江蘇省蘇州市吳縣中學(xué) (215151)

康小峰

微專題是高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)的常見形式，一般是通過一兩節(jié)課的教學(xué)就某類熱點(diǎn)問題讓學(xué)生形成解決一類問題的思維主線，從而達(dá)到提升學(xué)生解題能力的效果.但縱觀時(shí)下的高三數(shù)學(xué)二輪教學(xué)現(xiàn)狀，很多老師在操作上還存在以下誤區(qū)：1.專題不專，大多數(shù)專題還是以知識點(diǎn)分類的，內(nèi)容多而雜，并未聚焦在核心問題和熱點(diǎn)問題上；2.教法單一，課堂上多半是以教師講解和展示學(xué)生解題過程為主，學(xué)生缺乏深度思維，課堂索然無味，從而導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)效率低下.另外，通過瀏覽近幾年的各地模考卷和高考試卷，筆者發(fā)現(xiàn)很多試題源于教材又高于教材，這說明教材上的習(xí)題大多具有豐富的背景和廣闊的外延，值得教師進(jìn)行二次開發(fā)，如能以此為載體進(jìn)行探究形成一系列微專題定會收到意想不到的效果.基于以上教學(xué)現(xiàn)狀和思考，筆者試圖從發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度進(jìn)行了一些探索和嘗試，現(xiàn)就如何以教材習(xí)題為題根進(jìn)行微專題設(shè)計(jì)談?wù)勛约旱南敕?，不?dāng)之處，請同行批評指正.

一、由習(xí)題滲透思想方法

我們知道數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，但它又較數(shù)學(xué)知識具有更高的層次，它是一種數(shù)學(xué)意識，可以用來指導(dǎo)我們的解題,是一種重要的素養(yǎng).因此，要讓學(xué)生自覺形成用數(shù)學(xué)思想方法來指導(dǎo)解題，就必須在平時(shí)的教學(xué)中加以滲透，僅僅靠幾個(gè)思想方法專題是無法將其內(nèi)化為學(xué)生的自覺行為，而課本中一些簡單的習(xí)題，如能合理利用并加以變式，定能給學(xué)生形成強(qiáng)烈的腦風(fēng)暴.這里以蘇教版必修5第106頁第17題為例作簡要的探討.

分析：教材中的這道題是一道經(jīng)典的利用基本不等式求最值題，經(jīng)過一輪的復(fù)習(xí)學(xué)生已經(jīng)掌握兩種常見求解方法.

(方法一)利用消元法，轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的最值(過程略).

方法二是借助“整式和”與“分式和”的關(guān)系，利用一次基本不等式達(dá)到求最值的目的，且“整式和”與“分式和”兩個(gè)整體只要知“一”便可求“一”.它是很多類似問題的題根.為便于說明，筆者借助下列變式加深對此類問題的理解.

分析：本題仍屬“整式和”與“分式和”關(guān)系的問題，對比題根發(fā)現(xiàn)，本題分式和的兩個(gè)分母較題根復(fù)雜，寫成了兩項(xiàng)和的形式，通過換元即可化歸為基本類型.

分析：本題條件以不等式形式出現(xiàn)，咋一看難度很大，若將其改為x+y=2,即化歸為變式2，再還原成不等式，利用不等式的傳遞性，即可求解.

上述教學(xué)設(shè)計(jì)片段是基于課本中的一道習(xí)題展開的，通過再現(xiàn)其常見的處理方法，迅速將學(xué)生的思維拉進(jìn)“1”的代換這一配湊技巧，然后筆者遵循低起點(diǎn)、層層遞進(jìn)的原則，設(shè)計(jì)了一系列變式題，引導(dǎo)學(xué)生解決這類問題要時(shí)時(shí)刻刻做到對題根的回頭看并及時(shí)消除解題差異，通過對條件和目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)化，化歸為基本類型，這樣的歷練過程對學(xué)生的思維無疑是有益的，遠(yuǎn)比對著題目說本題考察了轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想效果更好.因此，數(shù)學(xué)思想方法的滲透并不是直接告知的，而是在潛移默化中感受和形成的.

2.由習(xí)題優(yōu)化解題方法

高考答題的最高境界是既快又準(zhǔn)，也就是要優(yōu)化解答，這除了靠平時(shí)的大量刷題外，還要進(jìn)行解題反思，做好題目的歸類和小結(jié).不妨讓我們把視線轉(zhuǎn)向教材，教材中的很多習(xí)題看似平淡無味，但如果認(rèn)真研究便可衍生出許多有用的結(jié)論，利用這些結(jié)論便可秒殺各類考題.下面筆者以蘇教版必修4第89頁第12題為例進(jìn)行說明.

圖1

本題的證明非常簡單，其幾何意義也是大家非常熟悉的(平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和).利用幾何意義證明更加直觀：

問題1如將上述①②兩式相減你會有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

問題2你能給出極化恒等式的幾何解釋嗎？

問題3特別地，如將平行四邊形ABCD退化成ΔABD，你又能得出怎樣的結(jié)論，能給出幾何解釋嗎？

問題4你覺得使用該結(jié)論的關(guān)鍵是什么？

兩向量共起點(diǎn)是關(guān)鍵.

圖2 圖3

圖4

分析：由D是BC的中點(diǎn)并結(jié)合三個(gè)數(shù)量積的形式，直接可由極化恒等式切入得

上述教學(xué)設(shè)計(jì)是在一道簡單習(xí)題從“數(shù)”與“形”兩方面解決之后展開的，教師通過問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生由淺入深進(jìn)行探究，旨在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和分析問題的能力.得出極化恒等式后教師并未急于進(jìn)入例題講解，而是讓學(xué)生嘗試用自己的語言給出其幾何解釋，在大腦中先留下直觀的印象，為后續(xù)解題時(shí)進(jìn)行模式識別做好準(zhǔn)備.幾個(gè)例題梯度明顯，給出了不同背景下的公式運(yùn)用，通過分析與求解使學(xué)生認(rèn)識到向量數(shù)量積的求解除了常規(guī)的基底法和坐標(biāo)法外，極化恒等式也是求解數(shù)量積的不二選擇，很多時(shí)候可“秒殺”一類?？己透呖枷蛄吭囶}.整個(gè)設(shè)計(jì)并不是向?qū)W生灌輸高難度的解題技巧，而是教會學(xué)生如何選擇解題工具，如何理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而有效地培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.由習(xí)題滲透數(shù)學(xué)文化

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：在高中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)當(dāng)有意識的結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)與人類發(fā)展的相互作用，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、人文價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值；在尋求數(shù)學(xué)發(fā)展歷史軌跡的過程中，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新的動(dòng)力，提升學(xué)生的文化素養(yǎng)和科學(xué)精神.蘇教版《數(shù)學(xué)》教科書非常重視數(shù)學(xué)文化，在章首語、正文、閱讀材料、習(xí)題中均有體現(xiàn).因此，在平時(shí)的教學(xué)過程中，我們可以以教材中的習(xí)題為載體，適時(shí)的向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)文化，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化的魅力，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.接下來以蘇教版選修2-1第64頁練習(xí)4為例進(jìn)行闡述.

例6 (題根)求平面內(nèi)到兩定點(diǎn)(-2，0)，(1,0)的距離比等于2的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

問題1你能指出M點(diǎn)的軌跡嗎？

點(diǎn)M的軌跡是以(2,0)為圓心，2為半徑的圓.

點(diǎn)M的軌跡仍然是圓.

問題3根據(jù)上述問題，你能將例6推廣成更加一般性的結(jié)論嗎？

類比問題1的解題方法進(jìn)行求解.

上面這個(gè)圓就是大名鼎鼎的阿波羅尼斯圓，它是公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在研究眾多平面軌跡問題時(shí)所發(fā)現(xiàn)的，簡稱阿氏圓，這個(gè)著名結(jié)果被收錄在《平面軌跡》一書中.阿波羅尼斯與歐幾里得和阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡.

我們知道阿氏圓涉及的要素有定點(diǎn)A、定點(diǎn)B、動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之比及動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，剛剛我們由前三個(gè)要素求出了第四個(gè)要素，那么如果已知其中任意三個(gè)量能求出第四個(gè)量嗎？

問題5通過對阿氏圓四個(gè)要素的分析，類比問題4，你能給出其余的變式，并給予解答嗎？

學(xué)生們很快給出了其余兩種變式：

類比問題4的解題方法，學(xué)生們很快給出了解答,限于篇幅，這里就不做解答了.

上述教學(xué)設(shè)計(jì)是根據(jù)課本中的阿波羅尼斯圓問題延伸和拓展的，學(xué)生在建構(gòu)阿波羅尼斯圓的同時(shí)，感受到了數(shù)學(xué)文化的熏陶，隨后，通過一系列變式和探究活動(dòng)，讓學(xué)生加深了對阿氏圓本質(zhì)的理解，同時(shí)學(xué)會了研究問題的一般方法，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),從而有效的促進(jìn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.隨著普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)的出爐，數(shù)學(xué)的文化價(jià)值愈顯重要，它不僅出現(xiàn)在教材的習(xí)題中，在高考試卷中的比重也會越來越高，因此，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識地對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的滲透，它不僅可以幫助學(xué)生理解和記憶所學(xué)知識，也是提高學(xué)生文化修養(yǎng)、落實(shí)核心素養(yǎng)的一條重要途徑.