福建省廈門第一中學(xué) (361003) 王淼生福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部 (350025)

張 潔

我們知道數(shù)學(xué)選擇題的信息不僅體現(xiàn)在題干中，更多隱蔽在選擇支中．要使選擇支中的信息清晰化、簡(jiǎn)單化、明了化，一種有效的策略就是列表，通過恰當(dāng)構(gòu)建表格將試題信息呈現(xiàn)出來(lái)，使得各種條件、關(guān)系及內(nèi)涵一目了然．對(duì)于一些復(fù)雜問題，列表容易將錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系簡(jiǎn)單化，便于我們發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，明確解題方向．本文通過三個(gè)具體案例來(lái)展示這一策略的美妙與實(shí)用．

1.三個(gè)經(jīng)典案例

圖1

案例1 四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA之長(zhǎng)分別為1，9，8，6，如圖1所示．對(duì)于以下命題：

①四邊形ABCD外切于圓；②四邊形ABCD內(nèi)接于圓；③對(duì)角線不互相垂直；④∠ADC≥90°；⑤ΔBCD是等腰三角形．其中正確的是( ).

A．①真，②假，④真B．③真，④假，⑤真

C．③真，④假，⑤假D．②假，③假，④真

剖析：正常情況下，一般都是從頭到尾直接判斷命題①，②，③，④，⑤的真假性，相當(dāng)于解答五道試題，這要花費(fèi)大量的時(shí)間與精力，顯然很不合算．對(duì)于選擇題，我們當(dāng)然希望只對(duì)其中個(gè)別命題加以判斷，并且所判斷的命題個(gè)數(shù)越少越好．怎樣才能達(dá)到這種又快(節(jié)約時(shí)間)又省(節(jié)省精力)又少(命題個(gè)數(shù)少)呢？這就需要我們對(duì)上述選擇支結(jié)構(gòu)予以分析，現(xiàn)將選擇支信息構(gòu)建如下表格(注：“？”表示未作判斷；“+”表示給予肯定判斷；“—”表示給予否定判斷，下同)：

命題號(hào)選擇支 ①②③④⑤A+—?+?B??+—+C??+——D?——+?

觀察上述表格可知，四個(gè)選擇支僅僅只對(duì)命題④全部作出判斷，因此涉及命題④所透露的信息最多，當(dāng)然從命題④入手，成為我們破解問題的切入口．由三角形兩邊之和大于第三邊可得ACAC2?∠ADC<90°．因此命題④為假命題，據(jù)此否定選擇支A與選擇支D，以下只要對(duì)選擇支B與選擇支C加以判斷即可．再觀察上述表格發(fā)現(xiàn)：盡管選擇支B與選擇支C，命題③都作出判斷，并且都是給予肯定判斷，因此命題③必然正確．再仔細(xì)審視表格發(fā)現(xiàn)：只有選擇支B與選擇支C對(duì)命題⑤作出了判斷，而且是相反的判斷，其中必有一對(duì)，必有一錯(cuò)，因此從命題⑤下手成為解決問題的關(guān)鍵所在．

依據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可得：BD

評(píng)注：案例1為1986年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題，距今已有三十多年，是一道經(jīng)典試題．當(dāng)年命題專家給出的參考解答就是選取其中三個(gè)命題進(jìn)行判斷，讓人感覺突兀，其實(shí)也是盲目的．上述通過構(gòu)建表格容易發(fā)現(xiàn)命題④信息最多，從而否定選擇支A與選擇支D；余下選擇支B與選擇支C，都對(duì)命題⑤作出了判斷，而且判斷結(jié)果相反，因此必有一對(duì)、一錯(cuò)，于是抓住命題⑤就立即破解案例1．這樣繞過命題①，②，③，尤其避開棘手的命題②，達(dá)到不戰(zhàn)而屈人之兵的奇效．

案例2 某校舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)獲得前五名(注：沒有并列名次).發(fā)獎(jiǎng)前，老師讓他們猜一猜各人的名次.

甲說(shuō)：乙第三，丙第五；乙說(shuō)：戊第四，丁第五；丙說(shuō)：甲第一，戊第四；丁說(shuō)：丙第一，乙第二；戊說(shuō)：甲第三，丁第四.

實(shí)際上每個(gè)名次都有人猜對(duì)，則正確的名次是( ).

A.第一名是丙，第二名是乙，第三名是甲，第四名是戊，第五名是丁

B.第一名是丁，第二名是乙，第三名是甲，第四名是戊，第五名是丙

C.第一名是乙，第二名是丙，第三名是甲，第四名是戊，第五名是丁

D.第一名是甲，第二名是乙，第三名是丙，第四名是戊，第五名是丁

名次猜測(cè)第一名第二名第三名第四名第五名甲??乙?丙乙???戊丁丙甲??戊?丁丙乙???戊??甲丁?

由上述列表可得，猜第二名的只有乙，依題意“每個(gè)名次都有人猜對(duì)”從而斷定乙為第二名.由于沒有并列名次，故乙不可能是第三名，由此否定C.以此為突破口，推知甲為第三名，從而否定D.又由表格推知丙為第一名，從而否定B.因此肯定A是正確的，由此得到第一名是丙，第二名是乙，第三名是甲，第四名是戊，第五名是丁.故選A.

評(píng)注：案例2為2015年廈門市高三模擬試題.正常情況下都是對(duì)選擇支逐個(gè)排除.但案例2涉及人數(shù)與獲獎(jiǎng)名次情況較為復(fù)雜，逐個(gè)排除顯得非常麻煩.通過列表并將選擇支結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析，很快就能確定乙為第二，從而為解決問題尋覓到最佳的切入口.

案例3如果方程|3x|-ax-1=0的解是負(fù)數(shù)，那么a的取值范圍是( ).

A.a>-3B.a≥3C.a<3D.a≤-3

剖析：為了便于分析，我們將實(shí)數(shù)集R依據(jù)上述選擇支劃分為以下區(qū)間并列表如下：

區(qū)間選擇支 (-∞,-3)-3(-3,3)3(3,+∞)A??+++B???++C+++??D++???

從上述表格不難看出：選擇支對(duì)每個(gè)區(qū)間信息(判斷)是均等的(每個(gè)區(qū)間都是2個(gè)肯定判斷)，我們無(wú)法得到某一個(gè)區(qū)間上更多信息，怎么辦？如何尋找突破口成為破解問題的關(guān)鍵所在.當(dāng)然從特殊值入手合情合理，即取a=-3時(shí)，原方程等價(jià)于|3x|+3x-1=0．當(dāng)x為負(fù)數(shù)時(shí)是得到0=1，顯然該方程無(wú)解，與題意矛盾，故應(yīng)該否定a=-3，也就是說(shuō)否定選擇支C與選擇支D.對(duì)于選擇支A與選擇支B來(lái)說(shuō)，對(duì)照上述表格發(fā)現(xiàn)：在a=3及a∈(3,+∞) ，都是給予肯定判斷，要么都對(duì)，要么都錯(cuò)，而選擇題必有一個(gè)是正確選擇支，否則試題錯(cuò)誤.注意到選擇支A與選擇支B的包含與從屬關(guān)系，如果選擇支A正確，那么選擇支B一定也是正確的，這樣出現(xiàn)兩個(gè)正確答案，與題意不符，因此從邏輯上否定選擇支A，故只能是B正確.

評(píng)注：案例3為2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，也是文[1]研究的案例.文[1]主要從“方程有負(fù)數(shù)解，而且只能是負(fù)數(shù)解”的層面上加以考量.上述解答從選擇支結(jié)構(gòu)特征加以剖析并構(gòu)建恰當(dāng)?shù)谋砀?，顯得新穎別致．

2.兩道訓(xùn)練習(xí)題

請(qǐng)讀者模仿上述構(gòu)建表格的方法并利用結(jié)構(gòu)分析策略來(lái)解答以下兩道訓(xùn)練題：

訓(xùn)練題1 (2014年廈門一中高三模擬試題改編)一個(gè)宿舍住著4名女大學(xué)生A，B，C，D，已知她們中有一人在修指甲，一人在做頭發(fā)，一人在用早餐，一人在看書．又知道A沒修指甲也沒看書，B不用早餐也沒修指甲，C沒看書也沒用早餐，D沒看書也沒用早餐，試問：大學(xué)生A，B，C，D各在做什么？(注：原題為選擇題)

訓(xùn)練題2 (2007年武漢大學(xué)自主招生試題)某珠寶店失竊，甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘審，四人口供如下：

甲：作案是丙；乙：丁是作案者；丙：如果我作案，那么丁是主犯；?。鹤靼傅牟皇俏遥?/p>

如果四人口供中只有一人是假的，那么以下判斷正確的是( ).

A.說(shuō)假話的是甲，作案的是乙

B.說(shuō)假話的是丁，作案的是丙和丁

C.說(shuō)假話的是乙，作案的是丙

D.說(shuō)假話的是丙，作案的是丙

(參考答案：訓(xùn)練題1：A在早餐，B在看書，C在做頭發(fā)，D在修指甲，注：本題答案不惟一；訓(xùn)練題2：答案B)

3.一點(diǎn)心得體會(huì)

表格既具有圖形語(yǔ)言的直觀性，又兼有符號(hào)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔性，更具有文字語(yǔ)言的通俗性，因此是一種值得推廣的方法．構(gòu)建表格只是一種手段而已，目的是通過列表呈現(xiàn)各類信息，并對(duì)信息結(jié)構(gòu)、特征加以分析，從而化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱為顯，其中穿插特值法、邏輯法等多種方法，從而快捷、高效地解決問題．上述這些案例與訓(xùn)練題，絕大部分都是高考乃至名校自主招生試題，應(yīng)該說(shuō)難度較大．借助構(gòu)建表格，運(yùn)用剖析結(jié)構(gòu)特征策略，使得問題迎刃而解.