孫曉峰,湯 捷,袁玉金,張克博,陳 燁,胡喬波

(1.東北石油大學 石油工程學院，黑龍江 大慶163318; 2.中油國際拉美公司，巴西 里約熱內盧 999074)

水平井的大斜度和水平井段鉆進過程中，當停止循環(huán)(如接單根作業(yè))或鉆井液排量較低時會引起環(huán)空巖屑沉降并堆積于井眼低邊，形成穩(wěn)定的巖屑床。巖屑床會導致鉆柱扭矩增大、拖壓等問題，室內實驗和現場實踐均表明，井斜角>50°時造斜井段和水平井段巖屑沉積最為嚴重[1-3]。

圖1 環(huán)空內床面顆?？刂企w幾何示意圖Fig.1 Geometric sketch showing particle control body in annulus

目前用于描述巖屑運移理論模型可以分為2類，一類理論假設和實驗觀察結合的固液分層計算模型，如兩層巖屑運移模型[4-5]、三層巖屑運移模型[6-8]，可以用于計算巖屑床沉積高度、運移效率等參數；另一類是計算鉆井液攜巖運移時所需的臨界流速預測模型[9-10]，以臨界流速抑制巖屑床生成，保持井眼清潔。相比較而言，臨界啟動流速預測模型易于理解其物理意義，可以直接用于指導現場工程人員優(yōu)選排量。

臨界流速預測模型中的拖拽力與拖拽系數有關，因拖拽系數經驗模型眾多，如何選擇模型，現場工程人員并不容易掌握。本文應用邊界層繞流速度基本原理解析求解顆粒表面切力，并將拖拽力用表面切力代替，結合舉升力和顆粒間相互作用力，建立床面顆粒臨界啟動流速模型。

1 巖屑床床面顆粒受力分析

經過大量文獻調研，在不影響計算精度的情況下，建立模型之前做以下假設：①鉆井液為不可壓縮介質；②實際不規(guī)則巖屑顆粒用相同顆粒直徑和球形度的球體顆粒代替；③實際巖屑床面用平均床面代替；④鉆井環(huán)形空間為同心環(huán)空，且鉆桿不旋轉。根據以上假設條件，對床面巖屑顆粒的啟動過程進行分析和模型推導。

1.1 床面巖屑顆粒表面切力

1.1.1 環(huán)空表面繞流切力

井壁與鉆桿形成的環(huán)形空間存在鉆桿壁面和井壁2個壁面，因此環(huán)空鉆井液具有雙速度梯度分布的特點，環(huán)空某一直徑環(huán)形曲面存在最大流速(圖1)。

設最大速度環(huán)形曲面對應半徑Rc，根據E.Bobok[11]給出的表達式計算

(1)

式中：Ri為鉆桿外部半徑；Ro為井眼內部半徑。

引入參數顆粒沉陷度，其定義為床面顆粒相對巖屑床床面陷入的程度

(2)

式中：ζ為顆粒沉陷度；ζ′為顆粒最低點距平均床面距離；rs為巖屑顆粒平均半徑。

如圖2所示，沿圓周選取計算點處為原點建立直角坐標系，繞體積微元圓周位勢流速度分布為

圖2 環(huán)空巖屑床床面不同位置(γ角)處顆粒啟動幾何示意圖Fig.2 Geometry sketch showing particle initiation at different positions (γ angle) of the annulus cuttings bed

(3)

式中：u(rl)為各層體積微元對應主流速度；rl為顆粒中心距中軸線距離。

環(huán)空內最大流速umax可以表示為

(4)

環(huán)空內的速度分布表達式整理為

(5)

式中：卡門常數κ=0.41。當速度分布在Ri→Rc間時，i=1，ΔR=Rc-Ri；當速度分布在Rc→Ro間時，i=2，ΔR=Ro-Rc。u*為摩阻流速，即表面切應力與鉆井液密度比值的平方根；u*1為桿外壁摩阻流速；u*2為井眼內壁摩阻流速。

表面切力表達式為

(6)

ff為液流平均摩阻系數，利用Colebrook-White[12]公式計算

(7)

式中：ε為平均表面粗糙度；Dh為有效水力直徑；Re為液流雷諾數。

假設計算點處的速度分布與距顆粒表面垂直高度y滿足u(y)=ay2+by+c，且邊界條件滿足

(8)

由馮·卡門動量積分方程[13]化簡整理得到

(9)

式中：rβ為β角對應面積微元半徑；ν為流體運動黏度。

流體運動黏度根據下式計算

(10)

式中：n為冪律指數；K為稠度系數；ρ為鉆井液密度。

邊界層厚度δ(α)為

δ(α)=

(11)

(12)

根據該假設條件可得

(13)

其中：b=2u(rl)/(15νrβ)。

作用于微元圓周任一點處切力為

(14)

該點切應力沿著未分離圓周積分，再沿軸線l縱向積分得總切力Fτa

(15)

函數F(a)通過積分上限函數與積分值回歸得到

F(a)=-0.1359a3+1.0201a2-0.5179a+0.0426

(16)

式中：θ為顆粒沉陷處點至顆粒中心的連線與豎直方向的夾角。

β1、β2分別滿足

(17)

式中：γ為顆粒在床面的位置角(圖2)。

圖3 床面顆粒邊界層繞流計算幾何示意圖Fig.3 Geometrical sketch showing the flow calculation of cuttings bed boundary layer

1.1.2 床面邊界層繞流切力

床面顆粒除受到環(huán)空速度梯度的影響，還受到床面黏性底層內切力作用，用Fτb表示。如圖3所示，體積微元C從黏性底層外邊界積分至內邊界，邊界層厚度為

(18)

式中：fb為床面的平均摩阻系數；τb為平均床面切力；δp為床面邊界層厚度。

同時

(19)

式中：βout為黏性底層積分外邊界角，指由頂部到黏性底層外邊界的張角；βin為黏性底層積分內邊界角，指由顆粒頂部至與平均床面接觸點處張角(圖3)。

黏性底層內部速度分布[13]為

(20)

自顆粒頂端向下積分，積分表達式為

(21)

黏性底層內部床面邊界層切力與外部環(huán)空表面切力疊加，得沿流動方向總表面切力Fτ

Fτ=Fτa+Fτb

(22)

1.2 床面顆粒舉升力

液流流經床面顆粒還受舉升力作用。巖屑床沉積程度不同，床內流速ud求解方法不同。

1.2.1 巖屑沉積密實

流態(tài)為層流，根據線性達西滲流公式

(23)

式中：Kp為巖屑床滲透系數；Δp/L為L測量段內的壓降梯度；μ為鉆井液動力黏度。

1.2.2 巖屑沉積非密實

流速較大時，根據Forchheimer歸納實驗數據給出的非達西滲流二項式求解

(24)

式中：βD為非達西系數。

非達西系數按J.Geertsma[14]的表達式計算

(25)

式中：q為巖屑床平均孔隙度(體積分數)。

由Kozeny-Carman[15]多孔介質滲透率Kp的求解公式可得

(26)

式中：c0系數取0.2；Ms為顆粒比表面積，球體顆粒的Ms=3/rs。

(27)

式中：Δps為顆粒上下壓力差值；As為垂直于液流方向顆粒的投影面積。

1.3 顆粒間相互作用力

顆粒與顆粒之間還存在黏結力作用。黃長偉等[16]轉化得到的黏結力表達式

(28)

式中：ξs=4.744×10-6kg/m；指數m=10。

關于干容重與容重比值j，根據文獻[17]對現場實際與室內資料分析研究所得表達式計算

(29)

式中：δs為顆粒表面薄膜水厚度，韓其為[18]建議取0.4 μm；r0為參考顆粒半徑，取0.5 mm。

2 臨界啟動流速模型

(Fτa+Fτb)·L1+(FL-FP)·L2-Fg·L3>0
L1=rs·(1-ζ)
L2=rs·sin[arccos(1-ζ)]
L3=rs·cos[φ-arccos(1-ζ)]

(30)

式中：φ為井斜角；Fg為顆粒在鉆井液中所受浮重

(31)

式中：ρs為巖屑平均密度。

圖4 床面顆粒啟動臨界流速模型計算流程圖Fig.4 Flow chart of calculation of critical incipient velocity model for cuttings bed particle

3 床面顆粒臨界啟動流速模型與實驗對比

3.1 清水為循環(huán)介質的實驗對比

在現場實際中，一般采用清水作為鉆井液介質，故室內實驗以清水為介質；實驗顆粒直徑為2 mm和3 mm，且密度與實際巖屑相近。井筒內直徑為120 mm，鉆桿外直徑73 mm，井斜角為70°。顆粒啟動過程中，應用高速相機捕捉顆粒瞬態(tài)啟動時刻，圖像幀率為0.025 s 。

如圖5所示，模型預測值隨床面高度變化不大，無因次床面高度>0.3時與實驗測量的數值符合較好。預測值與實驗值的絕對誤差控制在0.60%～13.07%，絕對平均誤差為6.41%。當顆粒直徑為2 mm時不需要修正；顆粒粒徑為3 mm時，模型預測值與實驗對比表明誤差較大，因未考慮壓差阻力影響，故引入表面切力修正系數。設壓差阻力為表面切力的b倍。根據顆粒直徑范圍分段修正，當顆粒直徑為3～3.3 mm時，b=0.6。經過修正以后臨界啟動流速預測值與實驗值接近，絕對誤差在2.51%～16.66%之間，絕對平均誤差為8.80%。

圖5 井斜角為70°時臨界流速預測值與清水實驗數據對比Fig.5 Comparison of the predicted value of critical flow velocity with the experimental data of water with drilling well angle of 70°(A)顆粒直徑2 mm; (B)顆粒直徑3 mm

圖7 粒徑=0.45 mm時臨界流速預測值與PAC溶液實驗值對比Fig.7 Comparison of the predicted value of critical flow velocity with the experimental data of PAC solution (particle size 0.45 mm)(A)井斜角90°; (B)井斜角70°

當井斜角為90°時(圖6)，該實驗顆粒直徑范圍為3～3.3 mm，同心環(huán)空井筒內壁直徑203.2 mm，鉆桿直徑101.6 mm；當顆粒直徑>3 mm時，實驗測得的臨界啟動流速隨床面高度變化不大，引入修正系數b=0.7，模型的預測臨界流速與實驗測量值符合得較好，絕對平均誤差為4.84%，絕對誤差最大為8.33%，最小僅為0.29%。

圖6 井斜角90°時臨界流速預測值與清水實驗數據對比Fig.6 Comparison of the predicted value of critical flow velocity and the experimental data of water with drilling well angle of 90°

3.2 PAC溶液為循環(huán)介質的實驗對比

當循環(huán)介質為具有一定黏度的PAC溶液時，將模型計算的臨界啟動流速與M.Q.Duan等[3]實驗數據進行對比(圖7、圖8)。 M.Q.Duan等的文獻中實驗用顆粒直徑分別為0.45 mm和1.4 mm，同心環(huán)空井筒內壁直徑203.2 mm，鉆桿直徑101.6 mm。

如圖7-A所示，臨界啟動流速先增后減，變化區(qū)間較小，無因次床高0.45～0.7時，模型計算值符合實驗規(guī)律，絕對平均誤差為7.06%，最大誤差達到了20.25%；但此時無因次床面高度為0.75，超出了0.45～0.7的適用范圍。當床面高度繼續(xù)增加時，預測值與實驗相差較大，主要原因是預測模型計算時沉陷度不變；而當床高大于0.7時，巖屑床已基本淹沒鉆桿，顆粒因沉陷度降低更易啟動。如圖7-B所示，臨界流速預測絕對平均誤差為2.51%。

當顆粒直徑為1.4 mm時，臨界流速預測值隨無因次床面高度增加而增加。這主要是因為當鉆井液排量增大時，即使流通區(qū)域減小，折算后所需臨界流速也會增大(圖8)。

圖8 粒徑=1.4 mm時臨界流速預測值與PAC溶液實驗值對比Fig.8 Comparison of the predicted value of critical flow velocity with the experimental data of PAC solution (particle size of 1.4 mm)(A)井斜角90°; (B)井斜角70°

當巖屑床孔隙較大時，床面高度對臨界啟動流速的影響較小，如巖屑直徑為2 mm、3 mm時的實驗和90°井斜角時的大顆粒(3～3.7 mm)實驗數據可知，數據圍繞某一流速值振蕩，模型預測結果在巖屑床高度較大時趨于該流速值。

4 有效沖蝕巖屑床的鉆井液臨界排量

還可預測有效沖蝕巖屑床的臨界泵排量，為現場優(yōu)選水平井攜屑排量提供理論指導。

設環(huán)空外圓與內圓半徑的比值Ro/Ri=r*，則巖屑床上方流通區(qū)域橫截面積表達式為

(32)

式中：λo為巖屑床面與井壁交點至井眼軸心處連線與豎直方向的夾角；λi為巖屑床面與鉆桿交點至桿軸心處連線與豎直方向的夾角；h*為無因次床面高度；Af為流通區(qū)域截面積。

可以得到臨界啟動流速與泵排量間轉換關系為

(33)

5 結 論

a.從床面顆粒表面繞流角度解析求解表面切力，當巖屑直徑<3 mm時，可以用表面切力近似代替拖拽力。

b.當鉆井液黏度較低且顆粒直徑>3 mm時，計算拖拽力需要考慮壓差阻力的影響。根據實驗數據回歸結果可知壓差阻力約為表面切力的0.6倍。

c.當循環(huán)液為牛頓流體(清水)時，預測模型所得值最大絕對平均誤差為8.80%；當循環(huán)液為非牛頓流體(PAC溶液)時，最大絕對平均誤差為7.06%。

d.根據臨界啟動流速，可以求得保持沖蝕巖屑床的有效鉆井液臨界排量。