李艷艷

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 云南 文山 663099)

數(shù)值分析中，矩陣A的逆矩陣A-1的‖A-1‖∞被用于計(jì)算條件數(shù)K(A)=‖A‖∞·‖A-1‖∞，所以對(duì)‖A-1‖∞的計(jì)算或估計(jì)，是矩陣?yán)碚撗芯康臒狳c(diǎn)之一。近些年關(guān)于非奇異H矩陣類中的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，弱鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣，Dashnic-Zusmanovich矩陣，Nekrasov矩陣，S-Nekrasov矩陣等的逆矩陣無(wú)窮范數(shù)的估計(jì)已得到了許多較好的結(jié)果[1-8]。而關(guān)于最終嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的研究，僅有文獻(xiàn)[9,10]。 所以本文對(duì)最終嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的逆矩陣無(wú)窮范數(shù)的上界進(jìn)行較為深入和詳細(xì)的研究，在利用Nekrasov矩陣逆矩陣無(wú)窮范數(shù)已有估計(jì)式的基礎(chǔ)上，得到了最終嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的‖A-1‖∞的一些新的改進(jìn)的結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)A=sI-B,其中s為復(fù)數(shù)，I為單位矩陣，B為復(fù)矩陣。如果存在正整數(shù)k使得skI-Bk為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣(SDD)，就稱A為最終嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣(SDD?)，記作A∈SDD?。

由文獻(xiàn)[11]知，SDD?Nekrasov?H,SDD??H。

引理1(Varah界)[12]設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則

或

有

對(duì)于最終嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣A的‖A-1‖∞的上界估計(jì), 文獻(xiàn)[9]和[10]都做了一定的研究。

引理5[9]如果存在正整數(shù)k使得A=sI-B∈SDD?，則

引理6[10]如果存在正整數(shù)k使得A=sI-B∈SDD?，則

2 主要結(jié)果

本部分，利用引理2、引理3、引理4中的Nekrasov矩陣的逆矩陣無(wú)窮范數(shù)的估計(jì)式和SDD?矩陣的定義式，給出SDD?矩陣一些改進(jìn)的新估計(jì)式。

‖A-1‖∞≤ ‖sk-1I+sk-2B+…+sBk-2+Bk-1‖∞×

則

(sI-B)-1=(skI-Bk)-1(sk-1I+sk-2B+…+

sBk-2+Bk-1)，

即

‖A-1‖∞≤‖(skI-Bk)-1(sk-1I+sk-2B+…+sBk-2+Bk-1)‖∞

≤‖(skI-Bk)-1‖∞‖sk-1I+sk-2B+…+

sBk-2+Bk-1‖∞。

對(duì)skI-Bk應(yīng)用引理2得，

‖A-1‖∞≤ ‖sk-1I+sk-2B+…+sBk-2+Bk-1‖∞

‖A-1‖∞≤‖sk-1I+sk-2B+…+sBk-2+Bk-1‖∞

‖sk-1I+sk-2B+…+sBk-2+Bk-1‖∞

< ‖sk-1I+sk-2B++sBk-2+Bk-1‖∞

定理3如果存在正整數(shù)k使得A=sI-B∈SDD?，若

|sk-(Bk)11|-h1(skI-Bk)

有‖sk-1I+sk-2B+…+sBk-2+Bk-1‖∞

注：定理2和定理3說(shuō)明，本文所給的估計(jì)式，從理論上提高了文獻(xiàn)[9]和[10]中的結(jié)果。

下面用數(shù)值算例，對(duì)本文估計(jì)式的可行性和有效性，進(jìn)一步說(shuō)明。

3 數(shù)值算例

A1=5I-B1,取k=1,2,3,4,5，計(jì)算知k=2,3,4,5均是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，所以A1∈SDD?，應(yīng)用本文定理2,3得‖A1-1‖∞≤0.8259， 事實(shí)上，‖A1-1‖∞=0.6667。

令A(yù)2=5I-B2，取k=1,2,3,4,5，計(jì)算知k=2,3,4,5均是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，所以A1∈SDD?，應(yīng)用本文定理2,3得‖A2-1‖∞=0.5347， 事實(shí)上，‖A2-1‖∞=0.4657。