江蘇省新海高級(jí)中學(xué) (222003)

徐 方

高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程必定伴隨著解題，學(xué)生在解題過程中出錯(cuò)在所難免.美國(guó)心理學(xué)家蓋耶說：“誰不愿意嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過最富有成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻.”在教學(xué)過程中，如果教師能夠科學(xué)發(fā)掘錯(cuò)誤的教學(xué)價(jià)值，就一定能讓錯(cuò)誤變“廢”為寶.本文在綜合解題錯(cuò)誤的相關(guān)研究與教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上，提出了矯正高中數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤的四條策略.

1.對(duì)解題錯(cuò)誤常見的認(rèn)識(shí)誤區(qū)

1.1 害怕學(xué)生出錯(cuò)，對(duì)待錯(cuò)誤缺乏耐心

作業(yè)中錯(cuò)誤越多，講評(píng)時(shí)間越長(zhǎng)，教學(xué)進(jìn)度就會(huì)受阻；考試錯(cuò)誤越多，班級(jí)均分就會(huì)拉低.迫于教學(xué)進(jìn)度和教學(xué)考核的壓力，不少教師逐漸失去了對(duì)學(xué)生的不同見解的尊重，失去了對(duì)待錯(cuò)題錯(cuò)誤的耐心，甚至開始認(rèn)為有些錯(cuò)誤是不可理解、不能接受的，比如有些教師會(huì)對(duì)學(xué)生這樣說：“這道題已經(jīng)講過好幾遍了，班上還是有這么多人錯(cuò).”“全班只有你把這道做錯(cuò).”教師以這樣的方式對(duì)待學(xué)生的錯(cuò)誤，怎么可能引導(dǎo)學(xué)生形成對(duì)待錯(cuò)誤的積極態(tài)度?

1.2 輕視錯(cuò)誤原因診斷，注重反復(fù)訓(xùn)練糾錯(cuò)

錯(cuò)誤其實(shí)并不可怕，可怕的是教師對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤缺乏正確的認(rèn)識(shí)和足夠的重視，甚至以錯(cuò)誤的方式對(duì)待學(xué)生的錯(cuò)誤，比如部分教師批改試卷，作業(yè)時(shí)比較隨意，批改速度太快.面對(duì)不同的學(xué)生解題思路與步驟的差異，教師有的時(shí)候就給一個(gè)勾或叉，或者只對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行“蜻蜓點(diǎn)水式”的歸因分析，把錯(cuò)誤重視簡(jiǎn)單地歸結(jié)為不會(huì)聽課、不善審題、不夠細(xì)心、概念不清等等，或者采取“直接灌輸式”即教師有意“繞開”錯(cuò)誤，對(duì)錯(cuò)誤避而不談，課堂上把正確解法直接講解一遍，然后將大部分時(shí)間用于同類習(xí)題的反復(fù)訓(xùn)練.這樣糾錯(cuò)，錯(cuò)誤會(huì)得到暫時(shí)的平息，但是由于缺乏對(duì)錯(cuò)誤根源的探析，缺乏正誤解法的必要對(duì)比以及適當(dāng)?shù)淖兪骄毩?xí)，日后再見時(shí)必會(huì)將錯(cuò)誤進(jìn)行到底.

2.對(duì)解題錯(cuò)誤應(yīng)有的基本認(rèn)識(shí)

2.1 理性認(rèn)識(shí)解題錯(cuò)誤的基本特點(diǎn)

從習(xí)題特點(diǎn)來看，高中數(shù)學(xué)題具有知識(shí)范圍廣、抽象程度高、題目變式多、思路分析活，解題技巧強(qiáng)、定量計(jì)算難等顯著特點(diǎn);從認(rèn)知特點(diǎn)來看，高中學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的不平衡性與個(gè)體差異比較明顯;從數(shù)學(xué)發(fā)展史來看，與數(shù)學(xué)家同時(shí)載入史冊(cè)的不僅是他們的偉大發(fā)現(xiàn)，往往還有他們的“低級(jí)錯(cuò)誤”.由此可見，一直以來數(shù)學(xué)都是最難學(xué)的一門學(xué)科，高中學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤不僅具有歷史性、復(fù)雜性、多樣性、反復(fù)性、個(gè)體性以及群體性，而且往往具有必然性與合理性.

2.2 辯證認(rèn)識(shí)解題錯(cuò)誤的教學(xué)價(jià)值

面對(duì)錯(cuò)誤，教師應(yīng)該辯證看待其教學(xué)價(jià)值，既要看到錯(cuò)誤對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的負(fù)面干擾作用，也要看到錯(cuò)誤本身所蘊(yùn)藏的資源性價(jià)值與可利用性.比如解答題的列式推導(dǎo)演算過程，就能比較客觀、全面地揭示學(xué)生的思維過程、思維特征、思維水平以及非智力因素等方面的信息，為師生科學(xué)糾錯(cuò)提供重要的教學(xué)資源.

2.3 科學(xué)利用解題錯(cuò)誤的診斷功能

錯(cuò)誤具有“透鏡”的功能，它能將所有的重難點(diǎn)知識(shí)“折射”成一個(gè)集合體；錯(cuò)誤也具有“B超”的能力，它能透過表面觀察本質(zhì)，比如個(gè)性化錯(cuò)誤能夠“觀察”到個(gè)別學(xué)生的認(rèn)知不足，群體性、反復(fù)性錯(cuò)誤能夠“觀察”到學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法應(yīng)用上的普遍性確漏，同時(shí)也能“觀察”到教師在相關(guān)內(nèi)容上的教學(xué)問題；錯(cuò)誤也具有“探測(cè)儀”的作用，它可以提前探明學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，比如備課前的診斷性測(cè)試；錯(cuò)誤還具有“導(dǎo)航儀”的本領(lǐng)，比如學(xué)生在課堂上出現(xiàn)的錯(cuò)誤{包括解題錯(cuò)誤}可以給教學(xué)過程的即時(shí)調(diào)整指明方向.

3.對(duì)數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤的原因探析

3.1 教材內(nèi)容的編排特點(diǎn)

部分高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的編排往往會(huì)受到編寫格式、組織形式以及篇幅等因素的限制，它所呈現(xiàn)的知識(shí)邏輯多是減縮化、靜態(tài)化的，而且通常是不完滿、不連貫的，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)思想過程的有效揭示.這樣的編排特點(diǎn)，不利于學(xué)生合理構(gòu)建數(shù)學(xué)概念，不利于學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)規(guī)律，不利于發(fā)展學(xué)生的科學(xué)思維能力，這就大大增加了學(xué)生在解題過程中出錯(cuò)的可能性.

譬如在學(xué)習(xí)蘇教版必修2《直線與方程》中斜率與傾斜角關(guān)系時(shí)給出：當(dāng)α為鈍角時(shí)，我們規(guī)定tanα=-tan (180°-α)，課本直接給出，而這個(gè)內(nèi)容是在必修4才學(xué)到.所以學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤是難免的.

3.2 數(shù)學(xué)過程的實(shí)施方式

在教學(xué)過程中，由于教學(xué)課時(shí)緊，教學(xué)任務(wù)重，教師會(huì)把一些結(jié)論性知識(shí)或規(guī)律性知識(shí)直接教給學(xué)生，這種“知識(shí)本位”的教學(xué)方式可以稱為“截流式”.學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的過程中，一般都需要體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，才能實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法真正的理解，這種“體驗(yàn)過程”的學(xué)習(xí)方式可以稱為“源流式”，比如學(xué)習(xí)概念需要經(jīng)歷其建構(gòu)過程，學(xué)習(xí)規(guī)律需要經(jīng)歷其發(fā)現(xiàn)過程，學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)需要經(jīng)歷其設(shè)計(jì)和操作過程，學(xué)習(xí)解題需要經(jīng)歷其思維過程.由此看來，教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式的矛盾，是造成學(xué)生認(rèn)知困難、導(dǎo)致學(xué)生解題錯(cuò)誤的重要原因.

譬如在學(xué)習(xí)奇函數(shù)時(shí)，很多教師會(huì)給學(xué)生一個(gè)重要結(jié)論：如果函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，則f(0)=0，但是學(xué)生在做題時(shí)會(huì)不加考慮，拿來結(jié)論就用，往往忽略了“0是否在這個(gè)函數(shù)定義域內(nèi)”這個(gè)條件，所以出現(xiàn)錯(cuò)誤就不足為奇了.

3.3 學(xué)習(xí)認(rèn)知能力的水平

比如學(xué)生由于只是貯備不足，認(rèn)知水平達(dá)不到解題要求，知識(shí)和方法的負(fù)遷移、錯(cuò)誤的前概念、思維的靈活性欠缺等原因?qū)е鲁鲥e(cuò).另外，學(xué)生在解題過程中出錯(cuò)與學(xué)生的非智力因素密切相關(guān).教育心理認(rèn)為，非智力因素雖然不直接參與認(rèn)知過程，但直接制約認(rèn)知過程，表現(xiàn)為它對(duì)認(rèn)知過程的動(dòng)力作用、定向和影響作用、維持和調(diào)節(jié)作用以及彌補(bǔ)作用.比如一個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)不明、學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)不足、學(xué)習(xí)興趣不濃、學(xué)習(xí)意志薄弱的學(xué)生在解題過程中出錯(cuò)也就是“情理之中”的事情了.

4 對(duì)數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤的歸類分析

4.1 基礎(chǔ)知識(shí)類錯(cuò)誤

所謂“基礎(chǔ)知識(shí)類錯(cuò)誤”主要是指學(xué)生由于知識(shí)體系不完整所導(dǎo)致的錯(cuò)誤.比如由于不清楚相關(guān)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系所導(dǎo)致的錯(cuò)誤，或者由于誤解題意所導(dǎo)致的錯(cuò)誤，或者由于遺忘相關(guān)知識(shí)(公式、定理、公理、數(shù)學(xué)模型等)具體的適用條件和范圍所導(dǎo)致的錯(cuò)誤，等等.

4.2 思維程序類錯(cuò)誤

所謂“思維程序類錯(cuò)誤”主要是指學(xué)生由于分析問題缺乏有序性或條理性所導(dǎo)致的錯(cuò)誤.比如學(xué)生在解決較為復(fù)雜的問題時(shí)，有時(shí)候并非不知道相關(guān)的具體知識(shí)，而是因?yàn)樗季S跨度太大，跳過了某些必要的思維環(huán)節(jié)，導(dǎo)致得出的結(jié)論中存在片面、遺漏的情況，甚至是錯(cuò)誤.

4.3 策略選擇類錯(cuò)誤

所謂“策略選擇類錯(cuò)誤”主要是指學(xué)生由于解題策略和方法選擇不當(dāng)所導(dǎo)致的錯(cuò)誤.比如類比思維、等效思維、逆向思維、極端思維等常用的數(shù)學(xué)思維方法運(yùn)用不當(dāng)所導(dǎo)致的錯(cuò)誤.另外，雖然解題思路和方法本身并沒有錯(cuò)，但解題過程迂回曲折，導(dǎo)致解題過程繁瑣易錯(cuò)，即使最終勉強(qiáng)解題成功，也可以認(rèn)為是解題策略選擇不當(dāng).

4.4 心理狀態(tài)類錯(cuò)誤

所謂“心理狀態(tài)類錯(cuò)誤”主要是指學(xué)生由于心理狀態(tài)不夠穩(wěn)定所導(dǎo)致的錯(cuò)誤，特別是指學(xué)生在某些重要考試中，由于考試緊張、焦慮所產(chǎn)生的各種“低級(jí)錯(cuò)誤”.比如看錯(cuò)條件、寫錯(cuò)答案、遺漏解答、答非所問等.

5 對(duì)矯正解題錯(cuò)誤的策略探索

綜合學(xué)生解題錯(cuò)誤的相關(guān)研究與教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為為了有效矯正學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，應(yīng)該在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中注重以下方面：

5.1 聯(lián)系新舊知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)體系

新知識(shí)的學(xué)習(xí)是在原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的過程基礎(chǔ)上進(jìn)行理解和建構(gòu)的.學(xué)生在解題過程中出錯(cuò)，究其原因，往往是學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的過程中沒有能夠建立好新舊知識(shí)的聯(lián)系，沒有能夠形成完備的知識(shí)體系.比如在學(xué)習(xí)解一元二次不等式時(shí)很多學(xué)生在寫解集時(shí)會(huì)出現(xiàn)各式各樣的錯(cuò)，為了幫助學(xué)生少出錯(cuò)，在新課教學(xué)中，筆者進(jìn)行如下嘗試：

解不等式5x2-10x+4.8<0(蘇教版必修5.P75引例)

第一步：解方程5x2-10x+4.8=0，得x1=0.8,x2=1.2;

第二步：畫出拋物線y=5x2-10x+4.8的草圖；

第三步：根據(jù)拋物線的圖像，可知5x2-10x+4.8<0的解集為{x|0.8

這是課本上給出解一元二次方程的方法和步驟.

要使學(xué)生順利掌握這種方法，學(xué)生對(duì)如下具體知識(shí)的掌握情況至關(guān)重要：第一，解一元二次方程；第二，畫二次函數(shù)的圖像；第三，根據(jù)圖像的標(biāo)識(shí)寫出解集.因?yàn)榻庖辉畏匠獭嫸魏瘮?shù)的圖像和根據(jù)圖像的標(biāo)識(shí)寫出解集是初中學(xué)習(xí)內(nèi)容，很多學(xué)生都忘了.所以，教師只要想辦法讓學(xué)生回憶起怎樣解一元二次方程、畫二次函數(shù)的圖像和根據(jù)圖像的標(biāo)識(shí)寫出解集，就能使全班學(xué)生都達(dá)到掌握這一種方法所必需的認(rèn)知準(zhǔn)備條件的要求.因此筆者在學(xué)習(xí)本節(jié)課時(shí)先給出如下問題：

(1)請(qǐng)你解下列方程：x2-1=0;x2-2x+1=0;2x2-x-3=0;x2+x+1=0.

(2)請(qǐng)你畫出一次函數(shù)y=2x+1的圖像，并根據(jù)圖像寫出當(dāng)自變量x>1時(shí)的函數(shù)y的取值范圍同時(shí)指出當(dāng)y<1時(shí)，此時(shí)自變量x的取值范圍(從學(xué)生熟悉的一次關(guān)系入手，容易理解).

(3)請(qǐng)你畫出二次函數(shù)y=2x2-x-1的圖像，并求其零點(diǎn)(回憶畫二次函數(shù)圖像的基本方法和函數(shù)零點(diǎn)，聯(lián)系二次函數(shù)與二次方程).

(4)觀察(3)中圖像，分別指出圖像在x軸上、下所對(duì)應(yīng)的函數(shù)自變量x的取值范圍(從圖像入手，形象直觀).

教師可以嘗試引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一元二次方程和二次函數(shù)圖像進(jìn)而發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)的共同特征和本質(zhì)聯(lián)系，形成完善的知識(shí)體系.

5.2 辨析解題思路，優(yōu)化解題策略

在習(xí)題糾錯(cuò)教學(xué)中，部分教師習(xí)慣讓自己代替學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行分析，教師基于自己所擁有的完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)，分析問題總能直指“要穴”，解題技巧熟練、解題速度快捷、解題方法最優(yōu).對(duì)于這樣的教學(xué)，部分學(xué)生由衷贊嘆：“老師，你的思路太好了！”當(dāng)然，贊嘆之余還有追問：“老師，這么好的思路，我怎樣才能想好呢？“學(xué)生的追問說明，這種”包辦式習(xí)題教學(xué)“不能給予學(xué)生最想要的東西——解題策略，卻能給予學(xué)生最不想要的東西——解題錯(cuò)誤.那么，如何提升學(xué)生的解題策略的選擇能力？通過注重辨析解題思路的教學(xué)可以做到.

5.3 還原學(xué)生思維，引導(dǎo)有序分析

面對(duì)復(fù)雜的問題，經(jīng)常出現(xiàn)“老師一講就懂，學(xué)生一做就錯(cuò)“的現(xiàn)象，分析問題缺乏有序性(喜歡”憑感覺“、習(xí)慣”跳步子“)是主要原因.所謂”分析問題的有序性“是指解題者在分析和解決問題時(shí)遵循一定的順序，按照特定的線索和步驟去思考和探索的一種思維方式.為了培養(yǎng)學(xué)生有序分析問題的思維習(xí)慣，采用“還原學(xué)生思維”的策略組織教學(xué)是一個(gè)不錯(cuò)的辦法.

在復(fù)習(xí)函數(shù)定義域和值域時(shí)有這樣一道題：

這道題筆者不管教哪一屆學(xué)生錯(cuò)的都很多.對(duì)于這種類型的“板塊問題”求解思路通常是：(1)利用對(duì)數(shù)函數(shù)定義域成立的條件；(2)給出t=x2+2x+a>0的條件；(3)想到根的判別式.很明顯，問題就出現(xiàn)在第一個(gè)思維環(huán)節(jié)，或者說缺少了這個(gè)環(huán)節(jié)所需要的“理性分析”.

如何糾錯(cuò)，基于上述錯(cuò)誤分析，筆者設(shè)計(jì)并完成了如下的教學(xué)嘗試.

問題1 函數(shù)y=log2x的定義域和值域是什么？

問題2 你能畫出y=log2x的圖像嗎？

問題3 通過圖像觀察當(dāng)函數(shù)y=log2x的值域?yàn)镽時(shí)，自變量x的取值有什么特征?

問題4y=log25x的值域是什么？

教學(xué)反思:課前，筆者充分了解了學(xué)生的思維過程，弄清了“學(xué)生是怎么錯(cuò)的”，并沿著學(xué)生的錯(cuò)誤思路設(shè)計(jì)了上述的“矯正問題鏈”；課上，筆者還原了學(xué)生最原本的思考問題的過程和方法，讓學(xué)生在不斷出錯(cuò)、不斷糾錯(cuò)的同時(shí)體悟到有序分析問題的重要性.

5.4 創(chuàng)設(shè)對(duì)比變式，促進(jìn)深度思考

所謂“深度思考”是指學(xué)生分析問題時(shí)能夠弄清問題所依賴的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并能準(zhǔn)確分解構(gòu)成問題的若干因素，合理建立知識(shí)與問題的深層次結(jié)構(gòu)性聯(lián)系.部分學(xué)生對(duì)常規(guī)習(xí)題能夠“應(yīng)對(duì)自如”，但稍加變化后就會(huì)“招架不住”，究其原因往往是因?yàn)閷W(xué)生思考問題時(shí)缺乏深度，致使解題不夠靈活，容易出錯(cuò).比如不少同學(xué)習(xí)慣從題目的問題入手，還沒審清題意就著急套用公式進(jìn)行解題.為了幫助學(xué)生學(xué)會(huì)深度思考，教師可根據(jù)錯(cuò)誤的特點(diǎn)，在教學(xué)過程中創(chuàng)設(shè)具有強(qiáng)烈對(duì)比意味的變式訓(xùn)練，這是因?yàn)?，由“?qiáng)烈對(duì)比”而生的“顯著差異”會(huì)促使學(xué)生深入分析錯(cuò)誤的根源.

6.結(jié)束語

綜上所述，面對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，教師應(yīng)該追本溯源，合理利用其教育價(jià)值，并提供機(jī)會(huì)讓出錯(cuò)的學(xué)生獨(dú)立思考、同伴討論或師生交流的基礎(chǔ)上自我反省并糾正錯(cuò)誤，以此幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)解題的過程中學(xué)會(huì)“自我診斷、查錯(cuò)糾錯(cuò)”的方法，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和戰(zhàn)勝困難的勇氣.