角、幾何之間的聯(lián)系，因而復(fù)數(shù)問(wèn)題的解法往往綜合性強(qiáng)且構(gòu)思巧妙，方法靈活。復(fù)數(shù)運(yùn)算中，求值是最常見的，復(fù)數(shù)的運(yùn)算種類雖多，但各種運(yùn)算方式間有聯(lián)系，最本質(zhì)的運(yùn)算方式是代數(shù)形式的運(yùn)算。在處理數(shù)據(jù)關(guān)系時(shí)，同學(xué)們要學(xué)會(huì)根據(jù)法則、公式正確地進(jìn)行運(yùn)算，而且能根據(jù)題目尋求合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，以培養(yǎng)思維能力和運(yùn)算技能。