鞏子坤，朱賢梅，2，王 旭

（1.杭州師范大學理學院，浙江 杭州 310000；2.杭州市第十一中學，浙江 杭州 310000）

一、問題提出

分數(shù)是小學數(shù)學的關鍵內容，它為學習有理數(shù)和分式做了鋪墊，在數(shù)學的知識結構中具有重要地位。分數(shù)乘法是乘法意義的一次擴展，分數(shù)乘法算理的理解和算法的掌握，直接影響分數(shù)除法的學習。[1]《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：學生掌握數(shù)學知識，不能依賴死記硬背，而應以理解為基礎；在基本技能的教學中，不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學生理解程序和步驟的道理。[2]但在實際學習中，學生往往只是記住了運算法則，并沒有真正明白算理。因而，學生只是具備了運算技能，而不是運算能力。為了提高學生的運算能力，讓學生真正理解分數(shù)乘法的算理，就必須要探索有利于學生理解的分數(shù)乘法學習路徑。

學習路徑就是為了達成教學目標而設計的任務序列，這些任務之間具有一定的邏輯遞進關系，這些任務是指向教學目標的。也就是說，我們教材中設計的活動或者例子序列，就是一個學習路徑。

我國小學數(shù)學教材中，分數(shù)乘法一般分為“分數(shù)乘整數(shù)”“整數(shù)乘分數(shù)”和“分數(shù)乘分數(shù)”三個部分，其中“整數(shù)乘分數(shù)”是承上啟下的內容，也是關鍵環(huán)節(jié)。本文針對該部分內容的教學進行研究。主要回答的問題是：教師在教學中實施了怎樣的學習路徑？學習路徑是怎樣逐步得到優(yōu)化與完善的？對教材編寫、教學實施的建議是什么?

二、研究設計

（一）研究對象

選取杭州市某小學六年級兩個平行班，記為甲班、乙班。學生的期末數(shù)學考試成績和研究者的前測數(shù)據(jù)表明，兩個班級的學生數(shù)學成績沒有顯著差異，執(zhí)教教師S教齡5年。

（二）研究程序

研究步驟如圖1所示。

（三）數(shù)據(jù)收集

通過課堂教學觀察與課后對學生的測試來說明學習路徑是否得到了優(yōu)化，主要采用課堂觀察法、問卷調查法、訪談法以及行動研究法來收集數(shù)據(jù)。包括：研討錄像，教學設計，課堂作業(yè)，后測及訪談。

圖1 研究的實施步驟

（四）學生測試

1.理論模型

為了幫助學生更好地理解分數(shù)乘法的算理，探究有利于學生理解的分數(shù)乘法學習路徑，將學生的理解類型（或者說分數(shù)乘法算理的表征方式）劃分為以下三種[3]（如表1）。

表1 學生分數(shù)乘法的理解類型

2.測試材料

先列式計算，再用盡可能多的方法，如文字解釋、畫直觀圖、列算式等方法，說明你的回答是正確的，說明過程書寫得越詳細越好。

（1）一個長方形蛋糕的長是3 厘米，寬是2 厘米，長方形的面積是多少？（2）冰箱里有3 個蘋果，小新吃了其中的，請問小新一共吃了多少個蘋果？

3.計分標準

根據(jù)學生的回答，參照表1的理解類型，對學生的理解進行分類、計分，每類理解，正確計1分，錯誤或者沒有回答計0分，最高得3分。

最終以學生理解水平的提升程度、學生的課堂表現(xiàn)和課后訪談為依據(jù)，探查整數(shù)乘分數(shù)的學習路徑是否得到了優(yōu)化。

三、研究結果與分析

（一）干預前S老師設計的學習路徑B1 1.學習路徑B1呈現(xiàn)

在不受任何干預的情況下，S老師獨立備課，并完成授課。根據(jù)課堂實錄以及教學設計，得到S 老師實施的學習路徑B1（如圖2所示）。

圖2 干預前S老師實施的整數(shù)×分數(shù)學習路徑B1

由圖2可知，S 老師選擇了與教材中分數(shù)乘法例2(“一桶水有12 升，3 桶水共多少升？桶是多少升？桶是多少升？”[4])類似的模型進行教學設計，由整數(shù)乘法的意義入手，遷移該意義（3 倍、），進而列出乘法算式，并借助分數(shù)的意義來理解算理、推導法則。

2.學習路徑B1的實施效果

學生后測情況統(tǒng)計如表2。從表2可以發(fā)現(xiàn)，學生程序理解的平均得分為0.681，表明有較多的學生計算錯誤。分析發(fā)現(xiàn)，學生錯誤的原因在于沒有能夠列出正確的乘法算式，因此，教師要幫助學生理解分數(shù)乘法的意義。直觀理解的平均得分0.085分，只有7位學生勉強畫出方格圖進行直觀表征，個別學生畫出了線段圖，但這種表征并不直觀。學生直觀理解水平之低提醒我們，必須補上直觀表征這一課。學生抽象理解水平較好，但平均得分也只是0.361。

表2 第一次教學后理解類型的平均得分

3.存在的問題

為什么后測效果如此差呢？通過分析教學實錄、聽取教師反饋以及開展教學研討，我們發(fā)現(xiàn)以下問題。

（1）關鍵任務的作用沒有凸顯

整數(shù)乘分數(shù)的關鍵任務并不是任務1，而是任務2，因為任務2 才具有一般性，任務2 才觸及了整數(shù)乘分數(shù)的算理。但由于任務1求得的結果均為整數(shù)，借助分數(shù)的意義用除法算式求出，就無須直觀表征，而任務2、任務3 都沒有直觀表征。但是講解分數(shù)乘分數(shù)時，必須使用直觀表征：直觀表征才能夠講清楚算理與算法。因而，啟下的作用無法發(fā)揮，就沒有為分數(shù)乘分數(shù)做好鋪墊。而教材的例2出現(xiàn)的問題與任務1如出一轍。

（2）任務情境選取不當

從課堂教學、學生后測、學生課堂作業(yè)單中發(fā)現(xiàn)，很少有學生能夠對算理進行直觀表征。由于S教師在課堂教學中沒有引導學生利用直觀，選用“千克”與教材中例2 的“升”相似，容易用一維的線段圖直觀表征。然而，線段圖容易表征一維的加減運算，而不利于表征二維的乘法運算。分數(shù)乘分數(shù)，顯然需要二維的面積圖來表征。

（3）分數(shù)乘法的意義未有效滲透

從課堂教學來看，首先是整數(shù)乘整數(shù)（15×3）；然后遷移整數(shù)乘法的意義，得到“求15的”仍然用乘法即；進一步，求得結果是5。按照這樣的教學思路就變成了“求一個數(shù)的幾分之幾是多少，就用這個數(shù)乘幾分之幾”。顯然這樣表述不符合教材中的“一個數(shù)乘幾分之幾表示的是求這個數(shù)的幾分之幾是多少”，邏輯上反了過來。即便把邏輯關系理清楚了，還有一個更加本質的問題：即求一個數(shù)的幾分之幾是多少，為什么用乘法，而不是加法或者減法。

關鍵任務與任務情境均涉及算理的直觀理解與抽象理解，乘法的意義涉及算理的程序理解，因而，本次教學效果較差也就在情理之中了。

4.改進建議

抓住本質性、代表性的任務，多種表征講清算理，并進而得到法則。同時，這個任務要能夠啟下，即為分數(shù)乘分數(shù)做好方法論的鋪墊，能夠蘊含分數(shù)乘法的意義。這個任務必須是這樣的結果為分數(shù)的任務。

（2）用面積模型作為任務情境

用“月餅”等面積模型作為任務情境，可以為后面講解分數(shù)乘分數(shù)做好鋪墊。如果僅就整數(shù)乘分數(shù)而言，可以利用線段圖來表征，但是如果貫通來看，二維面積圖就具有了一致性、本質性。

（3）合乎邏輯地滲透分數(shù)乘法的意義

學生已經清楚求幾個相同加數(shù)的和用乘法；在整數(shù)乘分數(shù)中，可以總結出求一個數(shù)的幾分之幾也用乘法。因此可以得到：求幾個相同加數(shù)的和用乘法，求一個數(shù)的幾分之幾也用乘法。這就順利實現(xiàn)了分數(shù)乘法意義的擴展。當然，對于乘法而言，一次更大的擴展是“負負得正”。

（二）修改后的學習路徑B2

1.學習路徑B2呈現(xiàn)

通過課后研討與S 老師課后反思，重新修改的學習路徑B2如圖3。

圖3 修改后的整數(shù)×分數(shù)學習路徑B2

教學任務由整數(shù)乘法引入：一盒有3 個月餅，（1）吃3 盒是多少個？（2）吃1 盒是多少個？“1”是臨界情況。上述兩個任務是“溫故”，為整數(shù)乘分數(shù)做鋪墊。以下任務是“知新”。（3）吃盒，是多少個？這是整數(shù)×單位分數(shù)結果為整數(shù)；引入整數(shù)乘分數(shù)。（4）吃盒，是多少個？這是整數(shù)×單位分數(shù)，結果是分數(shù)，這是關鍵、難點，也是著力點。（5）吃盒，是多少個？這是整數(shù)×非單位分數(shù)，結果是分數(shù)。路徑B2利用面積模型，促進學生對分數(shù)乘法算理的理解。該路徑將整數(shù)乘法的意義引申到分數(shù)乘法上來，實現(xiàn)了算理、算法與意義的統(tǒng)一。

2.學習路徑B2的實施效果

后測結果如表3。

表3 第二次教學后不同理解類型的平均得分

對比表2、表3，第二次教學后，不同理解類型得分均有大幅度提升，這表明，實施學習路徑B2，取得了良好的效果。

3.存在問題

T：你會列式嗎？你會畫圖嗎？

T：“求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法”

從上述片斷中，我們發(fā)現(xiàn)以下問題：

（1）“承前”，即承“分數(shù)乘整數(shù)”的舊知識。學生先列出了算式，再來直觀表征算式的意義與結果。但是我們以為，應該先有直觀表征，基于直觀表征，才有了算式?！俺星啊睉撌前颜麛?shù)乘分數(shù)的算法轉化成了分數(shù)乘整數(shù)。而顯然，整數(shù)乘分數(shù)的意義不能夠轉化成分數(shù)乘整數(shù)（分數(shù)乘整數(shù)的意義本質上就是整數(shù)乘法的意義）。

（2）“啟后”，即啟“分數(shù)乘分數(shù)”的新知識。關鍵有兩點：一是直觀表征整數(shù)乘分數(shù)的算理，為分數(shù)乘分數(shù)做鋪墊。學生對算理的直觀表征（見S1的畫圖），他把每個月餅看成了一個整體。而把每個月餅作為一個整體，還是整數(shù)的思維方式，只有把所有的月餅看成一個整體，才是整體的思維方式。當接下來學習分數(shù)乘分數(shù)，沒有了整數(shù)，這樣的直觀表征就不再適合。二是分數(shù)乘法意義的獲得，即“求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法”。但教師并沒有借助直觀表征說明“一個數(shù)的幾分之幾，如何轉換成乘法”。在完成所有的教學任務后，學生的思維受阻，沒能自主總結出分數(shù)乘法的意義。

4.改進建議

（1）承上：利用“分數(shù)乘整數(shù)”的算理、算法，闡釋整數(shù)乘分數(shù)的算理、推導法則。

（2）啟下：利用“整數(shù)乘分數(shù)”的知識，得到“求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法”，從而為“分數(shù)乘分數(shù)”列出乘法算式做鋪墊。

（三）完善的學習路徑B3

我們建議的整數(shù)×分數(shù)學習路徑B3如圖4。

圖4 優(yōu)化的整數(shù)×分數(shù)學習路徑B3

四、結論與建議

（一）重點任務

整數(shù)乘分數(shù)包括整個分數(shù)乘法中，最最重要的任務是“整數(shù)乘分數(shù)”，而其中的執(zhí)牛耳者是，這個關鍵任務完成了，就解決了分數(shù)乘法的算理、算法，也解決了分數(shù)乘法的意義。因而，建議教材增加這個任務。

（二）直觀表征

對于分數(shù)乘法、分數(shù)除法，表征算理的最好方式是直觀。[5-6]而由于乘法運算是二維運算，因而，面積模型具有本質性、代表性。這個直觀模型具有前后一致性：無論分數(shù)乘法、還是分數(shù)除法，均可使用。建議教材放棄對線段圖的偏愛，也放棄對水桶的偏愛，使用面積模型。

（三）分數(shù)乘法的意義

分數(shù)乘法是乘法意義的一次擴展，我們無法也不能夠回避。在介紹小數(shù)乘法時，我們刻意回避了乘法的意義；在即將學習負數(shù)乘負數(shù)時，乘法的意義具有了形式化的特征，我們不得不回避。[7]既如此，如果此時不直面乘法意義的拓展，我們就再也沒有機會來體會乘法的意義了。建議以整數(shù)乘分數(shù)為載體，抓住難得的機遇，承上啟下，滲透、介紹分數(shù)乘法的意義。▲