倪振原，明 建，金愛兵，孫金海

(1．金屬礦山高效開采與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083；2．北京科技大學(xué) 土木與資源工程學(xué)院，北京 100083)

地表沉降現(xiàn)象的產(chǎn)生是一個復(fù)雜的過程，影響地表沉降的因素具有復(fù)雜多樣的特點(diǎn)，主要有地下礦產(chǎn)資源的開采、地表工程的施工、地質(zhì)結(jié)構(gòu)的變化等因素，這些影響因素或多或少地影響了巖土體的沉降，但不同影響因素對沉降量影響的比重?zé)o法準(zhǔn)確獲得[1-2]。如果能夠準(zhǔn)確地預(yù)測礦區(qū)地表沉降的變化量或者趨勢，將對礦床開采產(chǎn)生巨大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值和社會意義，因此建立數(shù)學(xué)或數(shù)值模型對地下開采引起的地表沉降進(jìn)行研究及預(yù)測一直是采礦工程和巖土工程領(lǐng)域研究的重點(diǎn)[3-5]。

國內(nèi)外學(xué)者采用很多方法對地表沉降問題進(jìn)行了預(yù)測研究，例如有限單元[6]、灰色系統(tǒng)理論[7-8]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9-10]等，分析原理各不相同，分析誤差也存在差異。由于地表沉降監(jiān)測范圍大，時間長且監(jiān)測所得的樣本數(shù)據(jù)較少，適合使用灰色理論建立模型以及分析預(yù)測[11-12]。根據(jù)現(xiàn)有研究基礎(chǔ)，灰色理論模型更適用于短期預(yù)測，而對于中長期預(yù)測結(jié)果更多表現(xiàn)為一種趨勢，定量參考價(jià)值較低。故本研究將等維新息[13]和等維灰數(shù)遞補(bǔ)方法[14-15]與灰色預(yù)測模型GM(1，1)相結(jié)合，建立動態(tài)灰色預(yù)測模型[16]。以某礦山崩落法深部開采引發(fā)的巖層移動及地表沉降數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，運(yùn)用這些模型進(jìn)行預(yù)測和分析，以證明其在預(yù)測精度和準(zhǔn)確性上比從靜態(tài)角度考慮未來時刻狀態(tài)的灰色預(yù)測模型GM(1，1)更適于中長期預(yù)測。

1 工程概況

該鐵礦床采用無底柱分段崩落法開采，其礦巖賦存條件較差。其礦體上部存在公路及輸水管道，為此礦山采用預(yù)留垂直礦柱的方法進(jìn)行地下開采。由于深部開采有可能會引起巖層移動與地表沉降，因此需要進(jìn)行持續(xù)的監(jiān)測工作以避免和降低可能發(fā)生的安全隱患。

本研究根據(jù)礦區(qū)的工程地質(zhì)和水文地質(zhì)條件等情況，利用工程現(xiàn)場的地表監(jiān)測數(shù)據(jù)，采用理論分析方法，對礦床開采引起的地表沉降變形進(jìn)行分析和預(yù)測，以便根據(jù)預(yù)測的地表沉降變形及時地調(diào)整開采方案，從而降低地面沉降變形誘發(fā)地質(zhì)災(zāi)害的機(jī)率，其預(yù)測結(jié)果對礦區(qū)的安全生產(chǎn)和社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展有積極的指導(dǎo)作用。

2 灰色預(yù)測模型

2.1 GM(1，1)模型建模和精度檢驗(yàn)

設(shè)定原始數(shù)列為：

X(0)={X(0)(i)|i=1,2，…,n}={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}

(1)

對X(0)作一次累加生成(記作1—AGO)，即令

(2)

因GM(n，h)模型中n和h均為1，則GM(1，1)相應(yīng)的微分方程為：

(3)

式中：α為發(fā)展系數(shù)；μ反映數(shù)據(jù)之間的變化關(guān)系，即灰色作用量。

根據(jù)最小二乘法解得：

(a,u)T=(BTB)-1BTYN

(4)

式中：YN=[x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)]T；

進(jìn)一步得到時間響應(yīng)系數(shù)為：

(5)

還原方程為：

(6)

式(5)和式(6)即為GM(1，1)預(yù)測的兩個基本模型。

2.2 等維灰數(shù)遞補(bǔ)模型和等維新息模型

對定量預(yù)測而言，隨著時間的推移，未來的眾多擾動因素將對預(yù)測系統(tǒng)施加影響。因此，雖然灰色預(yù)測模型GM(1，1)理論上能夠?qū)崿F(xiàn)長期預(yù)測，但是從灰平面上觀察，僅其最近預(yù)測的一兩個數(shù)據(jù)的精度較高，剩余數(shù)據(jù)更多是反映一種趨勢。

等維灰數(shù)遞補(bǔ)模型的建立過程：首先用已知數(shù)據(jù)建立灰色預(yù)測模型GM(1，1)預(yù)測最近一期值，其后將預(yù)測值補(bǔ)充到已知數(shù)列中，再去掉最老的數(shù)據(jù)；序列再建立GM(1，1)模型繼續(xù)預(yù)測，依次循環(huán)，直至完成預(yù)測目標(biāo)。該模型的特點(diǎn)是能夠及時補(bǔ)充和利用灰信息，提高灰平面的白色度，縮小預(yù)測值的灰區(qū)間；每預(yù)測一步，即對灰參數(shù)作一次修正，并隨之修正模型；可以使用較短的數(shù)列完成相對長期的預(yù)測，但是不能無限地預(yù)測下去。

等維新息模型的建立過程與等維灰數(shù)遞補(bǔ)模型相似，但是等維新息模型替補(bǔ)的數(shù)據(jù)為系統(tǒng)獲得的實(shí)際數(shù)據(jù)，而等維灰數(shù)遞補(bǔ)模型替補(bǔ)的數(shù)據(jù)為預(yù)測值。因此，前者是用新息來調(diào)整模型，后者則是用灰數(shù)來約束灰平面的大小。故在實(shí)際處理問題時，可以將兩種方法結(jié)合起來應(yīng)用，從而實(shí)現(xiàn)中長期預(yù)測的目標(biāo)。

3 灰色組合預(yù)測模型的實(shí)例分析

本文以山東某礦E12點(diǎn)沉降測量數(shù)據(jù)為例，驗(yàn)證等維新息預(yù)測模型和等維灰數(shù)遞補(bǔ)預(yù)測模型結(jié)合應(yīng)用于地表沉降的中長期定量預(yù)測的可行性。該點(diǎn)從2016年8月開始測量，令其初始測量值為0。實(shí)際測量值如表1所示。

表1 E12監(jiān)測點(diǎn)沉降測量數(shù)據(jù)

3.1 灰色預(yù)測模型與等維灰數(shù)遞補(bǔ)模型的對比

依據(jù)灰色預(yù)測模型GM(1，1)的數(shù)據(jù)要求為非負(fù)值，且其第1項(xiàng)不能為0的原則，取2016年9月至2017年2月的6期數(shù)據(jù)作為原始數(shù)列，2017年3月至2017年6月的數(shù)據(jù)作為對比。其預(yù)測結(jié)果如表2所示。

表2 灰色預(yù)測模型GM(1，1)預(yù)測結(jié)果

由表2數(shù)據(jù)可知，對于灰色預(yù)測模型GM(1，1)，作為短期預(yù)測值，其預(yù)測的數(shù)據(jù)值僅僅只有最近1～2個數(shù)據(jù)具有實(shí)際意義。而隨著時間推移，預(yù)測值與實(shí)際值之間的差距逐漸擴(kuò)大，不再具有實(shí)際意義。此時需要對該模型進(jìn)行修正，將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行滑動平均處理，利用等維灰數(shù)遞補(bǔ)方法將第7期所預(yù)測值帶入新的模型中，并去除第1期的數(shù)據(jù)，預(yù)測第8期的數(shù)據(jù)，以此循環(huán)建模，可以獲得較好的預(yù)測結(jié)果。

表3 等維灰數(shù)遞補(bǔ)模型預(yù)測數(shù)據(jù)

由表3可知，應(yīng)用等維灰數(shù)遞補(bǔ)方法能夠較灰色預(yù)測模型GM(1，1)降低40%～50%的預(yù)測誤差，精度得到了較大的提升，經(jīng)過修正后可進(jìn)行中長期的預(yù)測，但隨著時間的推移仍存在一定的誤差，因此也不能無限地預(yù)測下去。

3.2 兩種動態(tài)灰色預(yù)測模型組合預(yù)測

由以上所得，等維灰數(shù)遞補(bǔ)方法可在一定程度上提高模型預(yù)測精度，故可利用等維新息方法將已知的實(shí)測數(shù)據(jù)帶入模型中進(jìn)行預(yù)測，即將第7期實(shí)測數(shù)據(jù)代入模型中，去除第1期數(shù)據(jù)，得到新預(yù)測值；再將第8期實(shí)測數(shù)據(jù)代入模型中，去除第2期數(shù)據(jù)，如此循環(huán)遞補(bǔ)。而后將無實(shí)測數(shù)據(jù)部分利用等維灰數(shù)遞補(bǔ)方法進(jìn)行預(yù)測，此時所得預(yù)測數(shù)據(jù)的精度將進(jìn)一步提高，模型的預(yù)測值與實(shí)際值進(jìn)一步接近。因此本研究將前10期數(shù)據(jù)由等維新息預(yù)測模型預(yù)測，11至15期數(shù)據(jù)由等維灰數(shù)遞補(bǔ)預(yù)測模型預(yù)測，預(yù)測的結(jié)果如表4所示。

動態(tài)灰色預(yù)測模型組合預(yù)測結(jié)果與各單體預(yù)測模型之間的修正數(shù)比較，如圖1所示。

由表4和圖1可知，應(yīng)用等維新息預(yù)測模型獲得的第1至10期預(yù)測結(jié)果與表3中應(yīng)用等維灰數(shù)遞補(bǔ)預(yù)測模型獲得的預(yù)測值進(jìn)行比較，前者誤差得到進(jìn)一步的降低，灰色模型的預(yù)測精度得到進(jìn)一步的提高，更趨近于實(shí)測值；同時，利用等維灰數(shù)遞補(bǔ)預(yù)測模型預(yù)測的第11至第15期數(shù)據(jù)也符合之前實(shí)測值的增長趨勢，不存在較大偏差。

表4 兩種動態(tài)灰色預(yù)測模型組合預(yù)測結(jié)果

圖1 灰色預(yù)測模型修正數(shù)比較Fig.1 The residuals of the forecasting models

試驗(yàn)結(jié)果表明，將等維灰度遞補(bǔ)方法和等維新息方法結(jié)合運(yùn)用于灰色系統(tǒng)中，及時添加新息并去除老數(shù)據(jù)，并利用新息調(diào)整模型、灰數(shù)約束灰平面大小的方法進(jìn)一步提高了模型的預(yù)測精度、減少了預(yù)測誤差，較單獨(dú)使用等維灰數(shù)遞補(bǔ)方法的灰色預(yù)測模型的預(yù)測值更趨近于實(shí)測值。雖然兩種動態(tài)灰色預(yù)測方法能夠大幅度地減少預(yù)測誤差，提高模型精度，但也無法無限地進(jìn)行長期預(yù)測，需要在獲取實(shí)測數(shù)據(jù)后及時將其添加入系統(tǒng)，通過新息調(diào)整模型，提升精度。

4 結(jié)論

針對某鐵礦床應(yīng)用無底柱分段崩落法開采深部礦體時礦區(qū)地表沉降數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，本研究以灰色預(yù)測模型GM(1，1)為基礎(chǔ)，采用等維新息和等維灰數(shù)遞補(bǔ)兩種動態(tài)灰色預(yù)測方法對礦山地表的沉降量進(jìn)行了中長期預(yù)測研究。研究結(jié)果表明動態(tài)灰色預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果與實(shí)測數(shù)據(jù)趨勢一致性較高，其預(yù)測精度有較大提高。該模型適用于礦區(qū)地表沉降的中長期預(yù)測，能夠?yàn)榻档偷V床開采和礦區(qū)地表的安全隱患提供依據(jù)。