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摘要：運用MFDMA，研究了疊加白噪聲的二項重分形模型的多重分形特征，并與MFDFA進行對比分析。結(jié)果顯示：疊加白噪聲序列會影響MFDMA與MFDFA算法的計算結(jié)果，且在低噪聲強度下的MFDMA算法計算精度優(yōu)于MFDFA算法，隨著噪聲強度的增大，MFDMA對噪聲更為敏感，計算精度下降更快。

關(guān)鍵詞：MFDMA；MFDFA；白噪聲；多重分形

一、研究的目的與意義

多重分形分析，可以運用于描述具有自相似結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的復(fù)雜性分析，刻畫動力學(xué)系統(tǒng)的長期演化和自相似行為，它廣泛應(yīng)用于地質(zhì)學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域[1-2]。研究多重分形的方法有許多種，其中主要研究方法有去趨勢波動多重分形分析（MFDFA）、去滑動均值趨勢多重分形（MFDMA）、熵分析等[3-5]。

在實際數(shù)據(jù)的多重分形分析過程中，分形序列可能含有數(shù)據(jù)噪聲。其中白噪聲是指功率譜密度在整個頻域內(nèi)均勻分布的噪聲，也就是說在一個純隨機過程，白噪聲的期望與方差均為常數(shù)，因此，一般把所有頻率具有相同能量的隨機噪聲稱為白噪聲 [6-7]。

因此，本文將運用二項重分形作為理論模型，MFDMA作為研究方法，探討白噪聲對MFDMA算法的影響，并與MFDFA進行對比分析，為進一步應(yīng)用于實驗數(shù)據(jù)的非線性特征研究提供理論指導(dǎo)。

二、添加白噪聲的算法對比分析

在MATLAB環(huán)境下分別產(chǎn)生數(shù)據(jù)個數(shù)為1024，噪聲強度為1×10-4，5×10-4，1×10-3，5×10-3的白噪聲序列各十組，分別計算這四組白噪聲的均值后疊加到二項重分形原始序列中，然后利用MFDMA方法計算原始序列與疊加白噪聲序列的Hurst指數(shù)圖像，計算結(jié)果如下圖2-1。

圖2-1 MFDMA計算疊加白噪聲序列的Hurst指數(shù)

圖2-1表示使用MFDMA方法分析的Hurst指數(shù)圖像，結(jié)果顯示：當(dāng)q<0時，疊加序列與原始序列的Hurst指數(shù)曲線有偏差，且隨著噪聲強度的增大，偏差逐漸明顯；而q>0時，疊加序列與原始序列的Hurst指數(shù)曲線重合，兩者無偏差；因此說明白噪聲的存在會影響原始序列的分形特征，且隨白噪聲強度的增大，含噪聲序列的Hurst指數(shù)偏離原始序列的Hurst指數(shù)曲線的程度逐步增大。

運用MFDFA算法替代MFDMA，計算含白噪聲的序列，并與MFDFA理論結(jié)果進行對比，結(jié)果如下圖2-2。

圖2-2 MFDFA計算疊加白噪聲序列的Hurst指數(shù)

圖2-2的計算結(jié)果顯示：當(dāng)q>0時，疊加噪聲序列與原始序列的Hurst指數(shù)曲線重合，兩者無偏差；當(dāng)q<0時，疊加序列與原始序列的Hurst指數(shù)曲線有偏差，且隨著噪聲強度的增大，偏差逐漸明顯；疊加噪聲序列的Hurst指數(shù)結(jié)果會偏離原始數(shù)據(jù)的Hurst指數(shù)理論值，而且隨著噪聲強度的增大，偏離程度增大。

根據(jù)圖2-1與圖2-2的結(jié)果，顯示MFDMA與MFDFA計算疊加白噪聲序列的Hurst指數(shù)具有相似的結(jié)果，因此提取圖形中的Hurst指數(shù)具體數(shù)值，進行均方根誤差分析，結(jié)果如下表2-1。

根據(jù)表2-1的計算結(jié)果顯示，在1×10-4倍白噪聲的疊加作用下，使用MFDMA方法計算的Hurst指數(shù)原始序列與疊加序列的均方根誤差小于運用MFDFA計算得到的結(jié)果，說明白噪聲強度小，MFDMA相較于MFDFA依然更加穩(wěn)健，然而，隨著噪聲強度的增加，MFDMA相較于MFDFA，均方根誤差值逐漸增大，且增幅明顯，說明MFDMA對白噪聲相較于MFDFA更加敏感。因此，當(dāng)白噪聲強度較高時，MFDFA相較于MFDMA的計算結(jié)果更加趨于理論值；而當(dāng)白噪聲強度較低時，MFDMA則顯示出更加穩(wěn)定的計算結(jié)果。

三、結(jié)論

本文以二項重分形序列為研究對象，對比分析了MFDMA與MFDFA在疊加白噪聲序列下的多重分形特征。實驗結(jié)果顯示：MFDMA在處理疊加低強度噪聲的序列時，計算結(jié)果相較于MFDFA更穩(wěn)定，而隨著噪聲強度的增加，MFDMA對白噪聲更為敏感，對疊加噪聲序列的多重分形分析具有較強的非平穩(wěn)性。造成這種現(xiàn)象的原因在于MFDMA它是通過計算每一個滑動窗口的平均值來進行擬合計算，可以減少由多項式擬合在分割連接點的不連續(xù)性所引起的偽波動誤差，然而疊加噪聲序列會由于MFDMA在滑動窗口均值擬合計算過程中，對噪聲數(shù)據(jù)也重復(fù)進行擬合計算，從而造成計算結(jié)果偏離理論值，因此，在實際數(shù)據(jù)的計算過程中，需要對數(shù)據(jù)進行降噪處理，從而使MFDMA得計算結(jié)果更加準(zhǔn)確。

參考文獻(xiàn)

[1]謝和平，薛秀謙. 分形應(yīng)用的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與方法[M]. 科學(xué)出版社，1997.

[2]朱 華，姬翠翠. 分形理論及其應(yīng)用[M]. 北京：科學(xué)出版社，2011：207-221.

[3]孫霞，吳自勤，黃畇.分形原理及其應(yīng)用[M]. 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2006.

[4]Ihlen E A F. Multifractal analyses of response time series：a comparative study[J]. Psy Soc，2013，45：928-945.

[5]奚彩萍，張淑寧，熊剛，等. 多重分形降趨波動分析法和移動平均法的分形

[6]譜算法對比分析[J]. 物理學(xué)報，2015，64：1364031-13640314.

[7]Xie D Y，Wan L，Zhu Y Q，et al. Noise effect on multifractal detrended fluctuation analysis based on element enrichment model[J]. Advanced Materials Research，2014，1008-1009：1548-1551.

[8]吳雪梅，婁珀瑜. 論隨機噪聲對光譜測量的影響[J]. 計算機與應(yīng)用化學(xué)，2011，28：1343-1345.

基金項目：本文為東莞理工學(xué)院城市學(xué)院青年教師發(fā)展基金《項目名稱：基于去滑動均值趨勢的多重分形方法的研究及其應(yīng)用》項目（項目編號：2018QJY004Z）

（作者單位：東莞理工學(xué)院城市學(xué)院）