林曉東，林浩

(同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海市 200092)

公路隧道設(shè)計(jì)從傳統(tǒng)的強(qiáng)度驗(yàn)證和穩(wěn)定性驗(yàn)證，逐漸向關(guān)注結(jié)構(gòu)變形控制的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)方法轉(zhuǎn)變。隧道沉降是反映隧道結(jié)構(gòu)安全性的一個(gè)重要指標(biāo)，根據(jù)沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)分析結(jié)構(gòu)當(dāng)前安全狀態(tài)，預(yù)測(cè)沉降的發(fā)展趨勢(shì)，在實(shí)際工程中具有重要的意義。目前，隧道沉降的計(jì)算預(yù)測(cè)方法主要采用理論解析和數(shù)值模擬實(shí)現(xiàn)，如修正的Peck經(jīng)驗(yàn)公式、基于彈性地基理論推導(dǎo)的縱向變形表達(dá)式、隧道數(shù)值模型和室內(nèi)模型試驗(yàn)等。這類方法以土力學(xué)為基礎(chǔ)，由于地質(zhì)環(huán)境的隱蔽性與復(fù)雜多變性，土體物理力學(xué)參數(shù)存在隨機(jī)性和不確定性，獲取準(zhǔn)確信息難度大，而且土體本身是非均質(zhì)和各項(xiàng)異性的復(fù)雜介質(zhì)，故此類預(yù)測(cè)方法難度較大。

近年有學(xué)者采用智能算法對(duì)隧道沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)，如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)與蒙特卡羅方法和灰色理論預(yù)測(cè)等模型均應(yīng)用于沉降的預(yù)測(cè)，智能算法對(duì)于歷史數(shù)據(jù)的擬合和未來數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)相對(duì)其他方法更準(zhǔn)確，但這類方法不具有明確的物理含義，輸入數(shù)據(jù)經(jīng)過復(fù)雜的函數(shù)映射，在實(shí)際應(yīng)用中很難解釋訓(xùn)練的模型，甚至在數(shù)據(jù)較少的情況下，會(huì)出現(xiàn)過擬合的現(xiàn)象。

常用的具有完善理論推導(dǎo)和明確物理意義的模型有馬爾科夫和時(shí)間序列模型，如馬爾科夫鏈模型能較好地模擬沉降變形過程的隨機(jī)性，時(shí)間序列模型可結(jié)合外部輸入分析外部荷載、土體擾動(dòng)等對(duì)沉降預(yù)測(cè)的影響。此類模型在建立時(shí)不需考慮反映系統(tǒng)的物理規(guī)律，而且可識(shí)別系統(tǒng)中的白噪聲，被證明是一種簡(jiǎn)單并有效的方法。但傳統(tǒng)的馬爾科夫和時(shí)間序列模型忽略了模型之間的相關(guān)性，如一般的沉降監(jiān)測(cè)在空間上是均勻布置的，靠得越近的監(jiān)測(cè)序列理論上相關(guān)性越高，考慮相關(guān)性可為模型預(yù)測(cè)提供更多信息。

綜上所述，該文在時(shí)間序列模型基礎(chǔ)上：① 采用向量式時(shí)間序列模型，模擬多維時(shí)間序列變量當(dāng)期量與滯后項(xiàng)的關(guān)聯(lián)性；② 引入結(jié)構(gòu)性方程，建立模型變量之間的當(dāng)期相關(guān)關(guān)系，即在時(shí)間序列方程的左右端均包含變量的當(dāng)期值。以上海某一公路隧道工程為案例，說明向量-結(jié)構(gòu)時(shí)間序列的應(yīng)用，并與傳統(tǒng)時(shí)間序列進(jìn)行對(duì)比。

1 時(shí)間序列模型概述

1.1 自回歸模型

自回歸的p階模型記作AR(p)，是用自身做回歸變量，對(duì)于p階自回歸序列{yt}滿足方程：

yt=ρ1yt-1+…+ρpyt-p+εt

(1)

式中：εt為擾動(dòng)項(xiàng)，即模型在t期無法解釋的部分，且εt獨(dú)立于y1,…,yt-p；ρj為當(dāng)前數(shù)據(jù)與j階滯后的關(guān)系。定義滯后算子L為：

Lkyt=yt-k

(2)

則式(1)可重寫為：

ρ(L)yt=εt

(3)

式中：ρ(L)=1-ρ1L-…-ρpLp，為AR模型的特征多項(xiàng)式。

1.2 滑動(dòng)平均模型

滑動(dòng)平均模型記作MA(q)，形式為：

yt=εt+θ1εt-1+…+θqεt-q=θ(L)εt

(4)

式中：θ(L)=1+θ1L+…+θqLq，為MA模型的特征多項(xiàng)式。

1.3 自回歸滑動(dòng)平均ARMA模型

自回歸滑動(dòng)平均模型是由AR模型和MA模型組合得到，記作ARMA(p,q)，聯(lián)立式(3)、(4)可得：

ρ(L)yt=θ(L)εt

(5)

2 向量-結(jié)構(gòu)時(shí)間序列

2.1 向量式

向量式(Vector)時(shí)間序列是根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)建立的模型，其將系統(tǒng)中每一個(gè)變量當(dāng)作所有內(nèi)生變量滯后值的函數(shù)，將單變量的時(shí)間序列推廣至多變量的時(shí)間序列，即向量式時(shí)間序列，對(duì)于自回歸模型，其向量式(Vector AR，記作VAR)為：

yt=Φ1yt-1+…+Φpyt-p+εt

(6)

式中：yt為k維時(shí)間序列變量；p為滯后階數(shù)；k×k維矩陣Φ為待估計(jì)參數(shù)；εt為k維擾動(dòng)列向量。

考慮式(2)的滯后算子，式(6)可表示為：

Φ(L)yt=εt

(7)

式中：Φ(L)=1-Φ1L-…-ΦpLp，為向量式自回歸模型特征向量。如果行列式det[Φ(L)]的根都在單位圓外，可將式(7)表示為：

yt=Φ(L)-1εt=A(L)εt

(8)

式中：A(L)=A0+A1L+…+AqLq。

式(8)為滑動(dòng)平均模型的向量式(Vector MA，記作VMA)，即自回歸模型的向量式與滑動(dòng)平均模型的向量式在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)換的。

由式(6)、(8)可知：在方程的右邊僅出現(xiàn)了變量系統(tǒng)的滯后值，不存在變量的同期聯(lián)系，可采用普通的最小二乘法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

2.2 結(jié)構(gòu)式

如前所述，向量式時(shí)間序列沒有建立變量的當(dāng)期關(guān)系，而當(dāng)期關(guān)聯(lián)性信息被包含在擾動(dòng)項(xiàng)εt中。可在向量式時(shí)間序列的基礎(chǔ)上，引入結(jié)構(gòu)性方程，即結(jié)構(gòu)式(Structure)，對(duì)于k個(gè)變量，p階的結(jié)構(gòu)-向量自回歸模型(Structural Vector AR，記作SVAR)為：

C0yt=Γ1yt-1+…+Γpyt-p+ut

(9)

式中：

(10)

(11)

C(L)yt=ut

(12)

式中：C(L)=C0-Γ1L-…-ΓpLp，為結(jié)構(gòu)式自回歸模型的特征多項(xiàng)式。

如果矩陣多項(xiàng)式C(L)可逆，由式(13)可以得到結(jié)構(gòu)-向量平均滑動(dòng)模型(Structural Vector MA，記作SVMA)為：

yt=C(L)-1ut=B(L)ut

(13)

聯(lián)立式(8)、(13)可得：

A(L)εt=B(L)ut

(14)

即由向量式的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，可計(jì)算得到結(jié)構(gòu)式的參數(shù)。

3 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

以自回歸滑動(dòng)平均AR模型為例，其拓?fù)潢P(guān)系如圖1所示，由式(1)可知AR模型的下一次預(yù)測(cè)為多個(gè)滯后項(xiàng)與同期的擾動(dòng)項(xiàng)組成，由式(4)得MA模型的下一次預(yù)測(cè)由多個(gè)滯后擾動(dòng)項(xiàng)組成，擾動(dòng)項(xiàng)觀測(cè)不到，只能通過模型從t=0時(shí)刻開始迭代計(jì)算，如圖1描述的每一時(shí)間序列只與該時(shí)間序列歷史數(shù)據(jù)有關(guān)，即每一序列都是獨(dú)立的。

結(jié)構(gòu)-向量時(shí)間序列模型則可從時(shí)間和空間兩個(gè)維度進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，其拓?fù)潢P(guān)系原理如圖2所示，空間關(guān)聯(lián)性體現(xiàn)在：① 時(shí)間序列的當(dāng)期值不僅僅由該序列的滯后項(xiàng)組成，還與在空間上相鄰的時(shí)間序列的滯后項(xiàng)有關(guān)系，形式上將ARMA模型擴(kuò)展成向量式形式，即時(shí)空時(shí)間序列；② 不同時(shí)間序列的同期變量，采用結(jié)構(gòu)性方程建立同期之間的關(guān)聯(lián)性，以考慮同期變量之間的相互作用。

圖1 自回歸滑動(dòng)平均模型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖2 結(jié)構(gòu)-向量時(shí)間序列模型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

4 建模步驟

結(jié)構(gòu)-向量時(shí)間序列模型的建模步驟如圖3所示，首先選擇參與建模的時(shí)間序列，采用AR根特征檢驗(yàn)方法驗(yàn)證變量系統(tǒng)是否穩(wěn)定，如果特征多項(xiàng)式的根的倒數(shù)均小于1，則變量系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若時(shí)間序列系統(tǒng)不穩(wěn)定，應(yīng)采用差分、去除趨勢(shì)、調(diào)整模型變量等方法對(duì)變量進(jìn)行處理。

確定變量系統(tǒng)后，可根據(jù)AIC(Akaike Information Criterion)或BIC(Bayes Information Criterion)信息準(zhǔn)則確定滯后階數(shù)：

AIC=-2l/T+2n/T

(15)

BIC=-2l/T+nlnT/T

(16)

式中：n為被估計(jì)的參數(shù)總數(shù)；T為樣本長(zhǎng)度；通過假定服從多元正態(tài)分布計(jì)算對(duì)數(shù)似然值l為：

(17)

圖3 結(jié)構(gòu)-向量時(shí)間序列的建模步驟

5 工程應(yīng)用

以上海某一公路隧道為工程案例，比較傳統(tǒng)時(shí)間序列模型和結(jié)構(gòu)-向量時(shí)間序列模型的預(yù)測(cè)效果。該公路隧道于20世紀(jì)90年代建成，全長(zhǎng)約742 m，在隧道上每隔20 m左右布設(shè)沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)，從1996年開始至2012年，每年進(jìn)行兩次沉降監(jiān)測(cè)，隧道全線的歷史沉降曲線如圖4(a)所示。該文選取s20監(jiān)測(cè)點(diǎn)作為研究對(duì)象，其監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如圖4(b)所示。

圖4 隧道沉降數(shù)據(jù)描述

5.1 傳統(tǒng)時(shí)間序列

由圖4(b)和穩(wěn)定性分析知監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)并非平穩(wěn)時(shí)間序列，經(jīng)分析采用沉降數(shù)據(jù)的二階差分2s作為預(yù)測(cè)時(shí)間序列，根據(jù)序列的自相關(guān)系數(shù)函數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)函數(shù)，以及AIC和BIC信息準(zhǔn)則，確定采用AR(3)模型進(jìn)行模擬，參數(shù)估計(jì)結(jié)果為：

(18)

該模型的沉降二階差分預(yù)測(cè)結(jié)果如圖5(a)所示，擬合R2=0.685，殘差結(jié)果如圖5(b)所示，經(jīng)驗(yàn)證符合均值為0的白噪聲序列。

圖5 傳統(tǒng)時(shí)間序列模型分析結(jié)果

5.2 結(jié)構(gòu)-向量時(shí)間序列

對(duì)于向量式時(shí)間序列模型，根據(jù)式(6)可構(gòu)造模型：

(19)

采用普通最小二乘法對(duì)式(19)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表1所示。

表1 向量式時(shí)間序列模型參數(shù)估計(jì)

對(duì)于結(jié)構(gòu)式，式(10)的C0矩陣，假設(shè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的相互作用是一樣的，即c12=c21，c13=c31，c23=c32，對(duì)矩陣C0進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的結(jié)果為：

(20)

由式(20)可知：相互作用最大的為空間上較近的s20與s21監(jiān)測(cè)點(diǎn)，相關(guān)性為0.67，而相互作用最小的為空間上最遠(yuǎn)的s20與s22監(jiān)測(cè)點(diǎn)，相關(guān)性為0.49，基本符合對(duì)隧道沉降的認(rèn)知規(guī)律。

該模型的沉降二階差分預(yù)測(cè)如圖6(a)所示，擬合值為0.850，殘差如圖6(b)所示，經(jīng)驗(yàn)證符合均值為0的白噪聲序列。

5.3 沉降數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)

采用結(jié)構(gòu)-向量時(shí)間序列對(duì)s20監(jiān)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行擬合與預(yù)測(cè)，由5.2節(jié)的二階差分結(jié)果還原回原始沉降，如圖7所示，對(duì)于沉降數(shù)據(jù)的擬合值R2為0.985。由結(jié)果可以看出：實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)在2009—2012年呈回彈趨勢(shì)，模型預(yù)測(cè)在2014年左右回彈至120 mm。另外，由于時(shí)間序列模型屬于隨機(jī)過程的一種，在進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)時(shí)，隨著預(yù)測(cè)時(shí)間延長(zhǎng)，其誤差區(qū)間也將越大，該模型適用于短期預(yù)測(cè)。

圖6 結(jié)構(gòu)-向量時(shí)間序列模型分析結(jié)果

圖7 沉降數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果

5.4 空間相關(guān)性討論

由于SVAR模型參數(shù)較多，需要的樣本量會(huì)比ARMA模型多，以上述SVAR(3)模型為例，該模型總共有 3 個(gè)變量，每個(gè)變量的時(shí)間序列數(shù)據(jù)均為 33 條記錄，由于采用二階差分和三階滯后的原因，每個(gè)變量實(shí)際對(duì)應(yīng)的方程為28個(gè)，總共有結(jié)構(gòu)性方程組84組，考慮滯后階數(shù)為3的模型待估計(jì)參數(shù)有27個(gè)，即1個(gè)待估計(jì)參數(shù)對(duì)應(yīng)著3.1個(gè)樣本。

同理可以計(jì)算得到如果選擇SVAR(4)、SVAR(5)、SVAR(6)、SVAR(7)模型，每個(gè)評(píng)估參數(shù)對(duì)應(yīng)的樣本分別為 2.3、1.9、1.6和1.3個(gè)，待估計(jì)參數(shù)對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)太少，會(huì)出現(xiàn)“過擬合”的現(xiàn)象，估計(jì)結(jié)果不一定可靠。該節(jié)以試驗(yàn)性為目的，研究SAVR(4)和 SVAR(5)模型的結(jié)果，如圖8所示，圖中X軸為公路隧道中的不同監(jiān)測(cè)點(diǎn)，Y軸為結(jié)構(gòu)-向量時(shí)間序列系統(tǒng)中其他監(jiān)測(cè)點(diǎn)變量的距離，Z軸則是計(jì)算得到的不同距離監(jiān)測(cè)點(diǎn)之間的相互作用。由圖8可知：三維網(wǎng)格表現(xiàn)為傾斜的趨勢(shì)，大體上相互作用大小隨著監(jiān)測(cè)點(diǎn)距離加大而不斷減少，可認(rèn)為沉降數(shù)據(jù)在空間上相距越近其關(guān)聯(lián)性越大。

圖8 空間相關(guān)性分析結(jié)果

6 結(jié)論

針對(duì)目前對(duì)隧道沉降數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)方法未考慮數(shù)據(jù)空間關(guān)聯(lián)性的問題，建立了隧道沉降的自回歸滑動(dòng)平均模型和結(jié)構(gòu)向量時(shí)間序列模型，可得如下結(jié)論：

(1)介紹自回歸模型與滑動(dòng)平均模型的原理，針對(duì)某一隧道沉降數(shù)據(jù)建立AR(3)模型，該模型對(duì)于監(jiān)測(cè)點(diǎn)的平穩(wěn)沉降二階差分?jǐn)M合值R2為0.685。

(2)考慮到ARMA模型每次只能對(duì)一條時(shí)間序列進(jìn)行建模，為同時(shí)分析多條沉降時(shí)間序列和時(shí)間序列之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)合結(jié)構(gòu)方程方法和時(shí)間序列模型，建立結(jié)構(gòu)向量時(shí)間序列SVAR(3)模型，該模型對(duì)于監(jiān)測(cè)點(diǎn)的平穩(wěn)沉降二階差分?jǐn)M合值R2為0.857以上，原始沉降數(shù)據(jù)的擬合值R2為0.985以上。