王 霞 江 山 李俊余 吳偉志

1(浙江海洋大學(xué)數(shù)理與信息學(xué)院 浙江舟山 316022)2 (浙江省海洋大數(shù)據(jù)挖掘與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(浙江海洋大學(xué)) 浙江舟山 316022)

哲學(xué)上認(rèn)為一個(gè)“概念”是一個(gè)思想單元,它由外延和內(nèi)涵2部分構(gòu)成.基于概念的哲學(xué)觀點(diǎn),1982年德國(guó)數(shù)學(xué)家Wille提出了形式概念分析[1-2],它是數(shù)據(jù)分析、知識(shí)發(fā)現(xiàn)和知識(shí)處理的一種有效的數(shù)學(xué)工具.形式概念分析有2個(gè)基本概念:由對(duì)象集、屬性集和二元關(guān)系構(gòu)成的形式背景(二元背景) 和由外延和內(nèi)涵構(gòu)成的形式概念(二元概念).基于皮爾斯范疇三分理論,1995年 Wille等人[3]提出了三元概念分析,它是一種數(shù)據(jù)分析和信息處理的新方法.三元概念分析的基本概念是三元背景和三元概念.三元背景由對(duì)象集、屬性集、條件集和三元關(guān)系構(gòu)成,它可以看作是在二元背景的基礎(chǔ)上添加了條件集.因此,三元背景考慮的是在哪些條件下一個(gè)對(duì)象具有某個(gè)屬性.而三元概念是由外延、內(nèi)涵和方式3部分構(gòu)成的一個(gè)三元組.

魏玲等人[4-5]介紹了2014年以前有關(guān)三元概念分析的基本理論、方法及應(yīng)用,主要概括為:概念三元格的構(gòu)造[3,6-8]、三元蘊(yùn)含及關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘[9-11]、三元模態(tài)算子[12]、三元概念聚類[13-15]、三元背景的因子分析[16-19]及模糊化[20-24]等.此外,文獻(xiàn)[25]證明了一個(gè)三元冪形式背景族的所有三元概念圖構(gòu)成一個(gè)完備格.湯亞強(qiáng)等人[26]研究了三元形式概念分析下的認(rèn)知系統(tǒng)模型.文獻(xiàn)[27]提出了三元標(biāo)記數(shù)據(jù)分類問題的幾種算法.基于三元形式概念分析,文獻(xiàn)[28]給出了一種有效K-團(tuán)動(dòng)態(tài)檢測(cè)定理.文獻(xiàn)[29]利用三元形式概念分析提出了一種基于角色的訪問控制的模型.文獻(xiàn)[30]將粗糙集上、下近似算子引入到三元概念分析中,提出了對(duì)象定向三元概念和屬性定向三元概念,推廣了三元概念分析.為了簡(jiǎn)化三元背景和概念三元格的表達(dá)方式,祁建軍等人[31]提出了一種三元背景和概念三元格的信息簡(jiǎn)化方法.應(yīng)用三元概念分析,李貞等人[32]提出了文本分類方法.

相較于形式概念分析來說,有關(guān)三元概念分析的理論研究和實(shí)際應(yīng)用都比較少,主要原因是三元概念的構(gòu)造更加繁瑣.眾所周知：在形式概念分析中,任意一個(gè)外延非空的二元概念均可以由某些對(duì)象二元概念生成,因此對(duì)象二元概念在概念格的構(gòu)造以及知識(shí)發(fā)現(xiàn)等方面都具有重要的作用.受此啟發(fā),本文通過研究對(duì)象-條件三元概念(即由單個(gè)對(duì)象和單個(gè)條件生成的三元概念)的特性來尋找構(gòu)造三元概念的簡(jiǎn)單方法.研究表明：任意一個(gè)外延和方式非空的三元概念均可以由某些對(duì)象-條件三元概念生成.因此,類似于對(duì)象二元概念,對(duì)象-條件三元概念在三元概念的構(gòu)造以及知識(shí)發(fā)現(xiàn)等方面具有同樣重要的作用.此外,本文的另一個(gè)工作是研究當(dāng)一個(gè)三元概念的外延、內(nèi)涵和方式中有空集時(shí)的判定方法.

1 相關(guān)工作

本節(jié)給出形式概念分析和三元概念分析的基本概念和結(jié)論.

1.1 形式概念分析相關(guān)知識(shí)

定義1[3]. 形式背景.稱(G,M,I)為一個(gè)形式背景(二元背景),其中G是一個(gè)對(duì)象集,M是一個(gè)屬性集,I是G和M之間的一個(gè)關(guān)系.分別稱G和M的元素為對(duì)象和屬性.

若對(duì)象g和屬性m具有關(guān)系I,則記為gIm.

定義2[3]. 形式概念.設(shè)(G,M,I)為一個(gè)二元背景,X?G,B?M.若二元組(X,B)滿足:X′=B,B′=X,則稱(X,B)為形式概念(二元概念),其中：

X′={m∈M|?g∈X,gIm},
B′={g∈G|?m∈B,gIm}.

設(shè)T=(G,M,I)是二元背景,對(duì)任意的二元概念(X1,B1),(X2,B2)定義偏序關(guān)系為

(X1,B1)≤(X2,B2)?X1?X2(?B1?B2).

記L(G,M,I)或L(T)為二元背景T=(G,M,I)中所有二元概念構(gòu)成的集合.容易證明L(T)是格,稱其為二元背景T的概念格.在概念格L(T)上定 義上、下確界為

(X1,B1)∧(X2,B2)=(X1∩X2,(B1∪B2)″),

(1)

(X1,B1)∨(X2,B2)=((X1∪X2)″,B1∩B2),

(2)

則概念格L(T)是一個(gè)完備格.

?g∈G,(g″,g′)∈L(T),稱其為對(duì)象二元概念.

性質(zhì)1[3]. 設(shè)T=(G,M,I)是一個(gè)二元背景,X,X1,X2為任意的對(duì)象子集,B,B1,B2為任意的屬性子集,則有下列7條性質(zhì)成立:

2)X?X″,B?B″.

3)X′=X?,B′=B?.

6) (X″,X′)∈L(T).

7)X?B′?B?X′.

1.2 三元概念分析相關(guān)知識(shí)

定義3[3]. 三元背景.稱=(K1,K2,K3,Y)為三元背景,其中K1,K2,K3為非空集合,Y為K1,K2,K3之間的關(guān)系,即Y?K1×K2×K3.分別稱K1,K2,K3為對(duì)象集、屬性集和條件集.分別稱K1,K2,K3的元素為對(duì)象、屬性和條件.

若對(duì)象g、屬性a和條件c具有關(guān)系Y,則記為(g,a,c)∈Y,表示對(duì)象g在條件c下具有屬性a,通常在三維交叉表的相應(yīng)位置用“×”標(biāo)出.

X(i)={(aj,ak)∈Kj×Kk|?ai∈Ki,
ai,aj,ak具有關(guān)系Y},

Z(i)={ai∈Ki|?(aj,ak)∈Z,
ai,aj,ak具有關(guān)系Y}.

注:根據(jù)(i)-誘導(dǎo)算子的定義可知,(i)-誘導(dǎo)算子相當(dāng)于二元背景(i)=(Ki,Kj×Kk,Y(i))上的′算子,其中?ai∈Ki,?aj∈Kj,?ak∈Kk有aiY(i)(aj,ak)等價(jià)于ai,aj,ak具有關(guān)系Y.

另外,Xi?Ki,Xj?Kj,Ak?Kk定義(i,j,Ak)-誘導(dǎo)算子為

注:(i,j,Ak)-誘導(dǎo)算子相當(dāng)于二元背景=(Ki,Kj,)上的′算子,其中?ai∈Ki,?aj∈Kj有(ai,aj)∈等價(jià)于?ak∈Ak,ai,aj,ak具有關(guān)系Y.

定義4[3]. 三元概念.設(shè)=(K1,K2,K3,Y)是一個(gè)三元背景,稱(A1,A2,A3)為三元背景的一個(gè)三元概念,如果對(duì)任意的{i,j,k}={1,2,3},j

bik(Xi,Xk)(A1,A2,A3),i≠k,

其中，AjXi(i,j,Xk),AiAj(i,j,Xk),Ak(Ai×Aj)(k).

命題1[6]. 設(shè)=(K1,K2,K3,Y)是一個(gè)三元背景,Xi?Ki,Xk?Kk,{i,j,k}={1,2,3},則有bik(Xi,Xk)=(A1,A2,A3)∈J().

?(B1,B2,B3)∈J(),若Xi?Bi,Xk?Bk,則Bj?Aj,且當(dāng)Bj=Aj時(shí),Ai?Bi,Ak?Bk.

一般來說,bik(Xi,Xk)≠bki(Xk,Xi),i≠k.

特別地,若(A1,A2,A3)∈J(),則bik(Ai,Ak)=bki(Ak,Ai)=(A1,A2,A3).

?C?Kk,由(i,j,C)-誘導(dǎo)算子和(i)-誘導(dǎo)算子的定義可知,?A?Ki,?C?Kk有(A×C)(j)=A(i,j,C).所以,為書寫方便起見,將(i,j,C)-誘導(dǎo)算子和(i)-誘導(dǎo)算子統(tǒng)一定義為A(C)(A×C)(j)=A(i,j,C).

2 三元概念的一種構(gòu)造方法

考慮到二元概念中有上述2類特殊的概念,本節(jié)研究三元概念中是否也存在類似的2類三元概念.對(duì)比外延為空集的二元概念,研究外延、內(nèi)涵和方式中有空集的三元概念具有的性質(zhì)及判定方法.對(duì)比對(duì)象二元概念,在三元概念中尋找有類似作用的三元概念,可以通過這類三元概念生成剩余的三元概念.

2.1 一類特殊三元概念的性質(zhì)

下面考慮三元概念的外延、內(nèi)涵和方式中有空集時(shí)具有的性質(zhì).

引理1. 設(shè)=(K1,K2,K3,Y)是一個(gè)三元背景,有3條成立:

證明. 1)?若存在g∈K1使得?(a,c)∈K2×K3有(g,a,c)∈Y,則根據(jù)定義4三元概念的定義可知,?(A1,A2,A3)∈J()有g(shù)∈A1,即A1≠?.

?(反證法) 若?g∈K1,總存在(a,c)∈K2×K3使得(g,a,c)?Y,則b23(K2,K3)=(?,K2,K3),這與J()中所有三元概念的外延均不為?矛盾.

類似地可以證明2)和3).

證畢.

引理1也可以理解為3條結(jié)論:

引理2給出了引理1的另一種等價(jià)的表達(dá)形式.

引理2. 設(shè)=(K1,K2,K3,Y)是一個(gè)三元背景,(A1,A2,A3)∈J(),則有3條成立:

1)A1=??A2=K2,A3=K3.

2)A2=??A1=K1,A3=K3.

3)A3=??A1=K1,A2=K2.

2.2 三元概念的構(gòu)造方法

定義5. 對(duì)象-條件三元概念.設(shè)=(K1,K2,K3,Y)是一個(gè)三元背景.?(gi,ck)∈K1×K3,記

(3)

并稱b13(gi,ck)為由對(duì)象gi和條件ck確定的對(duì)象-條件三元概念.

所有的對(duì)象-條件三元概念構(gòu)成的集合記為OC={b13(gi,ck)|?(gi,ck)∈K1×K3}.

定理1. 設(shè)=(K1,K2,K3,Y)是一個(gè)三元背景,?(A,C)?K1×K3,A≠?,C≠?,定義：

∨O C{b13(g,c)|(g,c)∈A×C}=(B1,B2,B3),

(4)

其中：

則(B1,B2,B3)∈J().

綜上所述,(B1,B2,B3)∈J().

證畢.

定理1說明:對(duì)象-條件三元概念通過∨O C-運(yùn)算可以生成一個(gè)三元概念.

下面定理2說明任意一個(gè)三元概念若它的外延和方式均為非空集合,則它可以由某些對(duì)象-條件三元概念通過∨O C-運(yùn)算生成.

定理2. 設(shè)=(K1,K2,K3,Y)是一個(gè)三元背景,(A1,A2,A3)∈J(),且A1,A3為非空集合.則有(A1,A2,A3)=∨O C{b13(g,c)|(g,c)∈A1×A3}.

證明. 由定理1知,∨O C{b13(g,c)|(g,c)∈A1×A3}∈J(),將其記為(B1,B2,B3).下面證明:(B1,B2,B3)=(A1,A2,A3).

首先證明A2=B2.因?yàn)?A1,A2,A3)∈J(),所以若a∈A2,則?(g,c)∈(A1,A3)有(g,a,c)∈Y,即?(g,c)∈(A1,A3)有a∈g(c).從而,A2?g(c).于是,A2?B2.另一方面,若a∈B2,則?(g,c)∈(A1,A3)有a∈g(c).即?(g,c)∈(A1,A3)有(g,a,c)∈Y,所以a∈A2.從而,B2?A2.再結(jié)合A2?B2可得,A2=B2.

再來證明A3=B3.因?yàn)?A1,A2,A3)∈J(),所以若c∈A3,則?(g,a)∈(A1,A2)有(g,a,c)∈Y,即?g∈A1有從而,A3?于是,A3??g∈A1}=∩{g(B2)|?g∈A1}=B3.

證畢.

結(jié)合定理1和定理2可得推論1.

推論1. 設(shè)=(K1,K2,K3,Y)是一個(gè)三元背景,

J(){(?,K2,K3),(K1,K2,?)}=

2.3 構(gòu)造三元概念的步驟

二元背景是由對(duì)象集和屬性集構(gòu)成的二維交叉表.三元背景可以看作是在二元背景的基礎(chǔ)上添加了條件集后的三維交叉表.因此,一個(gè)三元背景可以根據(jù)它的每一個(gè)條件分解成一系列的二元背景.設(shè)=(K1,K2,K3,Y)是一個(gè)三元背景,其中K1={g1,g2,…,gr},K2={a1,a2,…,as},K3={c1,c2,…,ct},其中r,s,t均為正整數(shù).按照條件集K3的t個(gè)元素將三元背景分解為t個(gè)二元背景,分別記為

2) ?ck∈K3,若(A1,A2)∈L(則),即的任意一個(gè)二元概念都是三元背景的某個(gè)三元概念的外延和內(nèi)涵.

下面給出構(gòu)造三元概念的4個(gè)步驟.

步驟1. ?ck∈K3,生成二元背景上所有的對(duì)象二元概念(,),?gi∈K1.

步驟4. 根據(jù)引理1判斷(?,K2,K3),(K1,K2,?)是否為三元概念.

如果概念格L(?ck∈K3已知,則可將上述構(gòu)造三元概念的步驟1～3進(jìn)行簡(jiǎn)化,具體如下:

步驟2. 記：

3 實(shí) 例

本節(jié)利用文獻(xiàn)[9]中的例子對(duì)第2節(jié)提出的三元概念的構(gòu)造方法作詳細(xì)說明,并以此例簡(jiǎn)要說明所得三元概念在知識(shí)發(fā)現(xiàn)中的作用.

例1. 設(shè)=(K1,K2,K3,Y)是一個(gè)三元背景,其中對(duì)象集K1由耶穌12使徒構(gòu)成,即K1={Peter,Andrew,James,John,Philip,Thomas,Matthew,James A (James Alphaeus),Thadaeus,Simon,Judas}.屬性集K2由福音的36節(jié)構(gòu)成,即K2={1,2,…,36},具體含義如表1所示.條件集K3由《馬太福音》(MT)、《馬可福音》(MK) 和《路加福音》(LK)構(gòu)成,即K3={MT,MK,LK}.

Table 1 The Attribute Set K2表1 屬性集K2

Continued (Table 1)

另外,若在某個(gè)條件c∈K3下,12個(gè)對(duì)象均不具有某個(gè)屬性a∈K2,則稱該屬性a為二元背景的冗余屬性.表2～4所示3個(gè)二元背景均去掉了冗余屬性以節(jié)省空間.如表2缺少屬性3,6,9,13,14,17～23,25,33～36,則表示在二元背景中,12個(gè)對(duì)象均不具有這些屬性,也就是說在《馬太福音》中第3,6,9,13,14,17～23,25,33～36節(jié)中均沒有提到耶穌12使徒中的任何1人.圖1～3分別給出了3個(gè)二元背景的概念格.

Table 2 The Dyadic Context 表2 二元背景

Table 2 The Dyadic Context 表2 二元背景

K1K2 without Redundant Attributes12457810111215162426272829303132Peter×××××××××××××Andrew××××James××××××John×××××Philip×Bartholomew×Thomas×Matthew××James A×Thadaeus×Simon×Judas×××××

Note: “×” mean the persons are mentioned in the corresponding passages of MT Gospel.

Table 3 The Dyadic Context 表3 二元背景

Table 3 The Dyadic Context 表3 二元背景

K1K2 without Redundant Attributes1234567811121315161724272829303133Peter××××××××××××××××Andrew××××××James×××××××××John×××××××××Philip×Bartholomew×Thomas×Matthew××James A×Thadaeus×Simon×Judas×××

Note: “×” mean the persons are mentioned in the corresponding passages of MK Gospel.

Table 4 The Dyadic Context 表4 二元背景

Table 4 The Dyadic Context 表4 二元背景

K1K2 without Redundant Attributes124567111213141524252729303134Peter×××××××××××××Andrew×James××××××John××××××××Philip×Bartholomew×Thomas×Matthew××James A×Thadaeus×Simon×Judas×××

Note: “×” mean the persons are mentioned in the corresponding passages of LK Gospel.

步驟1. 由圖1～3所示的所有對(duì)象二元概念生成14個(gè)對(duì)象-條件三元概念,具體為

Fig. 1 The concept lattice L()圖1 概念格L()

Fig. 2 The concept lattice L()圖2 概念格L()

Fig. 3 The concept lattice L()圖3 概念格L()

1)b13({Philip},{MT})=b13({Philip},{MK})=b13({Philip},{LK})=b13({Bartholomew},{MT})=b13({Bartholomew},{MK})=b13({Bartholomew},{LK})=b13({Thomas},{MT})=b13({Thomas},{MK})=b13({Thomas},{LK})=b13({James A},{MT})=b13({James A},{MK})=b13({James A},{LK})=b13({Thadaeus},{MT})=b13({Thadaeus},{MK})=b13({Thadaeus},{LK})=b13({Simon},{MT})=b13({Simon},{MK})=b13({Simon},{LK})=b13({Andrew},{LK})=(K1,{7},K3);

2)b13({Matthew},{MT})=b13({Matthew},{MK})=b13({Matthew},{LK})=({Matthew},{5,7},K3);

3)b13({Peter},{MT})=({Peter},{1,2,4,7,8,10,11,12,15,27,28,30,31},{MT});

4)b13({Andrew},{MT})=({Peter,James,John,Andrew},{1,4,7},{MT,MK});

5)b13({James} ,{MT})=b13({John},{MT})=({James,John},{1,4,7,12,16,28},{MT,MK});

6)b13({Judas},{MT})=({Judas},{7,24,26,29,32},{MT});

7)b13({Peter},{MK})=({Peter},{1,2,3,4,6,7,8,11,12,15,17,27,28,30,31,33},{MK});

8)b13({Andrew},{MK})=({Peter,James,John,Andrew},{1,2,4,7,17},{MK});

9)b13({James},{MK})=({James,John},{1,2,4,6,7,12,16,17,28},{MK});

10)b13({John},{MK})=({John},{1,2,4,6,7,12,13,16,17,28},{MK});

11)b13({Judas},{MK})=b13({Judas},{LK})=({Judas},{7,24,29},K3);

12)b13({Peter},{LK})=({Peter},{1,2,4,6,7,11,12,15,25,27,30,31,34},{LK});

13)b13({James},{LK})=({James,John},{1,4,6,7,12,14},{LK});

14)b13({John},{LK})=({John},{1,4,6,7,12,13,14},{LK}).

步驟2. 由圖1～3中剩余二元概念可生成5個(gè)不同的三元概念:

15) ({Peter,James,John},{1,4,7,12,28})|→({Peter,James,John},{1,4,7,12,28},{MT,MK});

16) (?,K2)|→(?,K2,K3);

17) ({Peter,James,John},{1,2,4,6,7,12,17,28})|→({Peter,James,John},{1,2,4,6,7,12,17,28},{MK});

18) ({Peter,John},{1,4,6,7,12,25})|→({Peter,John},{1,4,6,7,12,25},{LK});

19) ({Peter,James,John},{1,4,6,7,12})|→({Peter,James,John},{1,4,6，7,12},{MK,LK}).

20) ∨O C{b13(g,c)|g∈{Peter},c∈{MT,MK}}=({Peter},{1,2,4,7,8,11,12,15,27,28,30,31},{MT,MK});

21) ∨O C{b13(g,c)|g∈{Peter},c∈K3}=({Peter},{1,2,4,7,11,12,15,27,30,31},K3);

22) ∨O C{b13(g,c)|g∈{Peter},c∈{MK,LK}}=({Peter},{1,2,4,6,7,11,12,15,27,30,31},{MK,LK});

23) ∨O C{b13(g,c)|g∈{John},c∈{MK,LK}}=({John},{1,4,6,7,12,13},{MK,LK});

24) ∨O C{b13(g,c)|g∈{Peter,John},c∈K3}=({Peter,James,John},{1,4,7,12},K3).

步驟4. 由引理1可知,(K1,K2,?)是的第25個(gè)三元概念,(K1,?,K3)不是的三元概念.

Fig. 4 The triadic diagram of the triadic context 圖4 三元背景上的三元圖

為了更直觀地描述三元概念,圖4給出了例1中25個(gè)三元概念構(gòu)成的三元圖.圖4正上方的線圖中每一個(gè)圓圈表示1個(gè)三元概念的方式,它包含該圓圈處所示的條件及其右側(cè)線段相連處圓圈所示的條件(注意箭頭所示方向),因此稱正上方的線圖為方式圖.左下方的線圖中每一個(gè)圓圈表示1個(gè)三元概念的內(nèi)涵,它包含該圓圈處所示的屬性及其左上方線段相連處圓圈所示的屬性,稱左下方的線圖為內(nèi)涵圖.類似地,右下方的線圖中每一個(gè)圓圈表示1個(gè)三元概念的外延,它包含該圓圈處所示的對(duì)象及其左下方線段相連處圓圈所示的對(duì)象,稱右下方的線圖為外延圖.三元圖中間的倒三角區(qū)域中每個(gè)圓圈代表1個(gè)三元概念,它通過虛線分別與外延圖、內(nèi)涵圖和方式圖中的圓圈相連,分別表示該三元概念的外延、內(nèi)涵和方式.例如三元圖中間倒三角區(qū)域從上面數(shù)第1行左側(cè)第1個(gè)圓圈表示第1個(gè)三元概念,從上面數(shù)第2行左側(cè)第2個(gè)圓圈表示第4個(gè)三元概念.

根據(jù)例1生成的三元概念,可以回答3個(gè)方面問題:

1) 在《路加福音》(LK) 中使徒James出現(xiàn)在哪幾節(jié)?在這幾節(jié)中還同時(shí)提到了哪些使徒？他們是否還在其他福音的這幾節(jié)中出現(xiàn)？

由第13個(gè)三元概念可知,James出現(xiàn)在《路加福音》(LK) 的第1,4,6,7,12,14節(jié);在這幾節(jié)中同時(shí)提到了John;James和John只在《路加福音》(LK) 的這幾節(jié)中出現(xiàn).

2) James和John還同時(shí)在哪些福音的哪幾節(jié)中出現(xiàn)?在這些福音書的這幾節(jié)中是否還同時(shí)提到了其他使徒?

這些問題可以由第4,5,8,9,13,15,17,19,24個(gè)三元概念給出答案.

3) 基于對(duì)象的三元蘊(yùn)含問題.

(M×{a}×C)?Y?(N×{a}×C)?Y,

則稱在條件集C下三元對(duì)象蘊(yùn)含(M→N)C在中成立.特別地,當(dāng)C=K3時(shí),三元對(duì)象蘊(yùn)含(M→N)C簡(jiǎn)記為M→N.

三元對(duì)象蘊(yùn)含(M→N)C相當(dāng)于二元背景下M和N之間的對(duì)象蘊(yùn)含.所以,三元對(duì)象蘊(yùn)含(M→N)C在中成立當(dāng)且僅當(dāng)N?M(C)(C).M(C)(C)恰好是由對(duì)象子集M和條件子集C生成的三元概念的外延,可由定理1和定理2生成.譬如,根據(jù)例1中第24個(gè)三元概念的生成過程可知:{Peter,John}(K3)(K3)={Peter,James,John},所以{Peter,John}→{James}成立,即在上述3本福音中只要提到使徒Peter和John的章節(jié)一定提到了使徒James.

注:形式背景的屬性蘊(yùn)含相關(guān)問題詳見文獻(xiàn)[1-2,33],三元蘊(yùn)含相關(guān)問題詳見文獻(xiàn)[9-10].

4 總 結(jié)

三元概念中有2類特殊的概念:外延、內(nèi)涵以及方式中有空集的三元概念(如果存在的話)和對(duì)象-條件三元概念,因?yàn)槭Ｓ嗟娜拍罹梢杂赡承?duì)象-條件概念生成.本文給出了外延、內(nèi)涵和方式中有空集的三元概念的判定方法,并提出了一種基于對(duì)象-條件三元概念生成剩余的三元概念的方法.在本文的基礎(chǔ)上可以進(jìn)一步考慮三元背景簡(jiǎn)化及規(guī)則獲取等相關(guān)問題.