摘 要：力法和位移法是結(jié)構(gòu)力學(xué)中計算超靜定結(jié)構(gòu)的兩種基本方法，這兩種計算方法既有相同之處，又有不同之處，本文從二者的基本原理、基本未知量、基本體系及典型方程等方面對比分析力法與位移法在結(jié)構(gòu)計算中的異同。

關(guān)鍵詞：超靜定結(jié)構(gòu)；力法；位移法；異同

在實際工程計算中，大多數(shù)結(jié)構(gòu)都是超靜定的，結(jié)構(gòu)力學(xué)計算通常包括兩個部分：內(nèi)力計算和位移計算，力法和位移法在結(jié)構(gòu)力學(xué)中是計算超靜定結(jié)構(gòu)的兩種基本方法，二者既有相同的地方也有許多不同之處。相同之處在于二者的分析依據(jù)相同，并且最終目的都是為了求解出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和支座反力；不同之處主要是在于兩者的基本原理、基本未知量、基本體系和典型方程不同。

1 力法與位移法對比分析之同

1.1 分析依據(jù)

超靜定結(jié)構(gòu)計算中，力法和位移法是常用的兩種計算方法。所謂的超靜定結(jié)構(gòu)即指具有多余約束的幾何不變體系、基于靜力平衡條件不能唯一確定內(nèi)力和反力的結(jié)構(gòu)。力法和位移法不僅考慮靜力平衡條件，還考慮了變形協(xié)調(diào)條件及物理條件，從而對超靜定結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解。

1.2 目的

力法和位移法都是綜合利用靜力平衡條件、變形協(xié)調(diào)的幾何條件、應(yīng)力與應(yīng)變間本構(gòu)關(guān)系的物理條件，根據(jù)各自的簡單基本結(jié)構(gòu)和關(guān)于基本未知量的基本方程，先求解出基本未知量，再求出剩余未知量，最終求解出實際工程中常見的超靜定結(jié)構(gòu)各截面的內(nèi)力和支座反力。

力法和位移法都是綜合利用靜力平衡條件、變形協(xié)調(diào)及物理關(guān)系三個方面的條件，使各自基本體系與原結(jié)構(gòu)的受力、變形情況一致，從而應(yīng)用基本體系建立相應(yīng)的典型方程以達(dá)到分析原結(jié)構(gòu)的目的。

2 力法與位移法對比分析之異

2.1 基本原理

結(jié)構(gòu)在一定的荷載作用下，其內(nèi)力與位移有一定的關(guān)系，簡單來說，在分析超靜定結(jié)構(gòu)時，力法是先求出結(jié)構(gòu)內(nèi)力，然后計算其相應(yīng)的位移；而位移法是先確定位移，再根據(jù)位移求出結(jié)構(gòu)內(nèi)力。

力法的基本原理是：通過撤除多余約束把多余未知力作為基本未知量，將分析超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為分析相應(yīng)的基本結(jié)構(gòu)，然后根據(jù)多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件（位移條件）建立力法基本方程，求出基本未知量后即可通過靜力平衡條件求出結(jié)構(gòu)的全部內(nèi)力。而位移法的基本思路是：以獨立的結(jié)點位移作為基本未知量，通過靜力平衡條件建立位移法方程，求出基本未知量后即可利用桿端位移與內(nèi)力之間的關(guān)系（轉(zhuǎn)角位移（荷載）方程），再求出結(jié)構(gòu)的全部內(nèi)力。

對于線彈性體系，只要基本體系與原結(jié)構(gòu)變形一致，則受力自然相同；反之受力一致，則變形自然相同。力法是通過兩者變形一致從而達(dá)到受力相同，位移法是通過兩者受力一致從而達(dá)到變形相同。

2.2 基本未知量

力法與位移法的基本未知量不同。力法是以多余未知力為基本未知量，基本未知量的數(shù)目等于結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。其基本未知量可作以下三方面理解：①原結(jié)構(gòu)中多余未知力為被動力形式，是固定量。②基本體系中多余未知力為主動力形式，是變量。③通過調(diào)節(jié)多余未知力的大小，可以使基本體系的變形與受力和原超靜定結(jié)構(gòu)完全相同。

而位移法是以獨立的結(jié)點位移（結(jié)點角位移與獨立結(jié)點線位移）為基本未知量，其基本未知量數(shù)目與超靜定次數(shù)無關(guān)。一般來說，未知位移個數(shù)=未知轉(zhuǎn)角的個數(shù)+節(jié)點線位移個數(shù)，而未知轉(zhuǎn)角的個數(shù)=剛結(jié)點的個數(shù)，未知線位移的個數(shù)=相應(yīng)鉸結(jié)體系的自由度數(shù)目=剛架的層數(shù)（橫梁豎柱的矩形框架）。

2.3 基本體系

力法和位移有各自的基本體系。力法是以解除超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束得到的靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)，在基本結(jié)構(gòu)上加上原作用因素和多余未知力的共同作用，就組成力法基本體系（形式非唯一），通過基本體系與原結(jié)構(gòu)變形一致建立力法方程求解多余未知力。

而位移法的基本結(jié)構(gòu)是：在發(fā)生獨立位移的結(jié)點上施加相應(yīng)的附加約束，使原結(jié)構(gòu)中每一根桿件都變成單跨超靜定梁（基本結(jié)構(gòu)單元），這樣所得到的單跨超靜定梁的組合體即為原結(jié)構(gòu)的位移法基本結(jié)構(gòu)，位移法基本結(jié)構(gòu)在荷載和各獨立結(jié)點位移共同作用下的體系稱為位移法基本體系，其形式唯一。簡言之，基本體系=基本結(jié)構(gòu)+獨立結(jié)點位移+原作用因素。

2.4 典型方程

力法：力法的基本方程是根據(jù)基本體系在多余約束處的位移與原結(jié)構(gòu)一致的條件建立力法方程，其本質(zhì)是幾何方程。在線性變形體系中，根據(jù)疊加原理，n個變形條件通?？梢詫憺椋?/p>

δ11X1+δ12X2+…+δ1iXi+…+δ1nXn+Δ1p=0

δ21X2+δ22X2+…+δ2iXi+…+δ2nXn+Δ2p=0

……

δn1X1+δn2X2+…+δniXi+…+δnnXn+Δnp=0

方程中，系數(shù)δij和自由項Δip代表基本結(jié)構(gòu)的位移。δii是基本結(jié)構(gòu)由Xi=1產(chǎn)生的Xi方向上的位移，δik是基本結(jié)構(gòu)由Xk=1產(chǎn)生的Xi方向上的位移，自由項Δip是基本結(jié)構(gòu)由荷載產(chǎn)生的Xi方向上的位移。

位移法：位移法的基本方程是根據(jù)基本體系的附加約束上的約束力（矩）與原結(jié)構(gòu)一致的條件建立位移法方程，其本質(zhì)是靜力平衡方程。對于具有n個基本未知量的問題，位移法的基本方程可寫成如下形式：

K11Δ1+K12Δ2+…+ K1iΔi +…+K1nΔn+F1p=0

K21Δ1+K22Δ2+…+ K2iΔi +…+K2nΔn+F2p=0

……

Kn1Δ1+Kn2Δ2+…+ KniΔi +…+KnnΔn+Fnp=0

方程中，系數(shù)Kij是基本結(jié)構(gòu)在Δj=1單獨作用時，在第i個附加約束中產(chǎn)生的約束反力（反力矩），是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，與外部作用無關(guān)。當(dāng)i=j時，即Kii稱為主系數(shù)，恒為正；當(dāng)i≠j時稱為副系數(shù)，可為正值、負(fù)值或為零，并且Kij=Kji（反力互等定理）。Fip稱為荷載項或自由項，是基本結(jié)構(gòu)在荷載單獨作用時，在第i個附加約束中產(chǎn)生的約束法力（或反力矩）。剛度系數(shù)和自由項與假設(shè)的結(jié)點位移同向時為正。

建立基本方程時，兩者考慮平衡條件與變形協(xié)調(diào)條件的先后次序不同。力法是根據(jù)基本體系在荷載和多余未知力共同作用下保持平衡，先滿足平衡條件，然后又根據(jù)位移條件（變形協(xié)調(diào)條件）列出典型方程。位移法在確定基本未知量時，認(rèn)為匯交于剛結(jié)點處的各桿端轉(zhuǎn)角相同以及受彎桿件兩端的間距不變，即先滿足位移條件（變形協(xié)調(diào)條件），然后在建立位移法基本方程時再滿足平衡條件。

結(jié)語：

力法與位移法是分析實際工程中常見的超靜定結(jié)構(gòu)的兩種基本方法。力法與位移法既有相同之處又有區(qū)別。在解決實際問題時，應(yīng)根據(jù)實際情況靈活應(yīng)用，可以單獨使用其中一種解決問題，必要時也可以兩者混合使用。無論利用力法還是位移法，亦或兩者混合使用，只要選擇的基本未知量合理并且能夠簡潔地計算，就可以達(dá)到方便快捷的目的。

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作者簡介：

趙浩楠（1997.07.18），男，漢族，河南省洛陽市，本科生，研究方向：城市地下空間工程專業(yè).