李晴晴，杭后俊，尹天樂

(1.安徽師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241000；2.網(wǎng)絡(luò)與信息安全安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 蕪湖 241000)

0 引 言

由于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境本身的復(fù)雜性和易變性，使得信息在網(wǎng)絡(luò)中傳輸時(shí)的安全問題愈加突出[1]。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，網(wǎng)絡(luò)中傳播的信息，大約有百分之七十是以數(shù)字圖像形式體現(xiàn)出來的，因此數(shù)字圖像加密技術(shù)就成了研究的熱點(diǎn)問題?，F(xiàn)在常用的圖像加密算法中，基于現(xiàn)代密碼體制的圖像加密[2-3]、基于矩陣變換/像素置換的圖像加密[4-5]、基于秘密分割與秘密共享的圖像加密[6-7]等由于圖像數(shù)據(jù)存在大量冗余，像素之間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，圖像具有特定的數(shù)據(jù)格式等特點(diǎn)，并不能完全滿足圖像加密的要求[8]。而混沌系統(tǒng)由于自身的特殊性質(zhì)如對初始條件和參數(shù)高度敏感，隨機(jī)性強(qiáng)，遍歷性等使其非常適合圖像加密[9-14]?，F(xiàn)在很多基于混沌系統(tǒng)的圖像加密算法以時(shí)間和空間換加密強(qiáng)度的思想，大多采用復(fù)雜的加密算法和變換流程來獲取更高效的加密指標(biāo)，這樣自然導(dǎo)致加密解密速度慢、算法的復(fù)雜性高等缺陷，加密效率不如一維系統(tǒng)。

Bezier曲線是一種由控制點(diǎn)控制的多項(xiàng)式曲線，具有諸多優(yōu)良性質(zhì)，廣泛應(yīng)用于形狀設(shè)計(jì)中。研究表明，單位區(qū)域內(nèi)的二次曲線映射可以產(chǎn)生混沌序列[15-17]，而有理二次Bezier曲線可以精確表示二次圓錐曲線[18]?；谶@一理論，文中提出了一種基于有理二次Bezier曲線的數(shù)字圖像加密算法。根據(jù)有理二次Bezier曲線的內(nèi)在特性，提出了一個(gè)一維有理映射函數(shù)，當(dāng)內(nèi)權(quán)因子在一定范圍內(nèi)取值時(shí)，該迭代函數(shù)具有混沌特性，產(chǎn)生混沌序列，進(jìn)而構(gòu)造加密因子與像素灰度進(jìn)行運(yùn)算并置換，最終得到加密圖像。

1 有理二次Bezier曲線

根據(jù)CAGD理論[13]，有理二次Bezier曲線

p(u)=

(1)

對于標(biāo)準(zhǔn)型，可用內(nèi)權(quán)因子ω1進(jìn)行分類：

有理二次Bezier曲線具有如下重要特性：

(1)如果保持其余權(quán)因子、所有控制點(diǎn)不變，讓ω1在某個(gè)范圍內(nèi)變化，就會得到一族曲線。再固定參數(shù)u，則這一族曲線上參數(shù)u相同的點(diǎn)位于一條直線上。

2 基于Bezier方法的圖像加密算法

2.1 加密系統(tǒng)

據(jù)式1可知，由控制點(diǎn)b0=[0,0],b1=[0.5,(1+ω)/ω],b2=[1,0]確定的標(biāo)準(zhǔn)型有理二次Bezier曲線為：

(2)

顯然，該曲線上點(diǎn)的x坐標(biāo)取值范圍為x∈[0,1]，而y最大值為曲線上肩點(diǎn)的y值，即ymax=y(0.5)=1，所以y坐標(biāo)取值范圍為y∈[0,1]。

?x0∈(0,1),?ω>0，根據(jù)內(nèi)權(quán)因子對曲線形狀的影響特性，構(gòu)造如下一維有理映射函數(shù)：

(3)

李雅普諾夫指數(shù)(Lyapunov)是評判一個(gè)系統(tǒng)是否具有混沌性質(zhì)的重要指標(biāo)，Lyapunov>0說明該系統(tǒng)具有混沌特性。對任意一維映射xn+1=f(xn)，其李雅普諾夫指數(shù)的計(jì)算方式如下：

其中，x0為系統(tǒng)的初始值；x1,x2,…為每次的迭代值；n為迭代次數(shù)。

對于有理映射函數(shù)，其李雅普諾夫指數(shù)為：

λ=

(5)

經(jīng)計(jì)算可得，內(nèi)權(quán)因子ω至少在區(qū)間[0.7,1.5]上取值時(shí)λ大于零，即由式3產(chǎn)生的序列{xi}(i=0,1,2,…)具有混沌特性。圖1為該混沌序列產(chǎn)生過程的示意圖。

圖1 序列{xi}(i=0,1,2,…)產(chǎn)生示意

2.2 加密算法

設(shè)明文圖像I大小為m×n，I(i,j)(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)表示像素的灰度值。為了保證序列的混沌效果，可以預(yù)先對有理映射函數(shù)(3)迭代適當(dāng)?shù)拇螖?shù)N，比如N=100。依次讀取圖像I的每一像素I(i,j)，將有理映射函數(shù)(式3)迭代8次所產(chǎn)生的實(shí)數(shù)序列在其最大值和最小值之間的每個(gè)數(shù)與其平均值avg進(jìn)行比較，若大于avg則對應(yīng)位置1，否則置0，得到一個(gè)8位二進(jìn)制序列，稱之為加密因子。再將該加密因子與當(dāng)前像素灰度值進(jìn)行異或運(yùn)算，并用運(yùn)算的結(jié)果替代當(dāng)前像素的灰度值，從而得到密文圖像。具體算法步驟如下：

(1)設(shè)置初值x0和ω,其中0

(2)對有理映射函數(shù)(式3)進(jìn)行N次預(yù)迭代；

(3)讀取當(dāng)前像素I(i,j)；

(4)將有理映射函數(shù)迭代8次，得到一個(gè)8位加密因子key；

(5)將key與圖像當(dāng)前灰度值I(i,j)按位異或，并將運(yùn)算的結(jié)果寫入I'(i,j)；

(6)如果I(i,j)是最后一個(gè)像素，轉(zhuǎn)步驟7，否則，轉(zhuǎn)步驟3；

(7)I'即為密文圖像；

(8)結(jié)束。

2.3 解密算法

解密算法和加密算法是一套算法，也就是說，采用文中算法進(jìn)行加密的圖像，用同樣的算法即可對其進(jìn)行解密?？梢钥闯觯闹兴惴ň哂袕?fù)雜性低、加密效率高的優(yōu)點(diǎn)。

3 仿真結(jié)果及分析

對文中算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，取初始值x0=0.01，ω=0.8。這里用兩張圖片作為仿真用例，加密前后的對比圖像如圖2所示。

圖2 加密前后的對比圖像

3.1 灰度直方圖

灰度直方圖是對圖像中灰度級分布統(tǒng)計(jì)，直方圖越均勻，抗統(tǒng)計(jì)分析能力越強(qiáng)。圖3展示了圖2中兩幅圖像加密前后的灰度直方圖?？梢悦黠@看出，加密前后直方圖變化很大，用該系統(tǒng)加密后圖像直方圖非常均勻。

3.2 密鑰空間及安全性分析

該系統(tǒng)有兩個(gè)參數(shù)，x0和ω，若運(yùn)算精度按10-16考慮，則系統(tǒng)初始條件組成的空間大小至少為1016×1016=1032。要想進(jìn)行枚舉攻擊幾乎是不可能的。

圖3 加密前后圖像的灰度直方圖

假如攻擊者想破解圖2(a)的加密圖像，正確初始值為x0=0.01，ω=0.8。假若攻擊者的猜測初值x0=0.010 000 000 001,ω=0.8，則解密圖像如圖4(a)所示；若攻擊者猜測初值x0=0.01，ω=0.799 999 999 99，則解密圖像如圖4(b)所示。可以看出，用文中模型加密的圖片的安全性是非常高的。

圖4 解密失敗的圖像

3.3 相關(guān)性分析

圖像之所以不同于文本是因?yàn)閳D像像素間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，攻擊者會根據(jù)圖像間的相關(guān)性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，從而破解加密圖像，所以，降低相關(guān)性是檢驗(yàn)一個(gè)加密算法好壞的重要指標(biāo)。因此，分別按水平方向、垂直方向以及對角線方向隨機(jī)選取圖像中的50行，50列的像素進(jìn)行相關(guān)性計(jì)算，隨機(jī)次數(shù)為5次。以圖2(a)為例，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。從仿真結(jié)果可以看出，相對于明文圖片來說，像素間的相關(guān)性非常高，而在加密圖片中像素的相關(guān)性的強(qiáng)度顯著降低，具有非常好的加密效果，很好地滿足了實(shí)際應(yīng)用需求，有較高的實(shí)用價(jià)值。

分別求取該圖像加密前后在三個(gè)方向上的相關(guān)系數(shù)，并且將經(jīng)典的Logistic系統(tǒng)和Chebyshev同樣用上述算法對圖像進(jìn)行加密后求取相關(guān)系數(shù)，對比結(jié)果如表1所示?？梢悦黠@看出，用同一算法實(shí)現(xiàn)三種不同的混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)加密后圖像之間的相關(guān)性最小，安全性更高。

圖5 加密前后相關(guān)性對比圖 表1 加密前后相關(guān)系數(shù)對比

圖4(a)加密前加密后LogisticChebyshev文中系統(tǒng)水平0.947 10.041 10.007 46.684 9e-04垂直0.973 00.006 30.004 0-0.001 0對角線0.929 50.008 40.002 5-0.001 8

3.4 信息熵

信息熵是對信息隨機(jī)性的度量，在圖像中表示像素灰度值的隨機(jī)性，圖像的信息熵越大，信息的隨機(jī)性越好。對任意圖像I，其信息熵計(jì)算公式如下：

(6)

其中，L表示圖像的灰度級；p(xi)表示第i個(gè)像素灰度值所占的比例。

圖像信息熵的理想值是8。選取圖2(a)為示例，表2是分別采用Logistic映射、Chebyshev映射和文中算法對原圖和加密圖像求取的圖像信息熵的對比結(jié)果。可以看出，該系統(tǒng)加密后圖像的信息熵更接近8。

表2 加密前后信息熵對比表

4 結(jié)束語

Bezier曲線廣泛應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)中，將Bezier方法應(yīng)用于圖像處理是一項(xiàng)具有實(shí)際意義的工作。因此，文中提出一種基于有理二次Bezier曲線的數(shù)字圖像加密算法，保留了一維混沌系統(tǒng)形式簡單的特點(diǎn)。由于加密和解密是一套算法，所以該算法具有復(fù)雜性低、加密效率高的優(yōu)點(diǎn)。通過仿真測試表明，利用該算法加密的圖像，其灰度直方圖較為均勻，加密圖像中相鄰像素之間的相關(guān)性強(qiáng)度與傳統(tǒng)加密算法相比顯著降低，取得了較好的加密效果。該方法對于將Bezier方法應(yīng)用于圖像處理的其他問題也具有一定參考價(jià)值。