杜 維，羅敬原，周 雯

(南京林業(yè)大學(xué) 信息科技學(xué)院，江蘇 南京 210018)

0 引言

MIMO系統(tǒng)在發(fā)射端和接收端均配備了多個天線，可以充分利用空間資源，將通信鏈路分解成許多并行的子信道，大幅度提高了系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸速率，已經(jīng)成為第四代(4G)和第五代(5G)無線通信系統(tǒng)的核心技術(shù)[1-2]。而5G在4G研究的基礎(chǔ)上，提出了大規(guī)模MIMO的概念，進(jìn)一步提升系統(tǒng)容量和增加小區(qū)覆蓋范圍。

MIMO系統(tǒng)的容量問題一直是國內(nèi)外的研究熱點(diǎn)，其中基于信道狀態(tài)信息(Channel State Information，CSI)反饋的系統(tǒng)容量是該類問題研究的重要內(nèi)容?；贑SI反饋的系統(tǒng)中，發(fā)送端利用接收端反饋的CSI，可以進(jìn)行波束成形、功率控制與自適應(yīng)調(diào)制等操作，有效地提升系統(tǒng)數(shù)據(jù)傳輸速率或改善誤碼率性能[3-11]。一般CSI反饋分為2種：即時CSI反饋和統(tǒng)計(jì)CSI反饋。若信道變化緩慢，采用即時CSI反饋較為合適，文獻(xiàn)[3]采用即時CSI信息，針對放大轉(zhuǎn)發(fā)MIMO中繼系統(tǒng)設(shè)計(jì)了收發(fā)器。若信道變化迅速，采用即時CSI反饋不再合適，因?yàn)轭l繁的信道信息反饋將增加系統(tǒng)的負(fù)荷，此時采用統(tǒng)計(jì)CSI反饋方式較為合適。例如，文獻(xiàn)[4]研究了基于信道均值和協(xié)方差反饋的MIMO中繼系統(tǒng)最優(yōu)發(fā)送策略，文獻(xiàn)[5]在假設(shè)發(fā)送端具備信道協(xié)方差信息的情況下，給出了最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣的結(jié)構(gòu)。

考慮到反饋信道存在噪聲干擾和導(dǎo)頻長度有限等因素的影響，即時反饋的CSI通常是有誤差的，有些文獻(xiàn)研究了不完全即時CSI反饋的MIMO系統(tǒng)容量[6-9]。例如，文獻(xiàn)[6]研究了基于有誤即時CSI反饋的MIMO網(wǎng)絡(luò)中干擾對齊策略。文獻(xiàn)[9]基于不完全信道信息反饋推導(dǎo)系統(tǒng)的成對誤差概率，研究了認(rèn)知多天線系統(tǒng)的正交空域調(diào)制技術(shù)。另一方面，信道統(tǒng)計(jì)信息通常由系統(tǒng)接收端經(jīng)過一段時間測量得到，然而接收端測量使用的信道樣本數(shù)目有限，反饋信道通常也存在噪聲，因此反饋的信道統(tǒng)計(jì)信息是有誤的。如果無線信道是非平穩(wěn)的，其統(tǒng)計(jì)特性隨時間緩慢變化，則反饋的信道統(tǒng)計(jì)信息可能存在延時誤差。目前，基于有誤統(tǒng)計(jì)CSI反饋的MIMO容量分析較少見，大多數(shù)考慮有誤即時CSI反饋對系統(tǒng)的影響。

本文針對反饋信道中受多種因素影響而產(chǎn)生的有誤CSI反饋，建立閉環(huán)MIMO系統(tǒng)模型，推導(dǎo)相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)容量公式，定義反饋信噪比和相應(yīng)的門限。仿真實(shí)驗(yàn)對比了若干典型信道反饋方式下的MIMO系統(tǒng)容量，分析反饋信噪比對于系統(tǒng)容量的影響，在若干系統(tǒng)配置下，給出了反饋信噪比門限，這對系統(tǒng)的設(shè)計(jì)有指導(dǎo)意義。

1 系統(tǒng)模型

閉環(huán)MIMO系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 閉環(huán)MIMO系統(tǒng)模型

發(fā)送端和接收端均配備多根天線，數(shù)目分別為NT和NR。利用反饋的信道統(tǒng)計(jì)信息，發(fā)送端計(jì)算預(yù)編碼矩陣W，將用戶數(shù)據(jù)X與之相乘發(fā)送出去。信號經(jīng)過無線信道H到達(dá)接收端，假設(shè)信道H是平坦衰落的，則接收信號y可以表示為：

y=HWx+n，

(1)

(2)

式中，ΘR和ΘT分別表示接收端和發(fā)送端的信道相關(guān)矩陣，均是正定的Hermite矩陣，且滿足Tr(ΘR)=NR和Tr(ΘT)=NT，Tr(· )代表矩陣求跡。

(3)

(4)

為了對系統(tǒng)進(jìn)行整體性能評估，定義閉環(huán)MIMO系統(tǒng)的信噪比為：

SNR?P/σ2，

(5)

式中，P為發(fā)送總功率。

2 閉環(huán)MIMO系統(tǒng)容量和反饋信噪比下限

2.1 開環(huán)容量

如果發(fā)送端不知道信道狀態(tài)信息，則最優(yōu)的預(yù)編碼矩陣是單位陣，每根天線的數(shù)據(jù)子流應(yīng)采用等功率分配，此時系統(tǒng)的開環(huán)容量為：

(6)

式中，符號E(·)代表數(shù)學(xué)期望，(·)H為矩陣的Hermitian轉(zhuǎn)置運(yùn)算。

2.2 基于完全統(tǒng)計(jì)CSI反饋的閉環(huán)容量

如果發(fā)送端得到的統(tǒng)計(jì)CSI是完全的，即得到的2個信道相關(guān)矩陣沒有誤差，則最優(yōu)發(fā)送信號協(xié)方差矩陣Q的特征向量構(gòu)成的矩陣UQ滿足[18]：

UQ=UΘT，

(7)

Q=E[(Wx)(Wx)H]=WWH。

(8)

利用ΘT和ΘR，最優(yōu)功率分配矩陣ΛQ可以通過遍歷搜索法[16]或文獻(xiàn)[17]提出的接近最優(yōu)功率分配方法得出。這樣最優(yōu)發(fā)送協(xié)方差矩陣Q可以由式(8)求出，系統(tǒng)的閉環(huán)容量為：

(9)

式中，ΛΘR是ΘR特征分解中的對角陣。

2.3 基于不完全統(tǒng)計(jì)CSI反饋的閉環(huán)容量

如圖1所示，當(dāng)發(fā)送端得到的統(tǒng)計(jì)CSI是不完全的，即反饋的2個信道相關(guān)矩陣存在誤差，為了減小誤差的影響，首先做如下操作：

(10)

式中，符號=：代表賦值運(yùn)算，這樣可以保證信道相關(guān)矩陣是Hermite矩陣，然后做歸一化操作：

(11)

(12)

預(yù)編碼矩陣可以表示為：

(13)

(14)

整個系統(tǒng)的運(yùn)作流程歸納如下：

④ 根據(jù)式(13)求出預(yù)編碼矩陣W，與用戶數(shù)據(jù)x相乘發(fā)送出去。

3 反饋信噪比門限

Copen(NT，NR，SNR)]。

(15)

4 仿真結(jié)果

采用數(shù)值仿真方法研究了不完全統(tǒng)計(jì)CSI下的MIMO系統(tǒng)容量。信道采用MIMO Kronecker模型，其中的信道收發(fā)相關(guān)矩陣采用指數(shù)模型[19-20]，矩陣的第(i，j)個元素是ρ|i-j|，0<ρ<1是常數(shù)。對于收發(fā)相關(guān)矩陣，均設(shè)定ρ=0.5。MIMO系統(tǒng)的開環(huán)容量采用式(6)計(jì)算，理想統(tǒng)計(jì)CSI反饋的系統(tǒng)容量采用式(11)計(jì)算，非理想統(tǒng)計(jì)CSI反饋的容量采用式(16)計(jì)算。

4.1 反饋信噪比對系統(tǒng)容量的影響

圖2描述了不同反饋信噪比下的系統(tǒng)容量，系統(tǒng)的天線數(shù)目NT=NR=2?？紤]了2種系統(tǒng)信噪比情況，分別對比了有誤統(tǒng)計(jì)CSI反饋、無誤統(tǒng)計(jì)CSI反饋和開環(huán)3種情況下的系統(tǒng)容量。

圖2 不同反饋信噪比下的系統(tǒng)容量

由圖2可以看到，隨著反饋信噪比SNRfeed的增加，有誤統(tǒng)計(jì)CSI反饋下的系統(tǒng)容量也隨著增加；在反饋信噪較小時，系統(tǒng)容量可能小于開環(huán)容量。例如，對于SNR=5 dB，當(dāng)反饋信噪比大約低于9.3 dB時，有誤統(tǒng)計(jì)CSI反饋下系統(tǒng)容量小于開環(huán)容量3.06 bit；隨著反饋信噪比的增加，系統(tǒng)容量逐漸增加并接近上限3.15 bit，這也是理想統(tǒng)計(jì)CSI反饋的容量。當(dāng)SNR=10 dB時，也出現(xiàn)類似現(xiàn)象。

圖2表明，在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時，當(dāng)反饋信噪比門限高于某個值的時候，閉環(huán)系統(tǒng)容量相對開環(huán)容量才有正增益，此時的反饋才有意義。

4.2 不同反饋方式的系統(tǒng)容量

圖3對比了不同系統(tǒng)配置下若干反饋方式的容量，其中圖3(a)為3×3系統(tǒng)，圖3(b)為4×4系統(tǒng)?？紤]了4種反饋方式，包括有誤統(tǒng)計(jì)CSI反饋、無誤統(tǒng)計(jì)CSI反饋、無誤即時CSI反饋和開環(huán)(不反饋)方式。

圖3 不同反饋方式的系統(tǒng)容量對比

整體而言，可以發(fā)現(xiàn)無誤即時CSI反饋容量遠(yuǎn)高于其他幾種方法，這是因?yàn)榘l(fā)送端知道每一時刻的信道狀態(tài)信息；相比其他方式，該反饋方式的反饋信息量最大。對于有誤統(tǒng)計(jì)CSI反饋，隨著反饋信噪比的增加，曲線整體上移，即給定系統(tǒng)信噪比，系統(tǒng)容量隨反饋信噪比增加而增加。如圖3(a)所示，當(dāng)系統(tǒng)信噪比是2 dB時，反饋信噪比5，8，10 dB對應(yīng)的系統(tǒng)容量分別是3.11，3.16，3.19 bit。而且，隨著反饋信噪比的增加，有誤統(tǒng)計(jì)CSI的系統(tǒng)容量逐漸逼近其上限——無誤統(tǒng)計(jì)CSI反饋的容量。還發(fā)現(xiàn)，在低系統(tǒng)信噪比時，有誤統(tǒng)計(jì)CSI反饋的容量大于開環(huán)容量，但是隨著系統(tǒng)信噪比的增加，情況會逐漸相反。如圖3(b)所示，當(dāng)系統(tǒng)信噪比SNR=4 dB時，反饋信噪比為5 dB的容量是5.2 bit，約等于開環(huán)容量；但是在SNR=6 dB時，該容量是6.5 bit，小于此時的開環(huán)容量。

總之，無誤即時CSI反饋容量高于其他方法；有誤統(tǒng)計(jì)CSI的反饋容量隨著SNRfeed的增加而增加；在低SNR時，相對于開環(huán)方式，有誤統(tǒng)計(jì)CSI反饋的系統(tǒng)更容易產(chǎn)生正容量增益。

4.3 反饋信噪比門限

圖4描述了不同系統(tǒng)配置下的反饋信噪比門限SNRTh，該門限按照式(17)求出?？紤]了3種天線對配置下的系統(tǒng)，包括2×2，3×3，4×4系統(tǒng)。可以發(fā)現(xiàn)，SNRTh隨著系統(tǒng)信噪比的增加而增加，在低SNR時門限增加較快，在高SNR時SNRTh增加較為緩慢。在低系統(tǒng)信噪比時，低天線對配置系統(tǒng)的SNRTh比高天線對配置的系統(tǒng)高。例如，對于SNR=4 dB，2×2系統(tǒng)的SNRTh是6.6 dB，高于3×3系統(tǒng)的5.13 dB。但是隨著SNR的增加，情況逐漸變的相反。例如，在SNR=12 dB時，2×2，3×3，4×4系統(tǒng)對應(yīng)的SNRTh分別為12.4，12.6，13.5 dB。總之，該結(jié)果給出了若干參數(shù)對反饋信噪比門限的影響，對于系統(tǒng)設(shè)計(jì)有一定參考作用。

圖4 不同系統(tǒng)配置下的反饋信噪比門限

5 結(jié)束語

研究了基于統(tǒng)計(jì)CSI的閉環(huán)MIMO系統(tǒng)容量，分析了反饋信噪比對系統(tǒng)容量的影響，對比了若干典型反饋方式下的系統(tǒng)容量。結(jié)果表明，當(dāng)反饋信噪比門限高于某個值的時候，閉環(huán)系統(tǒng)容量相對開環(huán)容量才有正增益，在低SNR時，基于有誤統(tǒng)計(jì)CSI反饋的系統(tǒng)更容易產(chǎn)生正容量增益；反饋信噪比門限隨著系統(tǒng)信噪比SNR的增加而增加；在低系統(tǒng)信噪比時，低天線對配置系統(tǒng)的反饋信噪比門限比高天線對配置的系統(tǒng)高，但是在高系統(tǒng)信噪比時，情況相反。研究結(jié)果將對MIMO系統(tǒng)的工程實(shí)踐應(yīng)用有一定的參考作用。