江西省九江柴桑區(qū)一中 (332100)

王 鋒

復(fù)合函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點和難點，其性質(zhì)研究相對較為困難，對學(xué)生的思維能力要求較高，在高考中往往是學(xué)生們比較懼怕的一類試題.面對看似深奧的復(fù)合函數(shù)，我們應(yīng)該怎樣研究它的性質(zhì)特征呢？個人針對高考試題中的一道復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的問題進行拓展研究，探索復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的“遺傳”規(guī)律.

例(2017年高考新課標(biāo)Ⅰ卷文科第9題)已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x)，則( ).

A.f(x)在(0,2)單調(diào)遞增

B.f(x)在(0,2)單調(diào)遞減

C.y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱

D.y=f(x)的圖像關(guān)于點(1,0)對稱

提出問題:復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與內(nèi)、外函數(shù)的性質(zhì)有什么關(guān)系？為什么有時它們有相同的性質(zhì)？什么性質(zhì)能夠“遺傳”呢？

圖1 圖2

圖3 圖4

圖5 圖6

思考1若內(nèi)函數(shù)u=g(x)關(guān)于(a,b)對稱，且外函數(shù)y=f(u)關(guān)于(b,b)對稱時，復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是否具有中心對稱性呢？

圖7

思考2若內(nèi)函數(shù)u=g(x)關(guān)于(a,b)對稱，且外函數(shù)y=f(u)關(guān)于(b,m)對稱時，復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]關(guān)于什么對稱呢？

思考3若內(nèi)函數(shù)u=g(x)關(guān)于(a,b)對稱，且外函數(shù)y=f(u)關(guān)于x=b對稱時，復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]關(guān)于什么對稱呢？

圖9

思考小結(jié):綜合以上思考分析，復(fù)合函數(shù)的中心對稱性并非不可“遺傳”，而是要在特定的條件下方可“遺傳”，并且在“遺傳”過程中，有時還會產(chǎn)生一些“變異”.從圖形的特征中揭示其本質(zhì)，這一過程十分有趣.

除了對稱性、周期性之外，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性也具有一定的規(guī)律.眾所周知，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性服從“同增異減”的原則，即內(nèi)、外函數(shù)的增減性相同，則復(fù)合函數(shù)遞增；內(nèi)、外函數(shù)的增減性相反，則復(fù)合函數(shù)遞減.為什么具有這樣的規(guī)律？我們還是利用圖形從本質(zhì)上去理解這一規(guī)律.

探究本質(zhì)對于復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]，若內(nèi)函數(shù)u=g(x)在(a,b)上單調(diào)遞增，外函數(shù)y=f(u)在(g(a),g(b))上單調(diào)遞減，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在(a,b)上單調(diào)遞減.(如圖10)因為內(nèi)函數(shù)u=g(x)在(a,b)上單調(diào)遞增,所以對于任意的x1,x2∈(a,b)，且x1y2，即對于任意的x1,x2∈(a,b)，且x1y2，所以復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在(a,b)上單調(diào)遞減.

圖10 圖11

同理可知，若內(nèi)函數(shù)u=g(x)在(a,b)上單調(diào)遞減，外函數(shù)y=f(u)在(g(b),g(a))上單調(diào)遞減，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在(a,b)上單調(diào)遞增.

注意：對于復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性判斷時，特別注意當(dāng)內(nèi)函數(shù)u=g(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)時，研究外函數(shù)y=f(u)一定要注意尋找其對應(yīng)的區(qū)間(內(nèi)函數(shù)在(a,b)上所對應(yīng)的值域)，即(g(a),g(b))或(g(b),g(a))，千萬不要與區(qū)間(a,b)弄混.

對于復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的奇偶性的“遺傳”規(guī)律，我們只需從奇偶性的定義上進行判斷即可.

結(jié)論1若內(nèi)函數(shù)u=g(x)為偶函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]也一定為偶函數(shù).因為u=g(x)為偶函數(shù),所以g(-x)=g(x)，所以f[g(-x)]=f[g(x)]，故y=f[g(x)]為偶函數(shù).

結(jié)論2若內(nèi)函數(shù)u=g(x)為奇函數(shù)，外函數(shù)y=f(u)為偶函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]為偶函數(shù).

因為u=g(x)為奇函數(shù)，所以g(-x)=-g(x)，而外函數(shù)y=f(u)為偶函數(shù)，所以f[-g(x)]=f[g(x)]，即f[g(-x)]=f[g(x)]，故y=f[g(x)]為偶函數(shù).

結(jié)論3若內(nèi)函數(shù)u=g(x)為奇函數(shù)，外函數(shù)y=f(u)也為奇函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]為奇函數(shù).

因為u=g(x)為奇函數(shù)，所以g(-x)=-g(x)，而y=f(u)也為奇函數(shù)，所以f[-g(x)]=-f[g(x)]，即f[g(-x)]=-f[g(x)]，故y=f[g(x)]為奇函數(shù).

面對各種各樣的復(fù)合函數(shù)，其性質(zhì)的“遺傳”規(guī)律千變?nèi)f化.我們在平時的學(xué)習(xí)中，不要浮于表面，死記這些結(jié)論，而應(yīng)該透過現(xiàn)象看本質(zhì)，從最根本的原因出發(fā)，探究其中所蘊含的道理，從而以不變應(yīng)萬變，真正理解這些性質(zhì)的“遺傳”與“變異”，這樣才能熟練準(zhǔn)確的應(yīng)用它.