■河南省羅山高級(jí)中學(xué) 程傳敏

一、推理有門(mén)路

與圖形有關(guān)的推理是合情推理中非常重要的內(nèi)容。對(duì)于這類題型，我們可以從多個(gè)角度進(jìn)行分析。例如觀察幾組圖形的變化規(guī)律、幾組圖形的數(shù)字規(guī)律、每個(gè)圖形的結(jié)構(gòu)等。

例1分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德?tīng)柌剂_在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門(mén)新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路。按照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個(gè)樹(shù)形圖。若記圖2中的第n行黑圈的個(gè)數(shù)為an，則a2019=_________。

圖1

圖2

【理解題意】由圖1所示的分形規(guī)律，可知1個(gè)白圈分形為2個(gè)白圈1個(gè)黑圈，1個(gè)黑圈分形為1個(gè)白圈2個(gè)黑圈。

解法一：若某行白圈x個(gè)，黑圈y個(gè)，此行記為(x，y)。

則第1行記為(1，0)，第2行記為(2，1)，第3行記為(5，4)，第4行的白圈數(shù)為2×5+4=14，黑圈數(shù)為5+2×4=13，所以第4行的“坐標(biāo)”為(14，13)，同理可得第5行的“坐標(biāo)”為(41，40)，第6行的“坐標(biāo)”為(122，121)，…。各行黑圈數(shù)乘2，分別是0，2，8，26，80，…即1-1，3-1，9-1，27-1，81-1，…，所以可以歸納出第n行黑圈數(shù)(n∈N*)，所以

解法二：根據(jù)分形規(guī)律可知，每行黑圈與白圈總數(shù)為1，3，9，27，…，即和為3n-1。另外每行白圈比黑圈多1個(gè)，故黑圈個(gè)數(shù)為故

點(diǎn)評(píng)：本題考查了歸納推理的應(yīng)用，多觀察幾組數(shù)據(jù)是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的有效方法。解法一從黑圈個(gè)數(shù)的數(shù)字規(guī)律入手歸納第n行黑圈數(shù)；解法二注意到每行黑圈和白圈的總個(gè)數(shù)，還注意到白圈比黑圈多1個(gè)。

變式1某種平面分形圖如圖3所示，一級(jí)分形圖是由一點(diǎn)出發(fā)的三條線段，長(zhǎng)度均為1，兩兩夾角為120°；二級(jí)分形圖是在一級(jí)分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長(zhǎng)度為原來(lái)的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°，…，依此規(guī)律得到n級(jí)分形圖。

圖3

則n級(jí)分形圖中共有____條線段。

解法一：顯然當(dāng)n=1時(shí)有3條線段；

當(dāng)n=2時(shí)，3條線段的另一端各增加2條線段，所以新增3×2條，故此時(shí)共有3+3×2條線段；

當(dāng)n=3時(shí)，在n=2時(shí)新增的線段的另一端各增加2條線段，所以新增線段(3×2)×2條，故此時(shí)共有3+3×2+3×2×2=3(1+2+22)條線段；

……

以此類推，每次都是在上一次的新增線段的另一端各增加2條線段，所以推出n級(jí)分形圖中有線段3×(1+2+22+…+2n-1)=3(2n-1)條。

解法二：直接看每個(gè)圖形，每個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)有3條線段，數(shù)節(jié)點(diǎn)即可，但是注意不要數(shù)重復(fù)了。發(fā)現(xiàn)：

一級(jí)分形圖有1×3=(21-1)×3條；

二級(jí)分形圖有3×3=(22-1)×3條；

三級(jí)分形圖有7×3=(23-1)×3條；

……

以此類推，n級(jí)分形圖中有(2n-1)×3條線段。

二、證明有方法

1.“你中有我，我中有你”的綜合法與分析法

實(shí)際證題過(guò)程中，綜合法與分析法往往是結(jié)合起來(lái)運(yùn)用的。只是在構(gòu)建命題的證明路徑時(shí)，有時(shí)分析法占主導(dǎo)地位，綜合法伴隨其中；有時(shí)剛好相反，綜合法占主導(dǎo)地位，而分析法伴隨其中。

例2若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證+l gc。

證明：要證l ga+l gb+l gc，只需證l g(a b c)，即證

點(diǎn)評(píng)：此題解題過(guò)程中前半部分用的是分析法，后半部分用的是綜合法。當(dāng)然這道題還可以完全按照綜合法的形式來(lái)證明，只需要把上述證明過(guò)程倒過(guò)來(lái)加以整理即可，在此不再贅述。不管采用分析法還是綜合法，單靠一種方法解題顯得較為困難。為保證探索方向準(zhǔn)確及過(guò)程快捷，我們常常要分析中有綜合，綜合中有分析。

2.“隨時(shí)待命”的數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，包括歸納奠基和歸納遞推兩個(gè)步驟?？梢杂脕?lái)證明等式、不等式，數(shù)列中求通項(xiàng)公式時(shí)也可先猜想再用數(shù)學(xué)歸納法證明?？梢哉f(shuō)在解這些題時(shí)會(huì)很明確想到用數(shù)學(xué)歸納法或者題中明確要求采用數(shù)學(xué)歸納法。而有些題本身并沒(méi)有要求用數(shù)學(xué)歸納法，也不是非用數(shù)學(xué)歸納法不可的，但是采用了數(shù)學(xué)歸納法之后題很容易做出來(lái)。請(qǐng)看下面例子。

例3已知函數(shù)＞0)。

(1)若函數(shù)f(x)在[1，+∞)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，求證：對(duì)任意大于1的正整數(shù)恒成立。

分析：此題的大前提是一個(gè)函數(shù)，第(1)問(wèn)根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可求解。第(2)問(wèn)是與正整數(shù)n有關(guān)的證明題，有兩種思路，可以從函數(shù)的角度去考慮，也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明。

解：(1)由已知得0)。

a≥對(duì)任意x∈[1，+∞)恒成立，而所以a≥1。

(2)證法一：當(dāng)a=1時(shí)，由(1)知f(x)=在[1，+∞)上為增函數(shù)，當(dāng)n＞1，n∈N*時(shí)，令則x＞1，所以f(x)＞f(1)=0。

證法二(數(shù)學(xué)歸納法)：當(dāng)n=2時(shí)，l n2＞，不等式成立。

假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2，k∈N*)時(shí)，不等式成立，即：

當(dāng)n=k+1時(shí)，l n(k+1)=l nk+

由(1)得x＞1時(shí)，f(x)＞f(1)=0，即

綜上可知不等式成立。

變式2已知函數(shù)(a∈R)。

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)在[1，+∞)上的最小值。

解：(1)當(dāng)a=1時(shí)定義域?yàn)?0，+∞)。

所以f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)。

所以f(x)在[1，+∞)內(nèi)的最小值為f(1)=1。

(2)證法一：根據(jù)(1)的結(jié)論，當(dāng)x＞1時(shí)，即

證法二(數(shù)學(xué)歸納法)：當(dāng)n=1時(shí)，l n(n+1)=l n2，因?yàn)? l n2=l n8＞1，所以l n2＞，即當(dāng)n=1時(shí)不等式成立。

假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1，k∈N*)時(shí)，不等式成立，即：

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，l n(k+2)=l n(k+

由(1)得，當(dāng)x＞1時(shí)，即

故當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立。

綜上可知不等式成立。