秦 娜,蘇金鳳

(1.西北師范大學 計算機科學與工程學院，甘肅 蘭州 730070;2.西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

數(shù)學形態(tài)學是以形態(tài)為基礎對圖像進行分析的數(shù)學工具，它的基本思想是用具有一定形態(tài)的結構元素，去度量圖像中對應的形狀，以達到對圖像分析和識別的目的[1]。SERRA J[2]、STERNBERG S R[3]等將二值形態(tài)學推廣到對灰度圖像處理，對結構單元內(nèi)像素按照灰度值排序，并尋找排序后的最大值和最小值。近年來，針對彩色圖像的形態(tài)學研究是彩色圖像處理的一個重要研究方向[4-6]，然而彩色圖像是矢量函數(shù)，不能直接比較大小。2006年，EVANS A N和LIU X U[7]采用矢量排序算法，提出了基于數(shù)學形態(tài)學梯度算子的彩色圖像邊緣檢測算子，新的算子改善了傳統(tǒng)形態(tài)學算子對噪聲較為敏感的缺陷。2013年，雷濤等人[6]對RGB顏色空間的三個分量分別按照灰度形態(tài)學方法處理，然后融合得到彩色圖像，但是這種方法沒有考慮RGB分量間的相關性，而且會引入新的彩色值從而改變原始圖像的信息。更多關于矢量順序的彩色邊緣檢測方法可參見文獻[8-10]。就矢量排序統(tǒng)計理論而言，主要問題在于算法缺乏通用的排序標準而且計算復雜性較高，從而導致基于矢量排序的彩色圖像邊緣檢測方法難以被廣泛應用。

無人機航拍影像的邊緣集中了圖像的很多信息，它的檢測對于整個圖像的識別與理解是至關重要的[11]。目前，對于無人機航拍影像檢測已有大量研究，特別是對城市道路、建筑物的檢測[12]。但是，大多數(shù)算法都集中在主要目標的檢測，對多樣化的目標整體檢測時效果甚微，缺乏完整性，不利于場景的整體識別和理解。隨著無人機航拍影像空間分辨率的提高，對其處理的要求也越來越高，迫切需要開發(fā)一種針對無人機航拍影像的邊緣檢測算法，為后續(xù)目標的提取與識別打下基礎。

針對以上問題本文提出在RGB顏色空間中采用標準化歐氏距離和夾角余弦相似度來衡量兩個彩色矢量之間的相似性程度，并結合人類視覺感知定義彩色矢量互相關性度量函數(shù)，以此函數(shù)為準則定義結構單元內(nèi)彩色像素集合的上確界和下確界，構建彩色形態(tài)學的基本算子。這種彩色形態(tài)學充分考慮了RGB顏色空間中的相互關系以及個人視覺感知存在的差異性，對彩色圖像的膨脹、腐蝕操作更加平緩，不會改變原始影像的色彩信息，有利于圖像細節(jié)特征的保持，最終達到彩色圖像分析和處理的目的。將提出的彩色形態(tài)學操作進一步應用于無人機航拍影像，通過實驗對比驗證邊緣檢測的效果，說明其實用性和有效性。

1 互相關性度量函數(shù)的彩色形態(tài)學方法

1.1 彩色矢量互相關性度量函數(shù)的定義

RGB顏色空間是大部分彩色圖像獲取與顯示設備最常采用的三維矢量模型，一幅n×n大小的彩色圖像可以用矢量集合表示：

X={x(i,j,k)|i=1，…，n,j=1，…，n,k=R，G，B}

其中，R、G、B分別表示其中某一彩色矢量的紅、綠、藍分量。

在RGB顏色空間中，給定一對彩色矢量x,x∈X，則其互相關性度量函數(shù)定義為：

μ(x,x′)=λ×δds(x,x′)+(1-λ)×cos(θ(x,x′))

(1)

其中，λ和δ∈[0,1]是互相關性度量函數(shù)的兩個調(diào)節(jié)參數(shù)，ds(x,x′)是兩個彩色矢量的標準化歐氏距離，θ(x,x′)是兩個彩色矢量的夾角，其分別定義為：

(2)

(3)

由公式(2)計算的標準化歐氏距離主要用來衡量矢量間絕對距離的差異，這是一個數(shù)學期望值為0，方差值為1的結果，因為彩色矢量的RGB三分量對色彩值的貢獻程度是不同的，即：數(shù)據(jù)各個維度分量的分布不同。如果直接計算矢量歐氏距離，對彩色矢量間距的衡量將不夠準確，所以要先將各分量都標準化到均值、方差相等。公式(2)中SR、SG、SB分別表示R、G、B三分量的標準差，其定義如下：

(4)

(5)

公式(4)中的Mk表示彩色圖像R、G、B三分量的平均值。因為彩色矢量既有大小又有方向，公式(3)計算的是彩色矢量夾角余弦相似度，用來衡量兩個彩色矢量方向上的差異。

由(1)式可以看出，定義的彩色矢量互相關性度量函數(shù)的取值范圍在0與1之間，其表示的含義是，當兩個彩色矢量的距離和夾角越接近時，其相似性越大，對應的度量函數(shù)值越接近1；反之，當兩個彩色矢量的距離和夾角越大，其相似性越低，對應度量函數(shù)值越接近0；當兩個彩色矢量完全相同時，其距離值與夾角都為0，對應度量函數(shù)值等于1，這代表最大的相似性程度。以上定義充分考慮了RGB顏色空間中彩色矢量的相互關系，與生活中彩色影像的采集與顯示硬件設備完全吻合。除此之外，人眼視覺系統(tǒng)對色彩的感知由于個體生理、心理和社會認知等方面的巨大差異而存在不同，因此在彩色矢量互相關性度量函數(shù)的定義中引入?yún)?shù)λ和δ，這兩個參數(shù)的取值都在0與1之間，通過對參數(shù)調(diào)節(jié)，可以使彩色矢量互相關性度量函數(shù)值更加符合人眼視覺感知的不確定性。這是構建彩色形態(tài)學的基本理論基礎。

1.2 基于互相關性度量函數(shù)的彩色形態(tài)學基本算子

由于現(xiàn)有彩色矢量排序方法缺乏明確、統(tǒng)一的標準，通用性較差，將灰度形態(tài)學推廣到彩色形態(tài)學存在很多困難[13-15]。彩色形態(tài)學處理的根本是尋求矢量元素的最小值及最大值，只要建立合適的完備格空間，就可以定義彩色形態(tài)學算子[16]。為了避免彩色矢量排序的難題，本文在上述定義的基礎上提出一種新的彩色形態(tài)學方法，以彩色矢量互相關性度量函數(shù)為準則定義結構元素內(nèi)彩色矢量集合的上確界和下確界，并構建彩色形態(tài)學的基本算子。

給定一幅n×n大小的彩色圖像，其中所有彩色矢量構成集合：

X={x(i,j,k)|i=1，…，n,j=1，…，n,k=R，G，B}

設結構元素為大小的彩色矢量集合：

Y={y(i,j,k)|i=1，…，n,j=1，…，n,k=R，G，B}

其中，Y是X的非空真子集。

在結構元素集合Y中，根據(jù)公式(1)計算每個彩色矢量y(i,j,k)與Y中所有矢量的互相關性度量函數(shù)值，計算的結果得到一個(m×m)2大小的矩陣A，該矩陣主對角線上的元素全部為1，其他元素按照主對角線對稱。當結構元素集合Y的參數(shù)取值m=5，互相關性度量函數(shù)的調(diào)節(jié)參數(shù)取值λ=0.5,δ=0.5時，計算出矩陣A，其互相關性度量函數(shù)的變化情況如圖1所示。

圖1 λ=0.5，δ=0.5時，互相關性度量函數(shù)變化情況

根據(jù)公式(1)分析可知，矩陣A的元素取值在0與1之間?，F(xiàn)計算矩陣A中元素的最小值，得到Y中最不相似的兩個彩色矢量，即：找到結構元素Y中求得互相關性度量函數(shù)最小值所對應的一對彩色矢量，將其分別記為y1和y2。

μ(y1,y2)=min(min(A))

以此為依據(jù)，定義結構元素集合Y的上確界∨和下確界∧如下：

(6)

(7)

由公式(6)和(7)可以看出，∨Y和∧Y操作輸出的彩色矢量分別是結構元素內(nèi)最不相似的一對矢量y1和y2，其中模值較大的彩色矢量定義為上確界操作，模值較小的矢量定義為下確界操作。這樣的輸出結果計算方法簡單，運算效率高，并且不會產(chǎn)生新的顏色矢量，有效保存了集合X的原始信息。本文提出的彩色形態(tài)學方法就是以上述∨Y和∧Y操作為基本準則，定義膨脹算子、腐蝕算子、開運算和閉運算等基本形態(tài)學操作。

用結構元素Y對輸入彩色圖像X進行膨脹記為X⊕Y，其定義為：

X⊕Y(s,t,k)=∨{X(s-x,t-y,k)+Y(x,y,k)|((s-x),(t-y),k)∈DX,(x,y,k)∈DY,k=R,G,B}

(8)

式中，DX和DY分別是X和Y的定義域，k代表彩色矢量的R、G、B三分量。

用結構元素Y對輸入彩色圖像X進行腐蝕記為X?Y，其定義為：

X?Y(s,t,k)=∧{X(s+x,t+y,k)+Y(x,y,k)|((s+x),(t+y),k)∈DX,(x,y,k)∈DY,k=R,G,B}

(9)

彩色形態(tài)學中關于開啟和閉合的表達與它們在二值數(shù)學形態(tài)學中的對應運算是一致的[1]。

用結構元素Y開啟彩色圖像X的操作記為X°Y，其定義為：

X°Y=(X?Y)⊕Y

(10)

用Y閉合X記為X·Y，其定義為：

X·Y=(X⊕Y)?Y

(11)

1.3 互相關性度量函數(shù)的參數(shù)分析

圖時對互相關性度量函數(shù)的影響

為了研究單個參數(shù)對互相關性度量函數(shù)的影響，令公式(1)中δ=0.5，當λ分別為0、0.1、0.3、0.7時，μ值的變化情況如圖3所示。圖3(a)中由于λ=0，μ值僅與夾角θ有關而與標準化距離ds無關，當夾角θ為0時互相關性度量函數(shù)取得最大值1，μ值隨著彩色矢量夾角θ的增大逐漸減小。如圖3(b)～圖3(d)所示，當λ取值逐漸增大時μ值迅速減小，說明互相關性度量函數(shù)對參數(shù)λ的變化比較敏感；還可以看出，隨著λ增大圖中突起部分的變化更加劇烈，這是由于參數(shù)λ可以用于調(diào)節(jié)矢量間距離與夾角的權重，其重要性越大則互相關性度量函數(shù)值越大。

圖3 δ=0.5，λ分別為0、0.1、0.3、0.7時互相關性度量函數(shù)

同理，為了說明參數(shù)δ對互相關性度量函數(shù)的影響，根據(jù)公式(1)假設λ=0.5,ds=1，當參數(shù)δ在開區(qū)間(0,1)中變化，并結合兩個彩色矢量夾角θ改變時，互相關性度量函數(shù)值μ的變化情況如圖4所示。從圖中可以看出，μ值隨著參數(shù)δ增大而逐漸增大，隨著夾角θ增大而逐漸減小。說明可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)δ的取值改變度量函數(shù)的結果，這符合彩色矢量相似性判斷因人而異的特點，使互相關性度量函數(shù)更加符合人眼視覺感知的不確定性。

圖4 λ=0.5,ds=1互相關性度量函數(shù)變化情況

2 彩色形態(tài)學操作實驗

為了驗證本文提出的彩色形態(tài)學方法，選擇一幅無人機拍攝的高空遙感影像如圖5(a)所示，該彩色圖像尺度大小為200×200×3，圖像中包括紅色的車輛、綠色的草地以及藍色的房頂?shù)蓉S富的彩色信息，也包括房頂邊緣、草坪與樹木的紋理等細節(jié)信息。

圖5 彩色形態(tài)學實驗

2.1 彩色形態(tài)學基本操作實驗結果與分析

現(xiàn)將本文提出的彩色形態(tài)學操作應用于該圖像，其中結構元素尺度大小為3×3，調(diào)節(jié)參數(shù)取值λ=0.5,δ=0.5。實驗結果如圖5(b)～5(e)所示。

膨脹算子具有放大功能，由圖5(b)可以看出草坪的白色邊界變粗，而高樓左側(cè)的樹蔭形狀變小，說明圖像中比背景亮的部分得到擴張，而比背景暗的部分得到收縮。反之，腐蝕算子具有收縮功能，由圖5(c)可以看出草坪的白色邊界變細，而圖像中比背景暗的部分面積擴大了，圖像中的小細節(jié)被去除，同時目標顏色及邊緣變得更加平滑。如圖5(d)所示，開運算消除了比結構元素尺寸小的亮細節(jié)，而保持圖像色彩和亮度基本不受影響。這是因為開運算首先用腐蝕算子去除了小的亮細節(jié)，同時使圖像亮度減弱，接著用膨脹算子增加并恢復圖像亮度，但不會重新引入前面去除的細節(jié)。閉運算與開運算的結果相反，如圖5(e)所示，閉運算在消除圖像中較小暗細節(jié)的同時保持圖像色彩和暗區(qū)域基本不受影響。因此，開運算和閉運算都可以抑制比結構元素小的特定圖像細節(jié)，同時保證不產(chǎn)生全局的幾何失真。

2.2 彩色形態(tài)學對比實驗與分析

為了將本文提出的彩色形態(tài)學操作與現(xiàn)有算法進行對比，仍然以圖5(a)作為實驗圖像，結構元素取3×3大小。對RGB顏色空間的三個分量分別按照灰度形態(tài)學處理后融合為彩色圖像的方法，稱為M序算法；基于多元數(shù)據(jù)排序準則的彩色形態(tài)學，稱為C序算法。為了說明形態(tài)學算子的處理過程，選擇圖5(a)中某一3×3×3大小的矢量集合進行實驗，其三分量取值如表1所示。

表1 R、G、B分量取值

該矢量集合的中心像素為(158,255,117)，分別采用M序算法、C序算法和本文算法計算膨脹算子和腐蝕算子，計算結果如表2所示。

表2 不同算法膨脹算子和腐蝕算子計算結果

可以看出M序算法沒有考慮三個通道之間的相關性，得到的最小值及最大值在原矢量集合中并不存在，新色彩的引入破壞了原始彩色圖像的拓撲結構。而C序算法中三個分量比較次序是人為規(guī)定的，實驗中分別以R、G、B為主導分量進行排序，計算結果相差很大，尤其在本例中，R分量主導排序的最小矢量值與B分量主導排序的最大矢量值結果相同，因此算子性能較差。而本文算法基于彩色矢量互相關性度量函數(shù)定義算子，采用標準化歐氏距離和夾角余弦相似度作為明確的標準，同時結合人眼視覺感知引入控制參數(shù)，通過參數(shù)分析可以得到高性能彩色形態(tài)學算子，并適用于無人機航拍影像的建筑物檢測。

通過以上實驗分析表明，本文提出的彩色形態(tài)學操作符合數(shù)學形態(tài)學的基本原理，對彩色圖像膨脹和腐蝕操作更加平緩，有利于圖像細節(jié)特征的保持，并且不會引入新的彩色矢量而改變原始圖像的色彩信息。本文提出的彩色形態(tài)學方法可以應用于背景估計和消除、邊緣的形態(tài)檢測、圖像快速分割、紋理分割等方面，最終達到有效分析處理彩色圖像的目的。

3 基于彩色形態(tài)學的無人機航拍影像邊緣檢測算法

一般邊緣檢測算法得到的都是邊緣點，這僅僅反映圖像的局部信息，為了實現(xiàn)無人機航拍影像顯著特征的提取與識別，首要任務是獲得完備的邊緣信息。

3.1 彩色形態(tài)學邊緣檢測算子

許多常用的邊緣檢測算子，其檢測原理是通過計算圖像的局部微分得到灰度劇烈變化的像素點，但這些算子對噪聲較敏感并且會增強噪聲。圖像的形態(tài)學梯度是局部邊緣重要性的一個測度，基于形態(tài)學的邊緣檢測方法雖然也對噪聲敏感但是不會加強或者放大噪聲，而且彩色形態(tài)學邊緣檢測算子操作的結果仍然是RGB空間的彩色圖像。因此，首先采用本文提出的彩色形態(tài)學方法對無人機航拍影像進行處理，計算圖像的彩色形態(tài)學梯度得到邊緣特征。依據(jù)本文公式(8)與公式(9)，設X與Y分別代表彩色圖像和結構元素，基本的彩色形態(tài)學梯度定義如下：

grad1=(X⊕Y)-(X?Y)

(12)

X⊕Y將原始彩色圖像中的亮區(qū)域擴展一個像素的寬度，而X?Y又將該亮區(qū)域收縮一個像素的寬度，所以grad1計算的邊界寬度為兩個像素。如果想要獲得單像素邊界，可用如下公式定義形態(tài)學梯度：

grad2=(X⊕Y)-X

(13)

grad3=X-(X?Y)

(14)

公式(13)和(14)的區(qū)別是公式(13)計算的單像素邊緣實際上是在圖像背景中，而公式(14)計算得到的單像素邊緣會屬于目標。

上述形態(tài)學梯度的定義方法都不會放大圖像中的噪聲，但是仍然保留了原來的噪聲。為了減少隨機噪聲對建筑物提取的影響，本文采用如公式(15)的方式定義形態(tài)學梯度，使其對圖像中的孤立噪聲不敏感，適用于無人機高分辨率影像的邊緣檢測。

grad4=min{[(X⊕Y)-X],[X-(X?Y)]}

(15)

3.2 實驗結果與分析

為了驗證本文提出的彩色形態(tài)學梯度算子，仿真實驗選用圖6的無人機航拍影像作為實驗圖像。

圖6 無人機航拍影像

為了說明本文算法的優(yōu)越性，利用不同的方法對無人機航拍影像進行邊緣檢測，結果如圖7所示。圖7(a)～圖7(c)是采用經(jīng)典邊緣算子。圖7(d)～7(f)是利用本文算法的公式(13)～公式(15)定義的彩色形態(tài)學方法得到的檢測結果。

圖7 不同方法對無人機航拍影像的邊緣檢測結果對比

從實驗結果來看，本文提出的彩色形態(tài)學方法能檢測到更多的圖像細節(jié)，效果最好。邊緣函數(shù)的檢測算法中Roberts算子明顯只能檢測到很少的邊緣；Prewitt算子雖然能檢測到圖像邊緣，但是對細節(jié)邊緣存在漏檢；Sobel算子得到的圖像有更多的圖像邊緣，但是明顯有較多的偽邊緣信息。利用彩色形態(tài)學方法的公式(13)得到的圖像有完整連接的邊緣信息，更加凸顯很多邊緣細節(jié)；利用公式(14)所得的圖像清楚地表示了建筑物的輪廓信息，易于觀察和辨識；利用公式(15)所得的圖像雖然亮度變暗，但是有完整的建筑物邊緣信息。因此，本文方法能夠完整檢測到連接的建筑物邊緣信息，有助于建筑物的進一步提取。

為了說明本文提出算法的有效性和實用性，利用圖5(a)加入?yún)?shù)為0.01的椒鹽噪聲得到圖8(a)的噪聲原圖，再通過經(jīng)典邊緣算子檢測，進行對比實驗，得到圖8(b)～圖8(d)，圖8(e)是利用公式(15)得到的邊緣檢測結果。

不難發(fā)現(xiàn)，公式(15)的效果明顯優(yōu)于經(jīng)典邊緣算子的檢測結果。觀察圖8(b)～圖8(e)，比較各種方法的結果，由圖8(b)～圖8(d)可知，經(jīng)典邊緣算子產(chǎn)生的邊緣不清晰，邊緣定位模糊，特別是對含有復雜結構的建筑物(如圖8(b)左側(cè)建筑物、圖8(c)右側(cè)建筑物、圖8(c)左右兩側(cè)建筑物)會產(chǎn)生較明顯的污染，并且有細節(jié)丟失；而采用公式(15)的圖8(e)雖然亮度較暗，但是能清楚地看到建筑物的邊緣，說明邊緣定位準確，且保留更豐富的細節(jié)(如左右兩側(cè)建筑物)，在低對比度的非邊緣處基本沒有污染現(xiàn)象，更好地有助于建筑物的提取和識別。

4 結束語

本文基于彩色矢量互相關性度量函數(shù)的定義提出彩色形態(tài)學方法。為了避免矢量排序的難題，本文在給定結構元素的作用下以該函數(shù)為準則定義矢量集合的上確界和下確界，實驗驗證該算子效果良好。進一步將該算子應用于無人機航拍影像邊緣檢測，通過參數(shù)調(diào)節(jié)能夠應對不同需求的提取工作，同時也證明了本文彩色形態(tài)學方法的實用性和有效性。如何將該方法推廣到視頻處理和醫(yī)學圖像檢測中是我們今后的研究方向。