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        乘法公式與因式分解那些事

        2019-04-26 08:01:36陳曉靚
        初中生世界 2019年13期
        關(guān)鍵詞:歐幾里得數(shù)學(xué)家倍數(shù)

        ◎陳曉靚

        在如今的數(shù)學(xué)課本中,乘法公式與因式分解的表達(dá)形式是非常簡潔美觀的,這種呈現(xiàn)形式得益于數(shù)學(xué)符號(hào)的引入。而在引入數(shù)學(xué)符號(hào)之前,歷史上偉大的數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些乘法規(guī)律。下面,我們就來說說歷史上與乘法公式、因式分解相關(guān)的人與事。

        數(shù)學(xué)軼事1:不懂幾何者勿入

        這句話是刻在希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(公元前330年—公元前275年)在少年時(shí)期就讀學(xué)園的大門牌匾上的。這所學(xué)園的創(chuàng)立者是大名鼎鼎的柏拉圖(公元前427年—公元前347年)。他在大門上立這塊牌匾的目的是讓世人知道數(shù)學(xué)的重要性,更要能體會(huì)美妙的幾何世界。在柏拉圖數(shù)學(xué)思想的熏陶下,歐幾里得開始了對(duì)幾何原理的系統(tǒng)研究。他敏銳地察覺到數(shù)學(xué)公理化理論的發(fā)展趨勢(shì)。在隨后的歲月里,歐幾里得到處游學(xué),收集和研究前輩大師們的專著與理論,最終,在公元前300年完成了那部偉大的《幾何原本》。同學(xué)們可能不知道,乘法公式并不是來源于代數(shù)學(xué),準(zhǔn)確地說應(yīng)該源于幾何學(xué)。在這本注重?cái)?shù)形結(jié)合的著作中,歐幾里得給出了乘法公式的兩個(gè)例題。

        (1)兩數(shù)和的平方公式:若任意兩分一條線段,則在整條線段上的正方形的面積等于各個(gè)小段上的正方形的面積之和加上由兩小線段構(gòu)成的長方形面積的2倍。

        如圖1所示,S正方形ABCD=S正方形BHEI+S正方形EFDG+2S長方形AIEF。

        即完全平方公式:(a+b)2=a2+b2+2ab

        圖1

        (2)如果把一條線段先分成兩條相等的線段,再分成兩條不相等的線段,那么,不相等的兩條線段構(gòu)成的長方形與兩個(gè)分點(diǎn)之間的距離形成的正方形的面積和,等于原線段一半上的正方形的面積。

        如圖2所示,S正方形CEFB=S正方形LEON+S長方形AKND

        即平方差公式:a2=(a+b)(a-b)+b2,即(a+b)(a-b)=a2-b2

        圖2

        可見,偉大的數(shù)學(xué)家歐幾里得用美妙的幾何證明法呈現(xiàn)了如今的乘法公式。

        數(shù)學(xué)軼事2:英雄所見略同

        在小學(xué)里,我們?cè)?jīng)聽老師講過大數(shù)學(xué)家歐拉(公元1707年—公元1783年)小時(shí)候圍羊圈的故事,從這個(gè)故事中得知,周長相同的不同長方形,其面積是不同的,其中正方形的面積最大。你知道為什么嗎?具體來說,設(shè)正方形的邊長為a,周長為4a,面積為a2。將正方形的一邊增加b,將其鄰邊減少b(0≤b<a),得到一個(gè)周長為4a的長方形,它的長和寬分別為a+b和a-b,面積為(a+b)(a-b)。現(xiàn)在,我們只需要比較a2和(a+b)(a-b)的大小。

        無獨(dú)有偶,在公元3世紀(jì),古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖(公元246年—公元330年)在其《算術(shù)》一書中設(shè)置了以下問題:已知兩數(shù)的和為20,乘積為96,求這兩個(gè)數(shù)。丟番圖給出了這樣的解答:兩個(gè)數(shù)不能同時(shí)大于10,也不能同時(shí)小于10,必定一個(gè)大于10、一個(gè)小于10。如圖3所示,可設(shè)一個(gè)數(shù)為10+x,另一個(gè)數(shù)為10-x,得(10+x)(10-x)=96。

        在解決上述問題時(shí),兩位跨越時(shí)代的數(shù)學(xué)家不約而同地都應(yīng)用到了平方差公式,可見乘法公式在數(shù)學(xué)歷史長河中的重要地位。

        數(shù)學(xué)軼事3:萊布尼茲的錯(cuò)誤

        萊布尼茲(公元1646年—公元1716年)是德國的一位偉大數(shù)學(xué)家,他是微積分理論的創(chuàng)立者之一。他所處的那個(gè)時(shí)代,因式分解已經(jīng)非常成熟。在一次偶然的因式分解演算中,他發(fā)現(xiàn):

        若n是自然數(shù),n3-n=n(n+1)(n-1)是3的倍數(shù);

        n5-n=n(n2+1)(n2-1)=n(n+1)(n-1)(n2+1)是5的倍數(shù);

        n7-n=n(n3+1)(n3-1)=n(n+1)(n-1)(n2+n+1)(n2-n+1)是7的倍數(shù)。

        這一系列的演算結(jié)論讓萊布尼茲喜出望外,于是他迫不及待地對(duì)外宣布:對(duì)任意的正奇數(shù)k,nk-n恒是k的倍數(shù)。

        同學(xué)們,你是否懷疑這個(gè)結(jié)論的正確性?果不其然,沒過多久就有人找到了反例:29-2=512-2=510。顯然,510不是9的倍數(shù),輕而易舉地推翻了萊布尼茲的這個(gè)結(jié)論??梢?,數(shù)學(xué)是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?,?shù)學(xué)權(quán)威們有些時(shí)候也會(huì)犯科學(xué)性的錯(cuò)誤。同學(xué)們,我們都應(yīng)時(shí)刻保持質(zhì)疑的精神。

        人類的進(jìn)化史就是數(shù)學(xué)的發(fā)展史,數(shù)學(xué)推動(dòng)了歷史的前進(jìn),改變了人類思考與解決問題的方式。萬物變,唯數(shù)學(xué)永恒。

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