孫壽宇 宮淑麗

(南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院 南京 210016)

0 引 言

機(jī)場場面管理需要對場面活動區(qū)進(jìn)行有效的交通管理，國際民航組織于2004年提出在機(jī)場部署“先進(jìn)場面運(yùn)動引導(dǎo)控制系統(tǒng)”(advanced surface movement guidance and control system, A-SMGCS)的概念[1]，A-SMGCS概念提出基于保障機(jī)場安全和增大機(jī)場容量兩大因素，實(shí)現(xiàn)監(jiān)視、路徑選擇、引導(dǎo)和控制功能[2]，其中監(jiān)視功能是整個(gè)系統(tǒng)功能的基礎(chǔ)[3].目前我國大型國際樞紐機(jī)場均安裝有場面監(jiān)視雷達(dá)(surface movement radar, SMR)，配合目視監(jiān)視、語音通信等實(shí)現(xiàn)對機(jī)場場面活動區(qū)域的運(yùn)動目標(biāo)的監(jiān)視與引導(dǎo)[4].由于SMR測量數(shù)據(jù)含有噪聲，需要對SMR得到的航跡數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理.常用的非線性估計(jì)方法是基于傳統(tǒng)的Taylor級數(shù)展開的擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended kalman filter, EKF)算法.EKF思想是將非線性系統(tǒng)一階線性化，但是線性化過程會帶來近似誤差.Julier[5]提出的無跡Kalman濾波(unscented Kalman filter, UKF)以無跡變換(unscented transformation, UT)為基礎(chǔ),摒棄了對非線性函數(shù)線性化的傳統(tǒng)做法，因而計(jì)算精度較高.UKF雖然不需要計(jì)算Jacobin矩陣，但只有選擇合適的參數(shù)才能保證其收斂性.Arasaratnam等[6]提出的容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filter，CKF)基于球面徑向積分準(zhǔn)則，利用2n個(gè)具有相同權(quán)重的容積點(diǎn)對狀態(tài)的概率密度分布函數(shù)進(jìn)行逼近，避免復(fù)雜的雅克比矩陣的運(yùn)算，提高了濾波的精度和穩(wěn)定性.許多學(xué)者基于CKF做了大量研究，如文獻(xiàn)[7]，針對容積卡爾曼濾波器在遞推過程中，計(jì)算量大、數(shù)值不穩(wěn)定等問題，提出平方根容積卡爾曼濾波.文獻(xiàn)[8]將牛頓高斯迭代法引入了平方根容積卡爾曼濾波提出改進(jìn)迭代平方根容積卡爾曼濾波，文獻(xiàn)[9]基于采樣點(diǎn)正交變換改進(jìn)CKF提出了TCKF.

交互式多模算法(interacting multiple model, IMM)通過馬爾可夫鏈可實(shí)現(xiàn)各個(gè)模型之間的軟切換，增加了模型之間的交互功能.文獻(xiàn)[10]將IMM算法和CKF相結(jié)合對彈道再入目標(biāo)跟蹤研究，文獻(xiàn)[11]將IMM算法和EKF相結(jié)合對中段彈頭跟蹤研究，文獻(xiàn)[12]將IMM算法和UKF相結(jié)合對機(jī)場場面目標(biāo)跟蹤研究.IMM是一種固定結(jié)構(gòu)的多模型算法，Li[13]創(chuàng)立了使用時(shí)變模型集的變結(jié)構(gòu)交互式多模型算法(variable structure interacting multiple model, VS-IMM).該算法可以優(yōu)化模型集，減少系統(tǒng)的計(jì)算量，提高跟蹤的精度.文獻(xiàn)[14]采用自適應(yīng)網(wǎng)格對模型集進(jìn)行調(diào)整，結(jié)合基于S修正RBUKF濾波算法，文獻(xiàn)[15]提出基于球面徑向容積規(guī)則的平滑變結(jié)構(gòu)濾波算法.本文將VSIMM算法與CKF相結(jié)合，采用VSIMM-CKF算法，應(yīng)用于機(jī)場場面監(jiān)視.

1 場面運(yùn)動目標(biāo)運(yùn)動模型建立

1.1 上海虹橋機(jī)場地形信息

上海虹橋國際機(jī)場采用雙跑道、雙航站樓運(yùn)行管理的模式.滑行道系統(tǒng)為進(jìn)、出港飛機(jī)提供跑道和機(jī)坪之間的聯(lián)系通道，滑行道系統(tǒng)關(guān)系著機(jī)場的運(yùn)行效率和運(yùn)行安全水平[16]，見圖1.為了能夠統(tǒng)一時(shí)間實(shí)現(xiàn)多架飛機(jī)的穿越需求，提高飛機(jī)運(yùn)行效率，飛行的跑道穿越滑行是不可避免的，保障飛機(jī)安全穿越跑道滑行對此進(jìn)行場面監(jiān)視至關(guān)重要.

圖1 虹橋機(jī)場北流向機(jī)場地形信息圖

1.2 飛機(jī)運(yùn)動模型

飛機(jī)的運(yùn)動包含三種運(yùn)動：在跑道上加速運(yùn)動，在跑道與滑行道或滑行道與滑行道連接處的勻速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動，在滑行道上勻速直線運(yùn)動.

X(k)=FCV(k-1)X(k-1)+GCV(k-1)W(k-1)

(1)

式中：FCV為CV模型的運(yùn)動轉(zhuǎn)移矩陣.

(2)

X(k)=FCA(k-1)X(k-1)+

GCA(k-1)W(k-1)

(3)

式中：FCA為CA模型的運(yùn)動轉(zhuǎn)移矩陣.

(4)

X(k)=FCT(k-1)X(k-1)+

GCT(k-1)W(k-1)

(5)

式中：FCT為CT的運(yùn)動轉(zhuǎn)移矩陣.

(6)

2 容積卡爾曼濾波

為了解決求解多變量非線性函數(shù)與高斯密度函數(shù)乘積的積分，Arasaratnam提出容積卡爾曼濾波，即通過三階容積積分法則，利用2n個(gè)容積點(diǎn)加權(quán)求和近似計(jì)算加權(quán)高斯積分，對于函數(shù)f(x)的加權(quán)高斯積分：

(7)

式中：N(x;μ,P)為x服從均值μ和協(xié)方差陣P的正態(tài)分布；S滿足S·(S)T=P，具有2n個(gè)元素的容積點(diǎn)集{ξi}具有如下形式.

CKF算法流程見圖2.

圖2 CKF算法流程圖

具體流程如下：

1) 時(shí)間更新

①假設(shè)在第k時(shí)刻后驗(yàn)密度函數(shù)

p(Xk-1|Dk-1)=N(xk-1|k-1,Pk-1|k-1)已知，Pk-1|k-1可以分解為

(8)

②計(jì)算容積點(diǎn)(i=1,2,…,m)

Xi,k-1|k-1=Sk-1|k-1ξi+xk-1|k-1

(9)

這里m=2n.

③傳播容積點(diǎn)(i=1,2,…,m)

(10)

④估計(jì)預(yù)測狀態(tài)

(11)

⑤協(xié)方差更新

(12)

2) 量測更新

①Pk|k-1分解

(13)

②計(jì)算容積點(diǎn)

Xi,k|k-1=Sk|k-1ξi+xkξk-1

(14)

③傳播容積點(diǎn)

Zi,k|k-1=h(Xi,k|k-1,uk)

(15)

④計(jì)算量測預(yù)測值

(16)

⑤計(jì)算新息方差

(17)

⑥計(jì)算協(xié)方差矩陣

(18)

⑦計(jì)算容積卡爾曼濾波增益

(19)

⑧預(yù)測狀態(tài)更新

xk|k=xk|k-1+Wk(Zk-zk|k-1)

(20)

⑨協(xié)方差更新

(21)

3 基于VSIMM-CKF算法

運(yùn)動目標(biāo)的跟蹤研究主要取決兩個(gè)方面，首先，模型集的正確建立可以準(zhǔn)確反應(yīng)機(jī)動目標(biāo)的運(yùn)行狀態(tài)；其次，合適濾波算法可以有效濾除量測原因帶來的誤差.VSIMM算法模型集和概率轉(zhuǎn)移矩陣可根據(jù)目標(biāo)的運(yùn)動情況和地圖及其他因素等可變，在不同條件下使用不同的模型集，不僅能減少系統(tǒng)的計(jì)算量，而且能夠保證所選模型與系統(tǒng)運(yùn)動相匹配，使MM估計(jì)器達(dá)到最優(yōu)，提高跟蹤的精度.而對于非線性濾波問題，CKF算法比UKF算法更加嚴(yán)謹(jǐn)，可避免參數(shù)選取不當(dāng)而造成濾波器性能下降.VSIMM-CKF算法利用VSIMM算法對模型集優(yōu)化，同時(shí)在濾波方面采用更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)腃KF算法.

3.1 VSIMM算法

3.2 VSIMM-CKF算法

結(jié)合CKF的變結(jié)構(gòu)多模算法流程見圖3.

圖3 VSIMM-CKF算法流程圖

(22)

模型s的預(yù)測概率為

(23)

模型的混合概率為

(24)

(25)

(26)

3) CKF濾波見第2節(jié)

4) 模型概率更新 模型概率

(27)

(28)

5) 估計(jì)融合

(29)

(30)

4 仿真及結(jié)果分析

4.1 仿真場景設(shè)置

假設(shè)飛機(jī)在所在初始位置為(200 m，200 m),沿著跑道方向以初始速度為50 m/s，加速度為-2 m/s2直線運(yùn)動20 s，然后以1 (°)/s的轉(zhuǎn)彎速率運(yùn)動到B3，在40～60 s時(shí)沿著B3做勻速直線運(yùn)動，然后以10 (°)/s的轉(zhuǎn)彎速度運(yùn)動10 s運(yùn)動至H3，最后在70～80s沿著H3做勻速直線運(yùn)動.根據(jù)機(jī)場地形條件建立模型集，模型1為勻速直線運(yùn)動；模型2為加速直線運(yùn)動；模型3為轉(zhuǎn)彎率為1 (°)/s的左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動；模型4為轉(zhuǎn)彎率為5 (°)/s的右轉(zhuǎn)彎運(yùn)動；模型5為轉(zhuǎn)彎率10 (°)/s的右轉(zhuǎn)彎運(yùn)動.雷達(dá)采樣周期為1 s，考慮到SMR精度，距離方差19，方位角方差0.5.分別對IMM-EKF,VSIMM-UKF,VSIMM-CKF進(jìn)行50次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn).

4.2 仿真結(jié)果分析

圖4為仿真過程中VSIMM-CKF每個(gè)模型的概率.

圖4 VSIMM-CKF每個(gè)模型算法概率

由圖4可知，VSIMM-CKF在每個(gè)時(shí)刻刪除了不必要的模型，從總模型集中選取了能反映目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動狀態(tài)的2種運(yùn)動模型進(jìn)行了融合估計(jì).

圖5為X,Y方向的位置RMSE曲線，圖6為X,Y方向的速度RMSE曲線.

由圖5可知，在初始時(shí)刻由于濾波器沒有跟蹤上，所以誤差X,Y位置誤差都較大.圖5a)中VSIMM-CKF在模型轉(zhuǎn)換時(shí)刻20 s左右、40 s左右等模型轉(zhuǎn)換時(shí)刻，即飛機(jī)做機(jī)動運(yùn)動時(shí)誤差較大.而在非模型轉(zhuǎn)換時(shí)刻誤差基本維持在5 m以下，在模型轉(zhuǎn)換時(shí)刻峰值RMSE值大概16 m.IMM-EKF在模型轉(zhuǎn)換時(shí)刻峰值約為48 m,VSIMM-UKF在模型轉(zhuǎn)換時(shí)刻峰值約為28 m.圖6中一開始飛機(jī)沿著X軸平行運(yùn)動不存在Y軸方向位移，所以誤差較低，在20 s左右飛機(jī)做機(jī)動運(yùn)動時(shí)，誤差會增加.VSIMM-CKF峰值RMSE值為18 m，IMM-EKF峰值RMSE值為58 m，VSIMM-CKF峰值RMSE值約為28 m.由圖6可知，VSIMM-CKF誤差明顯要小于IMM-EKF和VSIMM-UKF.

a) X方向

b)Y方向

a) X方向

b)Y方向

表1為三種算法均方根誤差均值和運(yùn)行時(shí)間.表中IMM誤差明顯高于VSIMM，主要是由于IMM算法中每個(gè)時(shí)刻需要計(jì)算所有模型的概率，對于模型較多時(shí)會增加計(jì)算的復(fù)雜度，導(dǎo)致精度下降.由于VSIMM-UKF需要進(jìn)行頻繁的UT變換，也增加了計(jì)算的復(fù)雜度，而且，UKF可能會由于 點(diǎn)選取不當(dāng)而導(dǎo)致精度下降.

表1 三種算法均方根誤差均值和運(yùn)行時(shí)間對比

5 結(jié) 束 語

針對機(jī)場場面上飛機(jī)的運(yùn)動為例，結(jié)合上海虹橋機(jī)場地形信息，研究了基于SMR的機(jī)場場面單目標(biāo)飛機(jī)運(yùn)動監(jiān)視.根據(jù)飛機(jī)的實(shí)際運(yùn)動和機(jī)場地形信息，建立了五個(gè)運(yùn)動模型.VSIMM算法使用時(shí)變的模型集，可避免IMM算法中模型之間不必要的競爭，減少計(jì)算量.CKF作為一種非線性濾波方法，以其對隨機(jī)變量非線性變換后概率分布具有良好的逼近精度的優(yōu)勢得以發(fā)展.本文提出將CKF應(yīng)用于VSIMM中，將VSIMM-CKF應(yīng)用于機(jī)場場面飛機(jī)的監(jiān)視中.并將VSIMM-CKF與IMM-UKF,VSIMM-UKF進(jìn)行了仿真對比，仿真結(jié)果表明，VSIMM算法跟蹤精度明顯優(yōu)于IMM算法，而且VSIMM-CKF計(jì)算時(shí)間要優(yōu)于VSIMM-UKF,因此，將VSIMM-CKF應(yīng)用于機(jī)場場面移動目標(biāo)監(jiān)視中能很好地完成單目標(biāo)跟蹤，精確實(shí)時(shí)的單目標(biāo)跟蹤算法也可以解決機(jī)場多目標(biāo)跟蹤問題.