王 磊，梁 燕，蘭海翔

(重慶郵電大學 移動通信技術重慶市重點實驗室，重慶 400065)

0 引 言

正交頻分復用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)作為4G的核心技術，其巧妙地利用了子載波頻譜的周期性零點，使各子載波在頻域相互重疊而不相互干擾，從而使其具有很高的頻譜利用率，這一點在頻譜資源日趨緊張的當下，顯得很有吸引力[1]。然而，OFDM技術也存在很多缺點，比如，時頻定位要求很高，大量頻譜資源消耗在解決時頻同步問題上；對多普勒頻偏非常敏感，高速移動終端的通信質量無法得到保障；調制方式缺乏靈活性，難以滿足5G多樣化的業(yè)務需求[2]。針對OFDM技術的缺點，很多新型濾波器組多載波調制方案陸續(xù)被提出來，諸如，濾波多音調制(filtered multi-tone, FMT)、基于濾波器組多載波的偏移正交幅度調制(filter bank based multicarrier offset quadrature amplitude modulation, FBMC-oQAM)、濾波正交頻分復用(filtered-OFDM, F-OFDM)、通用濾波器組多載波(universal bank multicarrier, UFMC)、廣義頻分復用(generalized frequency division multiplexing, GFDM)等[3]。新型濾波器組多載波調制方案大多是利用濾波器組的濾波作用來實現(xiàn)子載波頻譜約束性的提高，從而解決OFDM技術存在的對頻率偏移敏感等問題[4-6]。濾波器組的濾波性能主要由原型濾波器決定，因而如何在諸多限制條件下設計出令人滿意的原型濾波器是解決問題的關鍵。

用于多載波調制系統(tǒng)的數(shù)字濾波器一般為有限脈沖響應(finite impulse response,FIR)濾波器， FIR濾波器的設計方法有很多，比較經(jīng)典的有窗函數(shù)法、升余弦(rise cosine,RC)法、等波紋法、頻率采樣法等[7-8]。窗函數(shù)法通過對理想低通濾波器的無限長時域脈沖響應乘以一個窗函數(shù)，進行軟截斷，從而得到一個物理可實現(xiàn)的濾波器。但是，這種軟截斷的做法會帶來吉布斯(Gibbs)效應，即濾波器過渡帶的加寬以及通帶和阻帶內的波動；而且通過加窗軟截斷來獲得濾波器系數(shù)的做法，局限性很大，濾波器的系數(shù)可能的取值有限且無法單獨改變。RC滾降法是對理想低通濾波器的頻譜做升余弦滾降，從而得到一個可物理實現(xiàn)的濾波器，同時也帶來了時域拖尾幅度的降低，減輕了多載波符號間干擾(inter symbol interference, ISI)，但是卻導致了濾波器主瓣的展寬，降低了多載波系統(tǒng)的頻譜利用率，加重了載波間干擾(inter carrier interference, ICI)[9]。RC滾降法同樣無法單獨改變?yōu)V波器的系數(shù)，而是被滾降因子整體性地改變，缺乏靈活性。

為了解決傳統(tǒng)濾波器設計方法的不足，新型濾波器優(yōu)化設計算法陸續(xù)被提出，許多啟發(fā)式優(yōu)化算法，如遺傳算法、模擬退火算法等，已經(jīng)被應用于數(shù)字濾波器的設計中[10]。2003年N.E. Mastorakis等[11]提出用遺傳算法解決數(shù)字濾波器優(yōu)化設計問題，雖然遺傳算法在尋找搜索空間中極小值可能存在的區(qū)域方面具有良好的性能，但在解決方案質量以及確定局部最小值方面效率并不高。B. Luitel和 G.K. Venayagamoorthy[12]提出進化粒子群優(yōu)化算法(evolution particleswarm optimization，EPSO)，EPSO算法易于實現(xiàn)，其收斂可以通過少量參數(shù)進行控制，但是EPSO算法的局限性在于它可能受到過早收斂和停滯問題的影響。介紹了一種基于貪心策略的啟發(fā)式算法—雕塑算法，這種算法的靈感來自于雕刻的過程，本算法將約束條件轉化為多維空間的一個子空間，通過尋找此子空間中能使目標函數(shù)獲得最大或最小值的向量，來達到解決問題的目的。

1 多載波原型濾波器優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型

評價多載波原型濾波器的性能，主要有以下4個評價參數(shù)[13]:①阻帶衰減幅度。阻帶衰減幅度越大，帶外能量泄露越少，當前子載波對其他子載波的干擾(ICI)也就越少，載波間干擾的降低會帶來系統(tǒng)誤碼率性能的顯著提高；②通帶波動程度。原型濾波器通帶幅度的波動會引起信號的幅度失真，從而給接收端準確地恢復出發(fā)送端的數(shù)據(jù)造成困難；③過渡帶寬度。過渡帶越窄，每一個子載波占用的頻帶資源越少，在帶寬受限的情況下就可以容納更多的子載波，從而提高系統(tǒng)的頻譜利用率；④時域拖尾衰減速率。原型濾波器時域拖尾衰減越快，符號之間重疊部分的功率就會越低，符號間干擾(ISI)就會越少，接收端就能更準確地解調出發(fā)送的數(shù)據(jù)。因此，以多載波原型濾波器的這4個參數(shù)的加權和為優(yōu)化目標函數(shù)，可以準確而全面地反映原型濾波器的整體性能。

圖2為濾波器幅頻特性示意圖，圖2中顯示了[0,π]的頻率成分，整個幅頻特性曲線被分割為3部分，即：Ⅰ通帶、Ⅱ過渡帶和Ⅲ阻帶。其中，通帶截至頻率為kp，阻帶截至頻率為ks。

設濾波器的時域響應為h(n)，通過DFT變換，可以得到其頻率響應H(k)為

(1)

(1)式中：n為濾波器時域響應序號；k為頻率響應序號；N為濾波器階數(shù)。

圖1 濾波器幅頻特性示意圖Fig.1 Filter amplitude-frequency characteristics

濾波器阻帶衰減幅度用阻帶平均功率Pstop來衡量，Pstop可表示為

(2)

(2)式中，ks表示濾波器阻帶截止頻率。

通帶波動程度用通帶標準差Spass來衡量，Spass可以表示為

0≤m,l≤kp-1

(3)

(3)式中，kp表示濾波器的通帶截止頻率。

過渡帶寬度的影響用過渡帶加權平均功率Ptranss來衡量，Ptranss可表示為

(4)

(4)式中，w(i)為權重函數(shù)。

時域拖尾衰減速率用加權平均衰減加速度atail來衡量，atail可表示為

0≤l≤Ntail-1

(5)

vtail(m)=‖h(m+1)-h(m)‖,

0≤m≤Ntail-1

(6)

(5)式中，vtail為衰減速度向量；w(l)為權重函數(shù)；Ntail為時域第一零點對應的序號。

所以，總優(yōu)化目標函數(shù)φ可以表示為

φ=α·Pstop+β·Spass+χ·Ptranss+δ·atail

(7)

(7)式中，α，β，χ，δ為各評價參數(shù)的權重系數(shù)，這4個權重系數(shù)的和約束于1。

綜上所述，多載波原型濾波器的優(yōu)化設計問題可以歸結為：求得使目標函數(shù)φ取得最小值時對應的h(n)向量。

2 雕塑算法簡介

2.1 雕塑算法核心思想

一尊美麗的雕塑作品最初只是一塊普通的大理石，隨著刻刀一點點地雕刻，其輪廓慢慢地清晰起來，這個雕刻的過程實際上也是一個優(yōu)化的過程。如果將最初的這塊大理石看作一個多維空間的子空間，大理石外輪廓上的每一個點看作一個向量的每一個元素，那么一尊完美的雕塑作品就等價于這個向量的每一個元素取值達到符合審美標準的一種最佳組合[14]。

當?shù)袼芩囆g家開始雕刻之前，首先要在大腦中有一個基本的構圖，這個構圖是一個模糊的形象，每次雕刻都在逼近這個模糊的形象，每一次雕刻后，雕塑藝術家重新對得到的模糊形象進行再構圖，產(chǎn)生一個比之前更清晰的形象，然后揮動刻刀去逼近這個形象，如此反復，作品的形象逐漸清晰起來，最終得到一尊完美的雕塑作品。藝術家最初的構圖可以看作待優(yōu)化向量的初始值，刻刀每揮動一下可以看作對初始向量的其中一個元素進行優(yōu)化，每一次重新構圖可以看作從全局角度重置優(yōu)化目標函數(shù)的基準值，以達到每次優(yōu)化后的目標函數(shù)基準值都比前一次更加理想，這也是貪心策略的核心要求[15]。

2.2 雕塑算法步驟及流程圖

雕塑算法的具體步驟整理如下。

①將實際問題抽象為數(shù)學問題，建立優(yōu)化目標函數(shù)φ。

②根據(jù)約束條件，劃定待優(yōu)化向量的可能子空間p。

③設置初始值Oorig，并求出優(yōu)化目標函數(shù)的基準值Torig。

④根據(jù)梯度值確定待優(yōu)化向量的具體變量元素Ok。

⑤求出可能子空間Vp中此變量下優(yōu)化目標函數(shù)的最優(yōu)值Tk。如果本次迭代產(chǎn)生的最優(yōu)值比優(yōu)化目標函數(shù)的基準值Tk-1更優(yōu)，以本次迭代產(chǎn)生的最優(yōu)值作為下次迭代的優(yōu)化目標函數(shù)的基準值Tk，并將取得最優(yōu)值時對應的變量Ok取值替代原變量取值Ok-1，同時算法終止變量C置0。如果本次迭代產(chǎn)生的最優(yōu)值比優(yōu)化目標函數(shù)的基準值Torig更劣或相等，按偏導數(shù)值大小原則執(zhí)行對下一個變量的優(yōu)化，同時保持優(yōu)化目標函數(shù)的基準值Torig和此變量值Ok不變，算法終止變量C加1。

⑥重復④,⑤的操作，直到算法終止變量C等于變量的個數(shù)N時判定算法終止，同時得到優(yōu)化目標函數(shù)的最優(yōu)值和求得最優(yōu)值時對應的最優(yōu)向量。

雕塑算法的簡易流程圖如圖2所示。

圖2 雕塑算法的流程圖Fig.2 Flowchart of the sculpture algorithm

雕塑算法可用于解決各種非線性優(yōu)化問題，在優(yōu)化目標函數(shù)為非凸函數(shù)、約束條件要求苛刻和優(yōu)化變量過多的情形下，相比于其他啟發(fā)式算法，雕塑算法具有顯著的優(yōu)勢。越嚴苛的約束條件對應的優(yōu)化變量可能子空間越小，從而使迭代次數(shù)減少，算法收斂速度更快。合理地選取初始值，有利于算法更快地求得最優(yōu)解。

3 雕塑算法解決多載波原型濾波器優(yōu)化設計問題

為了使多載波系統(tǒng)在接收端完全恢復發(fā)送端的信號，不存在相位失真，要求原型濾波器具有線性相位。本文考慮設計具有第一類線性相位的FIR濾波器，第一類線性相位FIR濾波器要求其系數(shù)滿足偶對稱的特性，即h(n)=h(N-n)，其中，N為濾波器階數(shù)。因此，濾波器優(yōu)化設計問題可以用公式(8)表示。

s.t.h(n)=h(N-n),0≤n≤N

(8)

(8)式中，N為濾波器階數(shù)。

實用的多載波系統(tǒng)中原型濾波器都具有時域拖尾逐漸衰減至0的特性，根據(jù)這一特性，通過合理地增加約束條件，排除那些不滿足要求的取值，從而使搜索空間V更小，有利于算法更快地尋找到最優(yōu)的解向量。在本文中，用一個偶對稱的四邊形包絡來限定濾波器系數(shù)的取值，從而在不影響濾波器系數(shù)最優(yōu)解取值的前提下，縮小變量取值的搜索范圍，減少算法迭代次數(shù)。因此，濾波器的優(yōu)化設計問題可以更加準確地表示為

s.t.h(n)=h(N-n)

h(n)∈V,0≤n≤N

(9)

(9)式中，V為偶對稱四邊形包絡限定的濾波器系數(shù)取值范圍，如圖3中的四邊形所示。

圖3 偶對稱四邊形包絡Fig.3 Even symmetrical quadrilateral envelope

根據(jù)前面介紹的雕塑算法的一般步驟結合濾波器優(yōu)化設計的具體問題，用雕塑算法解決濾波器優(yōu)化設計問題的過程如下：首先，將實際問題抽象為數(shù)學模型，建立優(yōu)化目標函數(shù)φ，確定解向量的可能取值空間Vp，這些工作前面已經(jīng)完成；然后，指定解向量的初始值Oorig，根據(jù)初始值求出目標函數(shù)的基準值Torig，作為第一次迭代結果的參照標準，本文選擇由傳統(tǒng)的窗函數(shù)法生成的濾波器作為解向量的初始值。在每一次迭代過程中，求出優(yōu)化目標函數(shù)在解向量初始值所在位置的梯度值

(10)

(10)式中：N為濾波器的階數(shù)；Oi為Oorig的第i個元素。

偏導數(shù)絕對值越大，說明此變量對目標函數(shù)的影響越大，本算法中取偏導數(shù)絕對值最大的變量作為待優(yōu)化變量Ok，即

Ok∈Oorig

(11)

其他變量用解向量的初始值代替，即為常數(shù)。在待優(yōu)化變量的約束條件范圍內求出目標函數(shù)的最小值φmin，如果φmin小于目標函數(shù)的基準值Tk-1，以此最小值φmin更新目標函數(shù)的基準值稱為Tk，以此極小值對應的變量取值更新解向量的初始值；否則，目標函數(shù)的基準值Tk-1和解向量Oorig不變，根據(jù)偏導數(shù)大小執(zhí)行對下一個變量的優(yōu)化。

在整個算法執(zhí)行過程中，始終遵循著貪心策略的原則：每次更新的目標函數(shù)基準值Tk都比上次優(yōu)化得到的值Tk-1更小。即

T1>T1>…>Tk-1>Tk…

(12)

許多啟發(fā)式算法，例如：模擬退火算法、遺傳算法、蟻群算法等都存在一個問題，即無法保證得到的結果是全局最優(yōu)解。在本文的算法中設置了一個算法終止控制變量C，當本次優(yōu)化得到的變量值等于上次的優(yōu)化值時，判定此變量與上一個變量已經(jīng)聯(lián)合優(yōu)化得到局部最優(yōu)解，此時令C加1。但是隨著其他變量數(shù)值的改變，此局部最優(yōu)解可能會改變，所以當本次得到的優(yōu)化變量值不等于上次的優(yōu)化值時，說明還存在可以優(yōu)化的變量，前面得到的局部最優(yōu)解并不是全局最優(yōu)解，此時將算法終止控制變量C置零，優(yōu)化過程繼續(xù)。當連續(xù)N個變量的優(yōu)化取值都等于上次的優(yōu)化值時，這時C=N，此時改變任何變量都無法使優(yōu)化目標函數(shù)獲得更小的值，那么可以斷定全部N個變量已經(jīng)聯(lián)合優(yōu)化到最優(yōu)值，此時得到的局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解，不存在還可以優(yōu)化的變量，算法終止。

4 仿真及結果分析

將給出一個用上述算法優(yōu)化一個由傳統(tǒng)的窗函數(shù)法生成的濾波器的實例。為了評價所提算法的性能，以2014年Roland Baudin等提出的一種基于模擬退火算法的濾波器優(yōu)化設計算法[16]作為參照對象。在雕塑算法濾波器優(yōu)化設計中，濾波器的設計規(guī)格參數(shù)如表1所示。其中，α，β，χ，δ各評價參數(shù)的權重系數(shù)是作者在多次仿真實踐中得到的使系統(tǒng)性能最好的一組參數(shù)組合。

表1 濾波器設計規(guī)格參數(shù)

圖4是不同方法設計的濾波器的頻率響應，包括由窗函數(shù)法、模擬退火算法和雕塑算法設計的濾波器的頻率響應。其中，窗函數(shù)法設計的濾波器也作為模擬退火算法和雕塑算法的待優(yōu)化濾波器初始值。由圖4可知，窗函數(shù)法設計的濾波器第一旁瓣的峰值為-61.3 dB，而模擬退火算法和雕塑算法設計的濾波器第一旁瓣的峰值分別為-75.2 dB和-76.4 dB，模擬退火算法和雕塑算法都可以使濾波器的阻帶衰減幅度明顯增加。值得注意的是，與模擬退火算法相比，雕塑算法得到的濾波器具有更窄的過度帶和更大的阻帶衰減幅度，這是因為雕塑算法可以保證算法得到全局最優(yōu)解，而模擬退火算法無法保證這一點。

圖4 濾波器的頻率響應Fig.4 Frequency response of the filters

圖5是不同方法設計的濾波器的脈沖響應，其中，三角mark，星mark和圓圈mark分別代表由窗函數(shù)法、模擬退火算法和雕塑算法設計的濾波器的脈沖響應。從圖5中可以明顯看出，雕塑算法的拖尾衰減速率比其他2條曲線的要快，而模擬退火算法的拖尾衰減速率最慢。這是因為模擬退火算法是以理想低通濾波器為參照物，以最大限度逼近理想低通濾波器為優(yōu)化目標，而理想低通濾波器脈沖響應的拖尾衰減速率很慢。

圖5 濾波器的脈沖響應Fig.5 Impulse response of the filters

FMT作為一種濾波器組多載波方案，其技術的特點是：各子載波之間的頻譜不重疊，使各子載波獲得良好的抗ICI的性能[17]。下面以前面得到的3種濾波器作為FMT系統(tǒng)的原型濾波器，以評估這3種濾波器在實際應用中的性能表現(xiàn)，評價指標為系統(tǒng)誤碼率。FMT系統(tǒng)參數(shù)配置如表2所示。

表2 FMT系統(tǒng)參數(shù)配置

圖6為3種濾波器對應的誤碼率，其中，幅度從高到低的曲線分別代表由窗函數(shù)法、模擬退火算法和雕塑算法設計的濾波器對應的系統(tǒng)誤碼率。從圖6中可以明顯看出，在不同信噪比下，用雕塑算法設計的濾波器表現(xiàn)出了優(yōu)良的系統(tǒng)誤碼率性能，充分證明了其設計思想的正確性以及雕塑算法在濾波器優(yōu)化設計中的優(yōu)越性。用窗函數(shù)法和模擬退火算法設計的濾波器在低信噪比條件下兩者區(qū)別不大，在高信噪比條件下，模擬退火算法設計的濾波器系統(tǒng)誤碼性能要優(yōu)于窗函數(shù)法設計的濾波器，這是因為在信噪比較低時，濾波器阻帶衰減幅度大，對誤碼性能的貢獻被高強度的信道噪聲所淹沒，而在高信噪比條件下這種優(yōu)點才漸漸體現(xiàn)出來。

圖6 系統(tǒng)誤碼率Fig.6 System error rate

5 總 結

介紹了一種用于解決優(yōu)化問題的啟發(fā)式算法—雕塑算法，其靈感來自于雕塑作品的創(chuàng)作過程，此算法是基于貪心策略，通過迭代來逐步優(yōu)化，最終得到多變量的聯(lián)合最優(yōu)解。緊接著，分析了多載波系統(tǒng)原型濾波器優(yōu)化設計問題，建立模型并用公式表達出優(yōu)化目標函數(shù)。然后，將雕塑算法用于解決多載波系統(tǒng)原型濾波器優(yōu)化設計問題，并與窗函數(shù)法和模擬退火算法做了對比。最后，將3種算法設計的濾波器應用于FMT系統(tǒng)，以系統(tǒng)誤碼率為評價標準，對比它們在實際系統(tǒng)中的性能。仿真結果證明，相比其他2種算法，用雕塑算法設計的原型濾波器表現(xiàn)出了優(yōu)異的誤碼率性能。