浙江省諸暨市第二高級(jí)中學(xué) (311800)

朱水英

切線問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的常見(jiàn)問(wèn)題，如何求切線方程則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.函數(shù)的切線方程一般采用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，而圓錐曲線的切線方程一般采用直線與圓錐曲線方程組聯(lián)立，消x或y，得到一個(gè)一元二次方程，直線與圓錐曲線相切，即方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，利用判別式Δ=0求解，即判別式法，這也是圓錐曲線中求切線方程的通法，但是此法計(jì)算量較大.

此法就是判別式法的運(yùn)用，但是計(jì)算較大，對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)可能會(huì)出現(xiàn)一種普遍現(xiàn)象：會(huì)做但算不對(duì).下面介紹橢圓的切線方程，首先引導(dǎo)學(xué)生從導(dǎo)數(shù)角度入手自己動(dòng)手推導(dǎo)橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程.

一、推導(dǎo)切線方程

圖1

圖2

評(píng)注：此法是運(yùn)用了導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行推導(dǎo)，當(dāng)然也能用判別式法，但是計(jì)算量較大，本文就不做介紹了.對(duì)公式推導(dǎo)是為了讓學(xué)生在運(yùn)用公式前能知其所以然，運(yùn)用已有的導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)解決圓錐曲線問(wèn)題，看似兩塊不同的章節(jié)，但也能有相通的地方，能讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)知識(shí)的相互關(guān)聯(lián)性，在以后的學(xué)習(xí)中能開(kāi)闊思路，提升學(xué)習(xí)能力.

二、強(qiáng)化切線應(yīng)用

圖3

分析：此題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，只有一個(gè)公共點(diǎn)即直線與橢圓相切，一般采用判別式法，參考答案也是采用此法，但是計(jì)算量大，尤其是帶有三個(gè)字母，正確率就更低了，而且還影響了下一小題的解答，因此當(dāng)年此題的得分比較低.

以下運(yùn)用橢圓的切線方程解答：

圖4

三、推廣曲線切線

圓錐曲線教學(xué)中，橢圓、雙曲線、拋物線有類似的解題思路，是否在切線方程求解上有類似的公式？作為一名高中數(shù)學(xué)教師不僅要教會(huì)學(xué)生如何解題，更要教會(huì)學(xué)生解題的思想方法，這樣才能讓學(xué)生舉一反三，提高學(xué)習(xí)的效率.自己動(dòng)手，豐衣足食.

(2)點(diǎn)P(x0,y0)為拋物線C:x2=2py上任意一點(diǎn)，則拋物線C在點(diǎn)P之處的切線方程為x0x=p(y0+y).

(3)點(diǎn)P(x0,y0)為拋物線C:y2=2px上任意一點(diǎn)，則拋物線C在點(diǎn)P之處的切線方程為y0x=p(x0+x).

(4)點(diǎn)P(x0,y0)為圓C:x2+y2=r2上任意一點(diǎn)，則圓C在點(diǎn)P之處的切線方程為x0x+y0y=r2.

數(shù)學(xué)注重對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，這是學(xué)生受用一生的能力.推理和運(yùn)算是思維訓(xùn)練的載體，邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算都是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，能對(duì)所學(xué)的知識(shí)學(xué)以致用，推理出一個(gè)新的結(jié)論，這也是一種能力的體現(xiàn).就如本文用導(dǎo)數(shù)的思想推導(dǎo)了圓錐曲線的切線方程，就是讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)的基本思想，數(shù)學(xué)內(nèi)容是相互串聯(lián)的，它們是自成一體的.而數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是思維能力和運(yùn)算能力的結(jié)合，高考對(duì)運(yùn)算求解能力的考察重點(diǎn)放在算理的應(yīng)用、運(yùn)算途徑的判斷、運(yùn)算方法的選擇上，這也是考察學(xué)生的綜合能力，所以在解析幾何教學(xué)中，運(yùn)用一些必要的結(jié)論與公式來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算，提升學(xué)生解題的信心，是很有必要的一種手段.增強(qiáng)求簡(jiǎn)意識(shí)，也是我們數(shù)學(xué)教學(xué)和高考復(fù)習(xí)中必須遵循的.