卓亦超

(福建建工集團有限責任公司 福建福州 350003)

0 引言

歐幾里得幾何原理作為最基本元素構成了人類文明史上的絕大部分建筑，哥特式建筑也不例外。在歐氏幾何與非歐氏幾何的發(fā)展中，建筑造型隨著時間的推移，文化的傳承體現(xiàn)出了不同的地域特征和迥異的風格。而老建筑往往比現(xiàn)代建筑更容易讀懂，因為他們具有視覺深度(A. Crompton, 2008)[1]?；诖?，本文擬以維度分析法論證可特式建筑的多重分形關系。

1 概況

哥特式建筑起源于12世紀的法國，源自羅曼式建筑，在中世紀時期的西歐得到盛行和發(fā)展?，F(xiàn)存的絕大部分哥特式建筑為教堂建筑，也是本文分析選材的主要來源。在大部分的研究和觀察中發(fā)現(xiàn)哥特式建筑存在著分形的層級關系。

“分形”一詞是在20世紀70年代由美籍數(shù)學家曼德爾布羅特(Mandelbrot)提出并用來解釋一系列自然現(xiàn)象，而今分形這個概念被廣泛應用與闡述一系列難以解釋卻擁有規(guī)律的圖形分析[2]。本文的研究方式建立在國外學者在建筑學范疇的研究成果上，發(fā)現(xiàn)視覺深度的剖析方法能夠良好地運用在層級分析上，并且能夠運用在平面的功能分析之中，而非單純地對建筑進行簡單的圖形規(guī)律進行歸納。分形同時也作為一座連接了科學與藝術的橋梁廣泛運用于建筑設計的分析中。

分形幾何是在歐幾里得幾何之后最令人振奮的前沿領域之一，它將數(shù)學和信息技術的理論基礎呈現(xiàn)出多種多樣的分析方法。分形可以定義為粗糙或者是碎片狀的幾何形態(tài)，并且可以被細分成不同的部分，每個部分都是整體的比例縮小的循環(huán)復制。人們對分形研究的多樣性感到驚訝，分形還能用以研究這些領域：語言學、宇宙學、經濟學、博弈論等方面[3]。以米蘭大教堂的為例，根據(jù)劍橋大學的論文數(shù)據(jù)(圖1～圖3)可以看出：在歐幾里得幾何體系下的建筑主體結構呈現(xiàn)出以中央大廳為主向兩翼衍生的尖券體系，拱券是構成的基本元素，存在一定的分形特征。圖3顯示的是逐步細分的柱式比例關系，其平面與立面同樣延續(xù)著這套平面與立面相呼應的范式。所有分形都有一種內建的遞歸形式[2]。有時，遞歸在分形的構造中是可見的。例如Sierpinski三角形(圖4)，Koch集(圖5)等都是用簡單的遞歸規(guī)則生成的。

圖1 米蘭大教堂主體結構的拱券分析[4]

圖2 米蘭大教堂拱券的主從關系[5]

圖3 柱式法則[4]

圖4 Sierpinski三角形圖5 Koch集

自相似性是一種屬性也是一種邏輯，通過自相似性，對象可以在任意比例下循環(huán)復制。分形對象經歷了一種維度變化，即結構的維數(shù)都被相同的比例因子改變，那么它就具有自相似性的特征。生成的形狀可以是更大、更小、平移或者旋轉的關系呈現(xiàn)。

相似則意味著形狀的邊和內角保持不變，正如《自然界的分形幾何》中所描述的：自相似性是自然界中普遍存在的[2]。美國物理學家羅伯特·奧本海默(Oppenheimer)使用“分形”一詞與自相似性進行交換，并肯定了自相似性的幾何概念成為自然界結構的范式。

分形幾何應用于建筑中的討論可能會導致領域不明確[6]。但值得一提的是，一個建筑元素僅僅是近似分形的，因為它不可能擁有無限小的細節(jié)，因此，并不能單獨談論分形建筑學，而更希望使用分形組件對建筑進行分析。

2 理論模型

本文在視覺深度的分析方法上進行更詳細的參數(shù)化研究，并融入圖片分形維度的分析方法，分別從建筑的水平和豎向兩個維度對建筑的平面、立面、圖案等元素進行分層次剖析。

水平方向上，以建筑的平面圖為數(shù)據(jù)，垂直方向以建筑的實景照片為數(shù)據(jù)。針對建筑平面、立面的分析方法解決要點是將相關圖紙或圖形在Wolfram Mathematica應用中進行二值化(binarize)后按照像素點進行繪制分析，通過生成的圖片結果進行判別、取值等。同時，借助計盒法(box counting)得出圖片的分形維度。圖6～圖8中顯示的是計盒法在以英國海岸線分形維度計算的模擬結果。通過不同大小的正方形沿著多段線進行等距陣列從而得到不同視覺深度下的圖形，側面佐證了分形的經典案例——英國的海岸線有多長[2]。

圖6 計盒法第一階段下的英國海岸線

圖7 計盒法第三階段下的英國海岸線

圖8 計盒法第四階段下的英國海岸線

研究的第一步，是從所有被研究的案例中盡可能多提取圖形文件。主要資料來源于WolframAlpha中的大數(shù)據(jù)以及多種主流搜索引擎下的資料。然而，計盒法在視覺深度的分析上有其局限性，即多用于邊界分析，而無法對整張完整的圖片進行分層次的、像素化的分析。故對此分析方法進行重新設計，主要手段有“邊界檢測”功能：通過調節(jié)“閥值”和像素點的“范圍”對導入的圖片進行重新繪制，以得到純粹的黑白線圖(二進制圖片)。如此，一是提高了二次導入數(shù)據(jù)的準確性，避免彩色圖片和灰度圖片對成果產生不必要的干擾；二是簡化了CAD人工繪圖的工序(圖13、圖15、圖17)，通過“邊界檢測”功能極大地削減了人工繪圖時間，從而提高了數(shù)據(jù)分析效率。

“圖像維度”，同樣在本文的實驗中得到運用，該步驟是維度分析的核心，并最終成為繪圖的重要數(shù)據(jù)源。最終，將生成的數(shù)據(jù)進行繪圖(代碼：Fit[Log[data], {1, x}, x])，得到如圖10～圖12、圖14、圖16、圖18所示的對數(shù)點陣坐標圖。以此為例，對不同視覺深度下的圖片進行多輪次分析和數(shù)據(jù)表達。

本文所示的方法，在平面分析上基本客觀準確，但在立面的分析上存在一定的局限性和主觀性，即針對立面的分形分析方法在“邊界檢測”階段便產生了一定的認為主觀判斷因素，從而導致了每次的分析成果是隨機的，是存在區(qū)間性的。由于篇幅限制，無法將區(qū)間內的所有數(shù)據(jù)詳細展示。

3 分析對象及方法

在建筑規(guī)模和文化傳承上科隆大教堂、米蘭大教堂、巴黎圣母院，是歐洲哥特式建筑的經典，分別代表了德國、意大利、法國的經典哥特式建筑，本文挑選以上幾座哥特式建筑作為分析對象。為確保數(shù)據(jù)運算的準確性，作者采用該理論模型對文中的Koch集圖形進行分形維度分析，結果如圖10所示。形成的點陣圖并非直線，而是根據(jù)圖像的細分程度和分形維度分別呈現(xiàn)出非線性的變化和走勢度。

圖9 科隆大教堂不同視覺深度下的立面測繪圖

圖10 本文中Koch集的分形維度

圖11 科隆大教堂較少細節(jié)的立面分形維度

圖12 科隆大教堂較多細節(jié)的立面分形維度

從分析中得出，科隆大教堂的較多(較深的視覺深度)和較少(較淺的視覺深度)兩種情況下的分形維度計算結果分別為：14.8488+2.03718x和12.5964+1.65322x，平面的分形維度為：10.0828+1.53433x。根據(jù)點陣圖的走勢分析得出：具有更多細節(jié)視覺深度的立面與平面的視覺深度的分形維度基本接近，說明同一建筑的平面與立面是相對統(tǒng)一而且和諧的，也側面說明了同一建筑的多重分形結構。

圖13 科隆大教堂平面

圖14 科隆大教堂平面分形維度

圖15 米蘭大教堂的立面測繪圖

圖16 米蘭大教堂的立面分形維度

4 理論總結

人工繪圖導入分析的優(yōu)勢在于精準的繪制特定大小的“盒子”，并可以進行矢量化的操作，如：計數(shù)、面積統(tǒng)計、周長計算、數(shù)據(jù)索引等。然而人工繪圖的方法需要建立在大量的測繪數(shù)據(jù)基礎之上，從數(shù)據(jù)的獲取上存在較大難度，難以短期內收集完整的資料，且繪制計算機矢量圖的過程中也伴隨著數(shù)據(jù)的損失和人工判別的過程。事實上，人工繪圖的成果是經歷了一輪非理想狀態(tài)的編制，而二值化的圖形“圖像維度”分析法不僅在繪制時間上超越了人工繪圖。但“圖像維度”分析法在計算機生成的成果為位圖圖像，通過將來的研究或許可以得到進一步改進，如：在數(shù)據(jù)統(tǒng)計方面的優(yōu)勢上形成互補。

圖像維度的分析方法在哥特式建筑中的運用，所展示的多重分形關系是本文所探討的重點。通過對比圖11、圖12、圖14的分形維度點陣圖的走勢分析不難得出：科隆大教堂在不同細分程度上的分形維度呈現(xiàn)出不同的點陣圖走勢，視覺深度越高則展示出更高的迭代次數(shù)；米蘭大教堂的圖像分形維度則顯得更為均勻，且呈階梯式上升的趨勢；巴黎圣母院的分形維度更接近圖10中的Koch集經典分形圖形的點陣走勢。

圖17 巴黎圣母院的立面測繪圖

圖18 巴黎圣母院的立面分形維度

5 討論

圖像維度分析是建立在典型分形幾何模式下的非經典分形圖形的理論模型，它不同于經典分形幾何中的整數(shù)迭代分形，在分析手段、研究對象、數(shù)據(jù)成果中仍有較大的發(fā)展和進步空間。特別是在參數(shù)化設計的評定方面具有較大潛質，可作為參數(shù)化設計的理論依據(jù)亦可作為分形幾何與歐氏幾何的橋梁。

6 結語

通過上述針對哥特式建筑立面為主的分析，輔以分析可見，該視覺深度的理論模型在圖像維度計算中能夠快速地取得所需數(shù)據(jù)，并從實驗數(shù)據(jù)中繪制出與實際情況相稱的點陣圖，而且能夠直觀地對分析成果進行剖析和解讀。將建筑之美通過數(shù)學分析方法進行佐證和總結。以此為藍本，該分析方法或許也可以運用在版面設計、圖形設計的理論分析上。