王丹生， 周 品， 范凌峰， 朱宏平， 蔡福祥

(1. 華中科技大學 土木工程與力學學院， 湖北 武漢 430074；2. 宜昌宏業(yè)工程項目管理有限公司， 湖北 宜昌 443100)

近年來，工程健康監(jiān)測系統(tǒng)不斷發(fā)展，通過監(jiān)測數(shù)據(jù)對工程結構的運營和安全狀態(tài)進行評估是工程界的一大目標。橋梁作為道路交通的重要組成部分，其上的車輛荷載對橋梁結構的特性參數(shù)，如固有頻率等有著很大影響，這種影響對于一些利用橋梁的監(jiān)測數(shù)據(jù)分析結構模態(tài)參數(shù)的項目而言，不可忽略[1]。具有豐富風資源的加拿大、北歐等地區(qū)，風力渦輪機的應用越來越多，但渦輪機上的葉片由于寒冷、潮濕天氣的影響也面臨著積冰的影響，積冰的存在對渦輪機的電力輸出、氣動性能、固有頻率以及振動模式都有很大影響，因此，及時發(fā)現(xiàn)并避免積冰的形成至關重要[2]。

車輛荷載、積冰等對于結構來說都是一種附加質量，也可以看作是一種特殊的結構損傷，目前對于附加質量識別的研究相對較少。Rajendran等[3,4]利用振型和小波包變換的方法識別了懸臂梁和復合板上的附加質量，這種利用附加質量來模擬裂紋損傷的方法有效地避免了試驗研究中從同一批材料中選取多個相同尺寸的試件所存在的問題：(1)試件之間材料和尺寸之間的差異性；(2)對于裂紋位置的研究，一試件中同一裂紋位置的損傷類型無法改變。為了避免積冰的形成對風力渦輪機的性能產(chǎn)生危害，Gantasala等[2]采用固有頻率和人工神經(jīng)網(wǎng)絡的方法識別了懸臂梁上附加質量，并將此方法應用于風力渦輪機葉片上積冰的檢測。

Zhang等[5]提出了基于結構動力響應統(tǒng)計矩的損傷識別方法，Zhou 等[6]也在此基礎上做了大量的工作。這種方法都不可避免地涉及非線性優(yōu)化過程。本文提出了一種基于統(tǒng)計矩對附加質量靈敏度的識別方法，該方法在時域內計算方便，識別精度高，具有一定程度的抗噪性，可以同時識別出附加質量的位置和大小，識別效率高。除此之外，本文提出的結構附加質量識別的方法可以為實際工程中的橋梁以及風力渦輪機的健康監(jiān)測提供有效指導。

1 方法的提出

1.1 歐拉梁的譜元法模擬

1.1.1 附加質量塊梁的譜單元剛度矩陣

如圖1所示的附加質量塊梁的譜單元模型，其長度為L，其上距離梁左端L1處附加一質量G，把帶有質量塊的梁單元分成兩部分，每一部分的控制微分方程可表示為：

(1)

式中：Vi為豎向位移；E,I,ρ,A分別為彈性模量、橫截面慣性矩、密度和截面面積；a和c分別為內部粘彈性阻尼系數(shù)和外部粘滯阻尼系數(shù)；x為沿梁長方向的位置坐標；t為時間。

圖1 施加質量塊梁的譜單元模型

對式(1)兩端進行拉普拉斯變換，簡化后方程解的一般形式為：

(2)

由圖1可知，譜單元左右兩端的位移邊界條件為：

(3)

施加質量塊處的連續(xù)性條件為[7～9]：

(4)

式中:β=G/(ρAL) 為質量塊與梁的質量之比。

將式(2)代入式(3)，(4)，則節(jié)點譜位移可表示為：

q=DC

(5)

譜單元的力邊界條件為：

將式(2)代入式(6)，則節(jié)點力可表示為：

F=BC

(7)

結合式(5)，(7)，施加質量塊的譜單元剛度矩陣可表示為：

K=BD-1

(8)

式中:D=01010000k0k00000SHShHh-S-H-Sh-HhkH-kSkHhkSh-kHkS-kHh-kSh-k2S-k2Hk2Shk2Hhk2Sk2H-k2Sh-k2Hhk3(βkS-H)k3(S+βkH)k3(Hh+βkSh)k3(Sh+βkHh)k3H-k3S-k3Hh-k3Sh0000S1H1Sh1Hh10000kH1-kS1kHh1kSh1é?êêêêêêêêêêêù?úúúúúúúúúúú,B=-k3EI0k3EI000000k2EI0-k2EI00000000k3EIH1-k3EIS1-k3EIHh1-k3EISh10000-k2EIS1-k2EIH1k2EISh1k2EIHh1é?êêêêêù?úúúúú,

S=sinkL1,H=coskL1,Sh=sinhkL1,Hh=coshkL1,S1=sinkL,H1=coskL,Sh1=sinkL,Hh1=coshkL。

1.1.2 完整梁的譜單元剛度矩陣

完整梁的譜單元剛度矩陣推導過程與附加質量塊梁的譜單元剛度矩陣類似，這里不再進行推導，相關內容可參考文獻[10]。

1.2 結構電壓統(tǒng)計矩的靈敏度分析

根據(jù)1.1.1和1.1.2中所推導的單元剛度矩陣，結構的總體剛度矩陣可以通過裝配過程得到，從而可以獲得結構的動力位移、應變等響應。由于壓電陶瓷片具有正壓電效應，PZT可以用作應變傳感器。根據(jù)壓電方程，PZT用作傳感器時，其上的電壓輸出與應變存在如下線性關系[11]：

(9)

式中：U為PZT的輸出電壓；d31為壓電應變常數(shù)；

當對一線性結構施加平穩(wěn)高斯分布的隨機激勵時，其動力響應也服從平穩(wěn)高斯隨機過程[12]。動力響應的n階統(tǒng)計矩可表示為：

(10)

在基于統(tǒng)計矩的損傷識別中，為了平衡統(tǒng)計矩對隨機激勵的穩(wěn)定性和對結構損傷的敏感性，通常選用結構響應的四階統(tǒng)計矩作為損傷指標[13]。結構響應不服從高斯隨機過程，其四階統(tǒng)計矩可表示為：

(11)

式中：N為采樣點數(shù)。

所提出方法的目標優(yōu)化函數(shù)為計算響應和測量響應的四階統(tǒng)計矩之間的誤差：

(12)

式中：下標c和m分別表示計算和測量。

結構損傷識別中，基于動力響應靈敏度分析的時域模型修正方法的優(yōu)勢在于只需要提供少量傳感器的信息。本文中，電壓響應的四階統(tǒng)計矩對附加質量的靈敏度矩陣可表示為：

(13)

此處，任意一個附加質量狀態(tài)G都對應一個靈敏度矩陣S，考慮到G和響應矩陣M4并不是一一對應或數(shù)量相同，S一般不是理想的方陣，所以S矩陣理論求導比較復雜，這里并沒有給出S矩陣的顯式表達形式，在數(shù)值計算時，可以采用中心差分法代替?；陟`敏度分析的結構損傷識別方法通常需要多步迭代才可以得到結構的損傷參數(shù)，這里采用牛頓迭代法。但是在每一步的迭代過程中，由于模型的不確定性、周圍環(huán)境的影響、測量噪聲以及有限的傳感器等原因，通過結構響應來得到結構損傷參數(shù)這一逆問題方程通常是病態(tài)的，為了得到正確和穩(wěn)定的解，可采用正則化的方法，本文采用L1正則化。

2 數(shù)值算例

以圖2所示的簡支梁為例，將其劃分為15個單元。簡支梁的幾何參數(shù)為：梁長L=3 m，截面寬b=0.03 m，截面高h=0.02 m，截面類型為矩形；簡支梁的物理參數(shù)為：楊氏模量E=210 GPa，密度ρ=7800 kg/m3，泊松比μ=0.3，內部粘彈性阻尼系數(shù)a=0.002，外部粘滯阻尼系數(shù)c=0.234。在單元3和4之間的節(jié)點上施加幅值為200 N，采樣頻率為400 Hz的高斯白噪聲激勵，輸入力的時程曲線如圖3所示，時間歷程為5.12 s。

圖2 簡支梁的譜元法模型/mm

圖3 采樣頻率為400 Hz的高斯白噪聲激勵時程曲線

為了驗證所提方法的有效性，表1表示了簡支梁附加質量的各種工況，單損傷工況D1表示在單元11上附加質量塊，附加質量的大小與單元質量的比值β為0.1；雙損傷工況D2表示在單元4和11上分別附加質量塊，β值均為0.1；三損傷工況D3表示在單元4，7，11上分別附加質量塊，β值均為0.1。

表1 簡支梁附加質量的各種工況

無測量噪聲的影響下，各附加質量工況的識別結果列于表2，從表2可以看出，在沒有測量噪聲的影響下，所有預設附加質量單元的位置和附加質量大小均被準確地識別出來，未附加質量單位幾乎沒有出現(xiàn)誤判。

表2 不添加噪聲各工況附加質量識別結果

為了檢驗該方法的抗噪性，分別對工況D1～D3施加2%的噪聲，施加噪聲后的附加質量識別結果列于表3，由識別結果可以看出，所有預設的附加質量單元的位置和附加質量大小均被識別出來，在測量噪聲的影響下，有些未附加質量單位出現(xiàn)了誤判，但并不影響預設附加質量單元的識別。

表3 2%噪聲下各工況附加質量識別結果

表4，5分別對無測量噪聲和添加2%噪聲下各附加質量工況的識別相對誤差進行了量化，無測量噪聲影響和添加2%噪聲下，附加質量單元識別的附加質量大小最大相對誤差分別為5%和12%，說明了基于譜元法和時域電壓靈敏度分析的附加質量識別方法對噪聲具有一定的敏感性。

表4 不添加噪聲各工況附加質量識別相對誤差

表5 2%噪聲下各工況附加質量識別相對誤差

圖4～6分別用柱狀圖表達了無測量噪聲和添加2%噪聲下各附加質量工況的識別結果與實際值的對比，更加直觀地說明了測量噪聲對該附加質量識別方法的影響。

圖4 工況D1識別結果

圖5 工況D2識別結果

圖6 工況D3識別結果

3 結 語

本文提出了基于譜元法和電壓統(tǒng)計矩靈敏度分析的附加質量的識別方法，并推導了附加質量塊的梁的譜單元剛度矩陣，通過數(shù)值算例驗證了該方法識別的有效性。采用結構電壓輸出的四階統(tǒng)計矩作為指標，并分析其對附加質量塊的靈敏度，使得統(tǒng)計矩在時域上的應用極為方便，識別效率也比較高，并且能夠準確地識別出附加質量塊的位置及大小。除此之外，此方法的提出對于橋梁上車輛荷載的識別、風力渦輪機上積冰的檢測等都有一定的工程應用價值。