曹富林 史旭飛 許立忠

燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，066004

0 引言

微加工技術(shù)的發(fā)展(如光刻、電鑄和注塑(LIGA)等三維微加工技術(shù)逐漸成熟)促進(jìn)了基于微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)技術(shù)的微型電機(jī)、微型渦輪等微型旋轉(zhuǎn)機(jī)械的發(fā)展，為微結(jié)構(gòu)中各種能量之間的轉(zhuǎn)換、微動(dòng)力輸出以及大幅度位移運(yùn)動(dòng)的實(shí)現(xiàn)提供了可能。1988年，F(xiàn)AN等[1]利用微加工技術(shù)研制出了直徑僅100 μm左右的硅微機(jī)械馬達(dá)(以靜電力作為驅(qū)動(dòng)力)，該馬達(dá)的問(wèn)世標(biāo)志著微機(jī)電時(shí)代的開(kāi)始。微傳動(dòng)結(jié)構(gòu)是微驅(qū)動(dòng)器核心部件，微驅(qū)動(dòng)器在微機(jī)器人、航空航天以及生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域均具有廣闊的應(yīng)用前景。2012年，KAGAN等[2]成功制造出以鈦、鎳、金為材料的管狀微型發(fā)動(dòng)機(jī)，其外徑為40 μm，并以脈沖超聲波為驅(qū)動(dòng)力實(shí)現(xiàn)了對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)。2013年，GARCA等[3]研制出以催化聚合物、鎳、鈦為材料的微管發(fā)動(dòng)機(jī)，可通過(guò)磁場(chǎng)引導(dǎo)輸送分子進(jìn)行細(xì)胞免疫測(cè)定。2014年，MHANNA等[4]制成一種鎳鈦合金螺旋微電機(jī)，該電機(jī)以電磁動(dòng)力驅(qū)動(dòng)。2017年，MA等[5]研制出過(guò)氧化氫酶驅(qū)動(dòng)的Janus顆粒納米電動(dòng)機(jī)，其尺度在90 nm以下。TU等[6]利用口腔細(xì)胞幾何形狀的非對(duì)稱性，制造出一種細(xì)胞馬達(dá)，尺度僅有幾十個(gè)微米。

活齒傳動(dòng)作為一種結(jié)構(gòu)新穎、傳動(dòng)效率高、結(jié)構(gòu)緊湊的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)[7]，其微型化研究具有重要意義?？茖W(xué)界一直把研究的重點(diǎn)放在如何制造、控制和操縱微/納米執(zhí)行器，對(duì)微執(zhí)行器的物理特性和力學(xué)性能的研究較少[8]。DELRIO等[9]和金凱等[10]的研究表明：當(dāng)器件的尺寸減小至納米級(jí)別時(shí)，范德華力對(duì)器件工作性能的影響不能忽略不計(jì)。為此，本文提出了考慮范德華力的活齒結(jié)構(gòu)力學(xué)模型，通過(guò)對(duì)微型活齒機(jī)構(gòu)的靜力分析、接觸應(yīng)力分析，得到考慮范德華力的活齒受力及接觸應(yīng)力變化規(guī)律，并探討了不同幾何參數(shù)下范德華力對(duì)活齒受力狀態(tài)的影響。

1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和傳動(dòng)原理

微型集成活齒傳動(dòng)結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖1，由波發(fā)生器H、活齒架S、中心輪K、活齒G四部分組成。

圖1 活齒傳動(dòng)模型示意圖Fig.1 Movable tooth transmission model diagram

圖1中，機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，波發(fā)生器H在驅(qū)動(dòng)力的作用下逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，波發(fā)生器H與活齒G產(chǎn)生徑向推力，推動(dòng)活齒G在活齒架S的徑向?qū)Р蹆?nèi)移動(dòng)，活齒G與中心輪K的波齒嚙合，反推活齒架S順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，波發(fā)生器H的連續(xù)旋轉(zhuǎn)迫使活齒G在活齒架S的導(dǎo)槽內(nèi)往復(fù)移動(dòng)，使活齒架獲得連續(xù)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，從而帶動(dòng)與活齒架固連的輸出軸產(chǎn)生連續(xù)旋轉(zhuǎn)，完成運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力的傳遞。取樣機(jī)的活齒數(shù)為3，中心輪的波齒數(shù)為4，獲得傳動(dòng)比為4的微型集成活齒傳動(dòng)系統(tǒng)，其整體徑向尺寸為1 μm，厚度為300 nm。

2 活齒受力分析

根據(jù)活齒傳動(dòng)原理可知，活齒是傳遞運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力的主要器件，所以選擇活齒作為研究對(duì)象。由于尺度效應(yīng)的影響，在一般活齒傳動(dòng)研究中不考慮的分子間作用力、表面力等成為主導(dǎo)因素，微尺度下器件的重力、慣性力等與幾何尺寸成三次方關(guān)系的體積力則可以忽略不計(jì)，上述因素使得微型活齒傳動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型建立和分析方法不能照搬宏觀活齒傳動(dòng)的研究方法，必須結(jié)合微型活齒傳動(dòng)自身的特點(diǎn)，建立新的力學(xué)模型，提出新的分析方法。對(duì)于MEMS結(jié)構(gòu)，隨著各器件之間間距的減小，微觀作用力逐漸增大，其中范德華力的增長(zhǎng)速度最快[11]。為確保活齒的受力分析更為精確，本文將范德華力考慮在內(nèi)。根據(jù)活齒傳動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，可以分析任一活齒在一個(gè)嚙合周期的受力來(lái)代替其余活齒的受力情況，取第j個(gè)活齒為研究對(duì)象，忽略嚙合處摩擦力及活齒重力，將各接觸點(diǎn)附近的作用力簡(jiǎn)化為集中力，嚙合副受力分析如圖2所示。圖2中，F(xiàn)VHj表示波發(fā)生器H對(duì)活齒G的范德華力，F(xiàn)VSj1、FVSj2分別表示活齒架S齒槽兩個(gè)側(cè)壁對(duì)活齒G的范德華力，F(xiàn)VKj表示中心輪K對(duì)活齒G的范德華力；α表示FVKj與Y軸的夾角，β表示FVHj與X軸的夾角，γ表示FVSj1(或FVSj2)與X軸的夾角。

圖2 活齒受范德華力示意圖Fig.2 Movable teeth by van der Waals diagram

建立與活齒架S固連的固定坐標(biāo)系Oxy，以中心輪K的幾何中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，它的齒間對(duì)稱軸為y軸。以活齒中心O2為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系O2XY。由圖2可知，活齒在往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程中球心的向徑OO2長(zhǎng)度為

(1)

得到的活齒內(nèi)端包絡(luò)的曲線即為中心輪的實(shí)際輪廓線，曲線方程為

(2)

式中,a為波發(fā)生器偏心距；r為活齒半徑；R為波發(fā)生器半徑；b=R+r；φ2為中心輪轉(zhuǎn)角；zK為中心輪齒數(shù)；0≤α≤π。

由于活齒G的半徑相對(duì)于波發(fā)生器H、中心輪K的曲率半徑較小，且考慮到彈性體受力后在接觸點(diǎn)附近發(fā)生彈性形變，為簡(jiǎn)化問(wèn)題，在接觸點(diǎn)附近將中心輪外緣與波發(fā)生器內(nèi)緣近似認(rèn)為是平面。根據(jù)文獻(xiàn)[12]可知，通常范德華力的作用范圍僅為幾十個(gè)納米，距離較大時(shí)可忽略不計(jì)。因在接觸點(diǎn)附近波發(fā)生器、活齒架、中心輪的尺寸遠(yuǎn)大于范德華力的作用范圍，故將其處理為半無(wú)窮體。假定活齒與中心輪、活齒架、波發(fā)生器之間僅存在吸引力，對(duì)于間距為r0的兩分子，根據(jù)范德華力場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)可得兩分子間勢(shì)能[13]：

(3)

式中，C為分子間相互作用系數(shù)。

如圖3左圖所示，假定活齒上單分子與波發(fā)生器內(nèi)壁的距離為Z，波發(fā)生器單位體積分子數(shù)量密度為ρ2，活齒球單位體積分子數(shù)量密度為ρ1，則活齒上單分子與厚度為dy、寬度為dx的環(huán)形微元的勢(shì)能為[14]

(4)

則該分子與波發(fā)生器之間的勢(shì)能為

(5)

如圖3右圖所示，為求解活齒與波發(fā)生器之間的分子勢(shì)能，采用微元法，該微元橫截面與波發(fā)生器的分子勢(shì)能為

(6)

圖3 分子、球面-平面相互作用示意圖Fig.3 Molecular, spherical-plane interaction diagram

在活齒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，活齒與波發(fā)生器內(nèi)壁是接觸的，通常假定活齒面距離內(nèi)壁的距離為d(分子間最小距離)，文獻(xiàn)[15]給出其大小0.4 nm，那么沿活齒球水平徑向積分，可得到活齒與波發(fā)生器之間的分子勢(shì)能:

(7)

對(duì)范德華勢(shì)函數(shù)求偏導(dǎo)，可得范德華力大小：

(8)

A=π2ρ1ρ2C

式中，A為Hamacker常數(shù)，是相互吸引力的勢(shì)能系數(shù)。

當(dāng)d?r0時(shí)，可推導(dǎo)出：

(9)

同理可得

(10)

圖4所示為綜合考慮范德華力與彈性力時(shí)的力學(xué)模型。其中，F(xiàn)EKj為中心輪K對(duì)活齒G的彈性作用力；FEHj為波發(fā)生器H對(duì)活齒G的彈性作用力；FESj為活齒架S對(duì)活齒G的彈性作用力。

在ΔOO1O2中，由正弦定理知：

(11)

活齒架順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)φ2時(shí)，以第j個(gè)活齒為研究對(duì)象，得到靜力平衡方程：

(12)

令

FHj=FEHj-FVHj
FSj=FESj+FVSj1-FVSj2
FKj=FEKj-FVKj

求解上述靜力平衡方程，得

(13)

假定參加工作的每個(gè)活齒在活齒架內(nèi)無(wú)間隙移動(dòng)，在驅(qū)動(dòng)力的作用下，波發(fā)生器與活齒接觸產(chǎn)生彈性形變，當(dāng)波發(fā)生器轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)小角度Δθ時(shí)，活齒在接觸位置產(chǎn)生的彈性形變呈正弦規(guī)律變化[16]：

(14)

式中,δi為活齒在不同位置的彈性變形量；δmax為活齒彈性變形量的最大值。

可近似認(rèn)為活齒的變形量與活齒受到的接觸力成正比，即可推得[17]

(15)

式中，F(xiàn)jmax為波發(fā)生器對(duì)單個(gè)活齒的最大作用力。

當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩為T(mén)e時(shí)，根據(jù)扭矩平衡，活齒架承受的扭矩TeS=Te。活齒架受到的轉(zhuǎn)矩與參與嚙合的n個(gè)活齒產(chǎn)生的力矩相平衡，則可以推知：

(16)

(17)

將式(14)、式(15)、式(17)代入式(16)，可得

(18)

令

聯(lián)立式(13)、式(15)、式(18)，則有：

(19)

則活齒受到彈性力的大小為

(20)

3 活齒的接觸應(yīng)力分析

假設(shè)活齒傳動(dòng)各零件均為均勻的、各向同性的完全彈性體，且接觸面為理想的光滑表面。接觸區(qū)發(fā)生小變形，則可根據(jù)Hertz彈性接觸理論，對(duì)活齒的接觸應(yīng)力進(jìn)行分析計(jì)算。

取受載前兩彈性體公切面為xy平面，Z軸正向?yàn)檫^(guò)接觸點(diǎn)O的彈性體內(nèi)法線方向，如圖5所示，兩彈性體在點(diǎn)O附近的曲面方程分別為z1=f1(x,y)，z2=f2(x,y)。由于接觸面尺寸與彈性體曲率半徑相比尺寸很小，故略去高階項(xiàng)，可用下面的表達(dá)式近似表示原點(diǎn)附近的曲面：

(21)

則點(diǎn)O附近彈性體表面上兩點(diǎn)S1和S2的距離為

z1+z2=(A1+A2)x2+(B1+B2)y2+
(C1+C2)xy

(22)

圖5 接觸數(shù)學(xué)模型示意圖Fig.5 Contact mathematical model diagram

通過(guò)坐標(biāo)變換使得xy項(xiàng)的系數(shù)為零，則有：

z1+z2=Ax2+By2

(23)

式中，x、y為S1、S2兩點(diǎn)在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

假定在接觸點(diǎn)O處，彈性體1的主曲率半徑為R11、R12，彈性體2的主曲率為R21、R22，兩個(gè)表面的主曲率軸的交角為θ，根據(jù)光滑非協(xié)調(diào)表面接觸特性，得

(24)

在壓縮過(guò)程中，兩彈性體內(nèi)部遠(yuǎn)處的點(diǎn)分別向O點(diǎn)平行于Z軸方向移動(dòng)位移δ1、δ2，若接觸時(shí)不發(fā)生形變，則它們的輪廓如圖5虛線所示，兩彈性體表面由于接觸力發(fā)生平行于Z軸的位移，其位移大小為w1、w2。若發(fā)生形變后S1和S2點(diǎn)在接觸面內(nèi)重合，則有：

w1+w2=δ1+δ2-(z1+z2)

(25)

如果接觸的兩個(gè)彈性體均為旋轉(zhuǎn)體，于是彈性體接觸區(qū)為半徑為c的圓[18]，且有R11=R12=R1，R21=R22=R2，于是得

(26)

聯(lián)立式(23)、式(25)、式(26)，可得在接觸區(qū)內(nèi)有：

(27)

式中，R0為接觸區(qū)內(nèi)任意點(diǎn)到接觸中心的距離。

作用于兩個(gè)相互接觸無(wú)摩擦彈性旋轉(zhuǎn)體之間的應(yīng)力分布由Hertz理論給出：

(28)

式中，pmax為接觸區(qū)圓心處的應(yīng)力最大值。

由于作用于彈性體1的力與作用在彈性體2上的力相等，故根據(jù)彈性力學(xué)得到接觸區(qū)內(nèi)的位移為

(29)

式中，ν1、ν2分別為彈性體1和2的泊松比；E1、E2分別為彈性體1和2的彈性模量。

聯(lián)立式(27)、式(29)，可得接觸區(qū)圓形域的半徑：

(30)

作用在彈性體上的力與接觸應(yīng)力的關(guān)系為

(31)

聯(lián)立式(30)、式(31)可得

(32)

因?yàn)榛铨X為旋轉(zhuǎn)體，且活齒曲率半徑較小，故將波發(fā)生器、活齒架和中心輪與活齒接觸點(diǎn)的附近近似處理為平面。令R1→r，R2→∞，可得活齒受到的接觸應(yīng)力峰值為

(33)

將波發(fā)生器、活齒架和中心輪對(duì)活齒的作用力FEHj、FESj和FEKj代入式(33)，可得對(duì)應(yīng)的接觸應(yīng)力:

(34)

4 算例的求解與分析

4.1 活齒受力算例

選擇波發(fā)生器H的半徑R=400 nm，偏心距a=20 nm，活齒半徑r=50 nm，活齒齒數(shù)ZG=3，中心輪波齒數(shù)ZK=4，阻力矩Te=10-14N·m，Hamacker常數(shù)A=4×10-19J，根據(jù)式(19)、式(20)，可得到范德華力對(duì)活齒受力的影響，如圖6所示。

由圖6可知，嚙合活齒在活齒架導(dǎo)槽內(nèi)移動(dòng)過(guò)程中，范德華力對(duì)活齒架的作用力變化無(wú)影響。當(dāng)只考慮彈性力且活齒處于嚙入嚙出位置時(shí)，受到的作用力FEHj、FESj和FEKj均為零，隨著活齒在齒槽內(nèi)移動(dòng)，作用力緩慢增加，在中心輪轉(zhuǎn)角為π/8時(shí)出現(xiàn)受力峰值，當(dāng)中心輪轉(zhuǎn)角為π/4時(shí)，活齒嚙出，完成一個(gè)工作循環(huán)?？紤]范德華力時(shí)，活齒開(kāi)始嚙入與嚙出時(shí)，受力均不為零，且波發(fā)生器和中心輪對(duì)活齒的彈性作用力均增加1.17倍左右。據(jù)此可知，范德華力在微尺度下對(duì)活齒的受力具有顯著影響，不可忽略。

4.2 活齒應(yīng)力算例

表1給出了微型活齒傳動(dòng)系統(tǒng)中活齒、波發(fā)生器、活齒架以及中心輪的材料類型以及材料的彈性模量、泊松比。納米材料具有大的比表面積、高濃度晶界，這對(duì)納米材料的物理及力學(xué)等性能有著重要影響，納米鎳許用強(qiáng)度為5～7 GPa，納米氮化硅抗壓強(qiáng)度最高可達(dá)15 GPa，納米聚甲基丙烯酸甲酯的抗壓強(qiáng)度為700～1 000 MPa。

將表1中的數(shù)據(jù)代入式(34)，可得考慮范德華力時(shí)任意活齒在一個(gè)工作循環(huán)內(nèi)的接觸應(yīng)力變化，見(jiàn)圖7。嚙合活齒在活齒架齒槽中一個(gè)工作周期內(nèi)的接觸應(yīng)力變化規(guī)律與嚙合活齒的受力變化規(guī)律相同，范德華力對(duì)活齒架作用下的接觸應(yīng)力無(wú)影響；對(duì)于波發(fā)生器與中心輪，在考慮范德華力的情況下，活齒嚙入點(diǎn)和嚙出點(diǎn)存在較大的接觸應(yīng)力突變，且活齒受到的接觸應(yīng)力增大了30 MPa，范德華力對(duì)接觸應(yīng)力影響顯著。

(a)波發(fā)生器

(b)活齒架

(c)中心輪圖6 考慮范德華力時(shí)活齒受力對(duì)比圖Fig.6 Consider Van der Waals force movable toothforce comparison chart

材料彈性模量(GPa)泊松比活齒納米氮化硅3850.30波發(fā)生器微電鑄鎳2170.29活齒架聚甲基丙烯酸甲酯6.50.25中心輪聚甲基丙烯酸甲酯6.50.25

(a)波發(fā)生器

(b)活齒架

(c)中心輪圖7 考慮范德華力時(shí)活齒接觸應(yīng)力對(duì)比圖Fig.7 Consider van der Waals force movable toothcontact stress comparison chart

5 參數(shù)變化對(duì)活齒受范德華力的影響

以任一活齒為例，改變活齒傳動(dòng)結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)，得到范德華力對(duì)活齒受力規(guī)律變化的影響，如圖8～圖10所示。

(1)分析圖8可知，隨著波發(fā)生器偏心距a的增大，范德華力的大小不變，但范德華力對(duì)活齒受到彈性力的影響明顯增加。當(dāng)a增至初值的兩倍時(shí)，考慮范德華力時(shí)，活齒受到的彈性力FEHj、FEKj約為不考慮范德華力時(shí)活齒受到彈性力的2倍,活齒受到的接觸應(yīng)力pEKj、pEHj約增大1倍?？梢?jiàn)，偏心距a對(duì)范德華力產(chǎn)生的作用有明顯的影響。

(2)由圖9可知，隨著活齒半徑r的增大，活齒受到的范德華力明顯增大，當(dāng)活齒半徑增大80%時(shí)，活齒受到的范德華力也增大80%，同時(shí)，考慮范德華力時(shí)，活齒受到的彈性力FEHj、FEKj約為不考慮范德華力時(shí)活齒受到彈性力的1.25倍，活齒受到的接觸應(yīng)力pEKj、pEHj約增大20%?？梢?jiàn)，活齒半徑r對(duì)范德華力產(chǎn)生及范德華力產(chǎn)生的作用均有明顯的影響。

(a)波發(fā)生器與活齒的作用力

(b)波發(fā)生器與活齒的接觸應(yīng)力

(c)中心輪與活齒的作用力

(d)中心輪與活齒的接觸應(yīng)力1.a=20 nm 2.a=30 nm 3.a=40 nm 4.考慮范德華力，a=20 nm 5.考慮范德華力，a=30 nm 6.考慮范德華力，a=40 nm圖8 活齒受力隨偏心距a的變化Fig.8 Movable tooth with eccentricity a change

(a)波發(fā)生器與活齒的作用力

(d)中心輪與活齒的接觸應(yīng)力1.r=50 nm 2.r=70 nm 3.r=90 nm 4.考慮范德華力，r=50 nm 5.考慮范德華力，r=70 nm 6.考慮范德華力，r=90 nm圖9 活齒受力隨活齒半徑r的變化Fig.9 The force of movable tooth changes with the radius of movable tooth’s r

(a)波發(fā)生器與活齒的作用力

(b)波發(fā)生器與活齒的接觸應(yīng)力

(c)中心輪與活齒的作用力

(d)中心輪與活齒的接觸應(yīng)力1.R=400 nm 2.R=450 nm 3.R=500 nm 4.考慮范德華力，R=400 nm 5.考慮范德華力，R=450 nm 6.考慮范德華力，R=500 nm圖10 活齒受力隨波發(fā)生器半徑R的變化Fig.10 Movable teeth with wave generator changes the force by the radius R

(3)分析圖10可知，隨著波發(fā)生器半徑R的增大，范德華力的大小不變，范德華力對(duì)活齒受到彈性力的影響減弱，當(dāng)波發(fā)生器半徑增大25%，考慮范德華力時(shí)，活齒受到的彈性力FEHj、FEKj約為不考慮范德華力時(shí)活齒受到彈性力的1.1倍，活齒受到的接觸應(yīng)力pEKj、pEHj約增大7%。可見(jiàn)，波發(fā)生器半徑R對(duì)范德華力產(chǎn)生的作用較弱。

綜上所述，在考慮范德華力的情況下，波發(fā)生器偏心距、活齒半徑、波發(fā)生器半徑等幾何參數(shù)均對(duì)活齒受到的作用力及接觸應(yīng)力有不同程度影響，其中活齒半徑、波發(fā)生器偏心距和范德華力的影響正相關(guān)，且波發(fā)生器偏心距影響較大；波發(fā)生器半徑對(duì)范德華力的影響較弱。

6 結(jié)論

根據(jù)半無(wú)窮空間理論，應(yīng)用范德華勢(shì)函數(shù)，推導(dǎo)出活齒受范德華力的公式，在考慮范德華力的情況下，建立了任一活齒不同嚙合位置處的靜力學(xué)方程，并得到波發(fā)生器、活齒架、中心輪對(duì)活齒的作用力與轉(zhuǎn)角的關(guān)系式，得出了微尺度下活齒受力變化曲線；同時(shí)運(yùn)用接觸力學(xué)理論，得到了在考慮系統(tǒng)不同幾何參數(shù)設(shè)置情況下嚙合活齒在波發(fā)生器、中心輪作用下活齒接觸應(yīng)力的變化規(guī)律曲線，并分析了不同情況下范德華力的影響強(qiáng)弱。