馮國瀚，陳進昌，雷俊卿*

(1.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京市 100044；2.中鐵工程設(shè)計咨詢集團有限公司)

目前已建成的懸索橋以單跨懸索橋居多，而隨著跨度的增大，再增大單跨懸索橋的跨徑從設(shè)計和施工方面來說，都不是特別的經(jīng)濟。特別對于寬水面的江河和海域，多塔懸索橋就凸顯出特有的優(yōu)勢。但是多塔懸索橋也有致命的缺點，就是由于中間塔沒有邊錨索的有效約束，在荷載作用下，整個結(jié)構(gòu)會有較大的變形。增加中間橋塔的剛度可以減小這種結(jié)構(gòu)變形，但是會使橋塔的底部承受巨大的彎矩與剪力，所以這種方法并不可取。由于傳統(tǒng)懸索橋的這個缺點，一些研究者就從改變懸索橋的結(jié)構(gòu)入手，提出了雙纜懸索橋這種新型結(jié)構(gòu)，并進行了基本的力學(xué)分析，說明了雙纜懸索橋的合理性。柴生波等通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)及有限元模擬詳細分析了單跨及多跨雙纜懸索橋的力學(xué)特性，研究表明：相比于傳統(tǒng)的多塔懸索橋，雙纜多塔懸索橋在承受不平衡力時，塔頂位移及跨中撓度明顯減小。雖然有很多學(xué)者都研究了雙纜懸索橋的力學(xué)特性，但是他們在研究單跨雙纜懸索橋時，將主塔塔頂作為約束處理，并沒有考慮橋塔的約束剛度，該文考慮橋塔約束剛度對單跨雙纜懸索橋的受力特性，并推導(dǎo)相關(guān)理論公式，分析力學(xué)特性的本質(zhì)。

1 雙纜懸索橋結(jié)構(gòu)特點

與傳統(tǒng)懸索橋不同的是雙纜懸索橋有兩根主纜，而且主纜的垂跨比不同，如圖1所示，因此在受力時與傳統(tǒng)懸索橋存在區(qū)別，雙纜懸索橋通過協(xié)調(diào)變形調(diào)節(jié)力在兩根主纜的分配比例。

圖1 單跨雙纜懸索橋示意圖

文獻[8]詳細推導(dǎo)了雙纜懸索橋在承受均布恒載的情況下，吊索內(nèi)力分配比值的理論計算公式，并探究了其力學(xué)特性，研究表明：單跨雙纜懸索橋在承受集中力作用時變形特性與傳統(tǒng)的懸索橋類似，豎向剛度相比于傳統(tǒng)懸索橋也沒有明顯的提高。但是當(dāng)多塔懸索橋采用雙纜時，雙纜懸索橋的優(yōu)勢就被體現(xiàn)出來。柴生波等學(xué)者就提出等效虛擬纜的概念來研究多塔雙纜懸索橋的力學(xué)特征。傳統(tǒng)的多塔懸索橋在承受不平衡活載時，需要通過主纜發(fā)生較大的變形來平衡，而雙纜懸索橋則是通過改變水平力在上下主纜的分配比例來平衡這種力，所以雙纜懸索橋就具有較大的豎向剛度和抵抗變形的能力。

文獻[8]在推導(dǎo)雙纜懸索橋吊索內(nèi)力分配比值的理論計算公式時，假設(shè)橋塔的塔頂是固定約束不可移動的，在成橋時這種假設(shè)是正確的，因為成橋時所有點的位置都要到達指定的坐標(biāo)，也就相當(dāng)于在均布恒載作用下，塔頂順橋向位移為0。此時可以采用此公式求出各主纜承受力的大小，然后將雙纜懸索橋看成兩根單纜懸索橋來求成橋的初始狀態(tài)，繼而進行非線性分析，這是一個非常好的計算公式。但是當(dāng)雙纜懸索橋在承受活載時，橋塔塔頂并非不動，所以就不能將橋塔塔頂看成約束點來處理，而要考慮它的剛度。懸索橋在成橋后，主要是承受各種活載，尤其對于承受活載較大的鐵路橋梁，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)胤治龀龌钶d在上下纜之間的分配原則對橋梁設(shè)計及優(yōu)化都是必要的。

2 單跨雙纜懸索橋計算理論

在懸索橋作用均布荷載時，需要分析出均布荷載在上纜和下纜之間的分配關(guān)系，這樣才能進行結(jié)構(gòu)分析，所以推導(dǎo)出荷載在上纜和下纜之間的分配關(guān)系影響因素和相關(guān)公式非常必要。

2.1 基本假設(shè)

(1)假設(shè)活載均布加載到加勁梁上，即認(rèn)為下吊索的每根吊索上的力相同，上吊索每根吊索上的力相同。

(2)不考慮吊索的彈性伸長，即認(rèn)為每根吊索的頂端和底端的位移相同。

(3)考慮懸索橋塔頂?shù)目v橋向位移，不考慮豎向位移，豎向位移認(rèn)為是0。

計算圖式如圖2所示。

圖2 雙纜懸索橋理論計算圖

圖2中，H1為上主纜的水平張力；H2為下主纜的水平張力；f1為上纜的垂度；f2為下纜的垂度；k為橋塔的約束剛度；L為單跨懸索橋主跨的跨度；S1為主跨上纜的索長；S2為主跨下纜的索長。

2.2 理論公式推導(dǎo)

懸索橋主纜長度S可通過垂跨比n和跨徑L得到：

(1)

式(1)中垂跨比n=f/L,考慮主塔頂?shù)目v向位移，即認(rèn)為L不是定值，對式(1)求導(dǎo)：

(2)

為了方便后面公式的書寫，在這里用字母a和b來替代上面復(fù)雜的代數(shù)式，即：

(3)

(4)

因此式(2)簡寫為：

dS=adL+bLdn

(5)

主纜的應(yīng)變ε為：

(6)

主纜的應(yīng)變ε同樣可以近似等于：

(7)

式中：H為主纜的水平力；E為主纜的彈性模量；A為主纜的截面面積，如果主纜的垂度為f,作用在主纜和吊索節(jié)點位置的豎向力為q,則有以下關(guān)系：

(8)

聯(lián)立式(6)、(7)和(8)可以得到：

(9)

初始假設(shè)考慮的是主塔的約束剛度，所以在這里設(shè)主塔的約束剛度為k(包含邊纜對主塔的約束作用),但因為單跨懸索橋的跨度是在減小的，而且主塔頂端都在向跨中移動，所以：

(10)

對于雙纜懸索橋，H=H1+H2,即總的水平力是上下兩根主纜的水平力之和，需要用式(8)分別求得，綜合式(8)、(9)和(10)，可以分別得到上纜和下纜垂跨比的改變量dn1和dn2：

(11)

(12)

式中：q2為下吊索的內(nèi)力；q1為上吊索的內(nèi)力，記為：

(13)

(14)

上式中a和b參考公式(3)和(4)，而公式(11)和(12)就可以簡寫為：

dn1=C1q1+D1(q2-q1)

(15)

dn2=C2(q2-q1)+D2q1

(16)

從式(15)、(16)可以發(fā)現(xiàn)，兩根主纜的垂跨比改變量dn與兩根主纜的受力有關(guān)，不是獨立的。系數(shù)C1為上纜受到的吊索力q1對垂跨比改變量dn1的影響；D1為下纜受到的吊索合力(q2-q1)對上纜垂跨比的改變量dn1的影響，主要體現(xiàn)在下纜受力改變了塔頂?shù)奈灰?，從而影響上纜垂跨比的改變量，這是非常符合實際情況的。

忽略吊桿的伸長量，故可認(rèn)為dn1=dn2,那么聯(lián)立公式(15)和(16)，即可得到下吊索的索力q2與上吊索索力q1的比值：

(17)

式(17)為單跨雙纜懸索橋在承受滿跨均布荷載時上吊索和下吊索內(nèi)力的比值，反映其在上纜和下纜之間的分配關(guān)系，C1、C2、D1、D2由式(13)、(14)得到。

3 有限元模型計算分析

3.1 模型結(jié)構(gòu)及尺寸

為了驗證理論計算公式的正確性，用Midas建立二維有限元模型，雙纜懸索橋結(jié)構(gòu)尺寸如圖3所示。

圖3 雙纜懸索橋結(jié)構(gòu)尺寸(單位：m)

圖3中Lb為變量，在模型中通過改變Lb的值來改變橋塔的約束剛度k。懸索橋的主跨為1 000 m，上纜的垂度為50 m,下纜的垂度為125 m，吊索的間距為25 m，橋塔高度h=150 m,加勁梁每延米重量為279.5 kN,構(gòu)件的相關(guān)參數(shù)如表1所示。

3.2 計算結(jié)果及誤差分析

橋塔的約束剛度k由主塔的抗彎剛度和邊纜提供，所以改變錨碇到主塔的距離Lb,就可以改變橋塔的約束剛度。表2、3為不同的約束剛度k下，作用5 kN/m的均布荷載，模型下、上吊索內(nèi)力比值的平均值和模型下、上主纜內(nèi)力比值的平均值，以及采用式(17)、(8)計算得出的相應(yīng)結(jié)果對比。

表1 雙纜懸索橋材料特性

表2 吊索內(nèi)力比值的理論與模型計算結(jié)果對比

注：①q1為上吊索內(nèi)力，q2為下吊索內(nèi)力；② 相對誤差=|理論結(jié)果-模型結(jié)果|/理論結(jié)果×100%，下同。

采用式(8)計算出雙纜懸索橋的下、上兩根主纜的內(nèi)力的比值，然后統(tǒng)計如表3所示。

表3 主纜內(nèi)力比值的理論與模型計算結(jié)果對比

注：H1為上主纜內(nèi)力，H2為下主纜內(nèi)力。

從表2、3可以看出：理論計算和模型計算的誤差在容許范圍之內(nèi)，但是誤差有一定的規(guī)律可尋，當(dāng)橋塔約束剛度減小時，誤差會慢慢增大。而通過分析可以知道，因為上纜的垂跨比很小，對塔頂位移的改變是非常敏感的。橋塔約束剛度k較大時，塔頂?shù)捻槝蛳蛭灰票容^小，利用式(8)計算時可以忽略這種改變，而當(dāng)約束剛度k逐漸變小時，由橋塔頂位移帶來的主纜垂度的改變量會越來越大，所以造成的誤差會越來越大。

為了驗證這種猜想，又另外增加兩種情況：① 單跨懸索橋的兩根主纜垂度分別為125和100 m，其對應(yīng)的垂跨比比值n1/n2為0.8；② 單跨懸索橋的兩根主纜垂度分別為125和75 m，其對應(yīng)的垂跨比比值n1/n2=0.6。得到不同n1/n2的理論計算和模型計算的誤差統(tǒng)計結(jié)果，見表4。

表4 吊索、主纜統(tǒng)計表

由表4可以看出：隨著下上主纜垂跨比的比值不斷增大接近1時，也就是兩根主纜靠得越近，相對誤差越小；表明主纜垂度越大，受力時主纜垂度的改變量相對減小，那么采用式(8)近似計算時，誤差就越小，所以在主纜垂度較大時，理論計算的精度會提高。同時可以看出，隨著橋塔約束剛度的增加，相對誤差會減小，但都在允許的誤差范圍內(nèi)。

經(jīng)過有限元模型和理論計算的相互驗證，可以得出理論推導(dǎo)公式是可用的。在文獻[8]中，推導(dǎo)出了在橋塔塔頂位移被約束時下吊索和上吊索內(nèi)力的比值公式，代入該文相應(yīng)的參數(shù)計算出吊索內(nèi)力比值為6.467。而將該文公式中的參數(shù)k設(shè)為2×1030N/m時，也就相當(dāng)于約束塔頂位移時，計算出的比值同樣為6.467，佐證了該文推導(dǎo)公式的正確性。

圖4為根據(jù)理論計算公式(17)探討橋塔約束剛度對上下吊索內(nèi)力比值的影響。

圖4 橋塔約束剛度對吊索內(nèi)力比值的影響(理論計算值)

從圖4可以發(fā)現(xiàn)：橋塔約束剛度存在一個臨界值，當(dāng)橋塔約束剛度取這個臨界剛度時，在均布活載作用下，所有的荷載均由下纜承受；約束剛度大于這個臨界剛度時，隨著剛度的增加，上纜承受的內(nèi)力比例會慢慢增大，但是會存在一個極限值；當(dāng)橋塔約束剛度小于這個臨界剛度時，上吊索開始出現(xiàn)壓力，而且隨著剛度的減小，吊索的壓力會越來越大；在實際工程中就表現(xiàn)為，橋梁在承受均布荷載時，會使上吊索的預(yù)加力減小。這在實際工程中是需要避免的，因為這樣上纜不僅起不到有利的作用，反而會成為下纜的累贅，這是不合理的。

4 橋塔約束剛度的計算方法對比分析

4.1 理論公式推導(dǎo)

上文詳細介紹了橋塔約束剛度對單跨懸索橋受力的影響，但公式(10)中的k是直接在有限元模型中分別提取水平力H和塔頂順橋向位移Δx然后利用公式k=H/Δx計算出來的，所以下文將推導(dǎo)橋塔約束剛度的計算公式。

橋塔約束剛度的計算圖示如圖5所示，計算時不考慮邊纜的垂度，作為二力桿處理。

圖5 橋塔約束剛度計算簡圖

在計算橋塔約束剛度時，利用位移法求解結(jié)果，首先將結(jié)構(gòu)分成桁架結(jié)構(gòu)和懸臂結(jié)構(gòu)(圖6)，假設(shè)產(chǎn)生的水平位移協(xié)調(diào)為Δx，其中桁架結(jié)構(gòu)在水平位移Δx時在塔頂節(jié)點產(chǎn)生的水平力為H1,懸臂結(jié)構(gòu)水平位移Δx時在塔頂節(jié)點產(chǎn)生的水平力為H2，兩個力之和即為總的水平力H。

圖6 橋塔結(jié)構(gòu)約束剛度計算圖

首先確定H1和Δx之間的關(guān)系，顯然外力H1做的功等于桁架的形變能，其計算式為：

(18)

式中：E3為邊纜的彈性模量；A3為邊纜的截面面積；α為邊纜與水平線的夾角；l為邊纜的長度，當(dāng)懸索橋塔頂?shù)藉^碇的高差Δh確定時，l的長度是與傾角α有關(guān)的：l=Δh/sinα，該文模型Δh=125 m；Et為橋塔的彈性模量；At為橋塔的截面面積；h為橋塔的高度。

式(18)中沒有考慮中跨主纜對橋塔作用的豎直向下的力，這樣會引入誤差，因此假設(shè)中跨主纜的傾角與邊纜的傾角相同，所以對橋塔的壓力即為2H1tanα，以此考慮中跨主纜對橋塔的壓力影響，因為橋塔的軸向變形相對橫向位移來說很小，所以忽略中跨主纜產(chǎn)生的豎向外力所做功，式(18)就變?yōu)椋?/p>

(19)

化簡式(19)可得桁架結(jié)構(gòu)水平力H1與Δx的比值為定值，設(shè)為k1：

(20)

根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)相關(guān)知識可知，懸臂梁的頂端水平位移Δx與作用力H2的關(guān)系為：

(21)

化簡式(21)可得懸臂結(jié)構(gòu)水平力H2與Δx的比值為定值,設(shè)為k2：

(22)

由受力條件：

H=H1+H2=k1Δx+k2Δx=(k1+k2)Δx

(23)

將式(20)、(22)代入式(23)并化簡，可得橋塔約束剛度：

(24)

4.2 理論與模型結(jié)果對比

表5～7為采用式(23)計算得到的橋塔約束剛度與模型結(jié)果對比。

表5 主纜垂度為125和100 m的橋塔約束剛度結(jié)果對比

表6 主纜垂度為125和75 m的橋塔約束剛度結(jié)果對比

表7 主纜垂度為125和50 m的橋塔約束剛度結(jié)果對比

由表5～7可以看出：理論計算和模型計算的誤差都沒有超過0.5%，說明理論計算具有很好的計算精度，為了更好地了解橋塔約束剛度隨水平角的變化趨勢，繪制橋塔約束剛度與水平傾角的關(guān)系圖，如圖7所示。

圖7 橋塔約束剛度與水平傾角的關(guān)系圖

為了更好地反映出公式的適用性，圖7在常用的傾角范圍之外額外添加了4個數(shù)據(jù)點。從圖7可以看出：當(dāng)傾角很小時，理論計算公式和有限元模型的誤差很??；而當(dāng)傾角較大時，理論公式相對于有限元來說有很大的計算誤差，這主要是因為在推導(dǎo)理論公式時，考慮了中跨給主塔產(chǎn)生的H1tanα的豎向壓力，也就是認(rèn)為中跨主纜的水平傾角與邊纜的水平傾角相同；但是在有限元模型中，只改變邊纜的水平傾角，而沒有改變中跨的水平傾角，所以當(dāng)α很大時，就會造成很大的誤差。但是常見的懸索橋設(shè)計中，邊纜的水平傾角一般為25°～45°，所以理論計算公式有很好的適用性。

從圖7可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng)錨碇與主塔頂點的高差一定時，如該文中為125 m，橋塔的約束剛度隨著邊纜的水平傾角的增大先增大后減小，存在一個最大值。對于這個最大值，可以用一階導(dǎo)數(shù)等于0的原則，求出最大值對應(yīng)的傾角α。當(dāng)約束剛度最大時，傾角α滿足下式：

ΔhEtAt-3ΔhEtAtsin2α-8hE3A3sin3α=0

(25)

利用式(25)可以求出橋塔約束剛度最大時水平傾角為33.968°，而對應(yīng)的邊纜的水平投影長度為185.55 m，此時理論計算得到的橋塔約束剛度為275 922 kN/m。故式(25)可以應(yīng)用于懸索橋優(yōu)化設(shè)計中，找出最佳的錨碇設(shè)置點，以取得最大的約束剛度。

5 結(jié)論

(1)該文在文獻[8]的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了塔頂無約束時均布荷載作用下單跨雙纜懸索橋下吊索內(nèi)力與上吊索內(nèi)力比值的計算公式，不僅通過建立有限元模型進行了論證，而且與文獻[8]提出的塔頂約束下的計算公式進行橫向?qū)Ρ?，都證明了公式的正確性，為后續(xù)理論的結(jié)構(gòu)分析奠定了基礎(chǔ)。

(2)文獻[8]中，將塔頂約束處理，代入構(gòu)件尺寸及材料參數(shù)時求出的下上吊索的內(nèi)力比值為6.467；而該文未將塔頂約束處理，代入同樣的參數(shù)，求出的下上吊索的內(nèi)力比值都在15左右，兩者差別甚大，所以該文的理論公式推導(dǎo)是有必要的。

(3)通過分析該文推導(dǎo)出的公式，當(dāng)橋塔的約束剛度超過臨界剛度時，隨著橋塔約束剛度的增大，單跨雙纜懸索橋上纜分配到的荷載比例會慢慢增大。因此在單跨雙纜懸索橋設(shè)計中為了使上纜分擔(dān)更多的內(nèi)力，可以采用增大橋塔約束剛度的方式來達到目的。

(4)在單跨雙纜懸索橋設(shè)計中，要保證主塔的約束剛度，否則雙纜懸索橋的上纜不僅對結(jié)構(gòu)受力起不到有利作用，還會成為整個結(jié)構(gòu)的負(fù)擔(dān)。

(5)該文也提出了橋塔約束剛度的計算公式，并證明了公式的正確性。橋塔的約束剛度與邊纜的材料參數(shù)以及主塔的材料參數(shù)都有關(guān)系。當(dāng)其他材料和構(gòu)件參數(shù)以及錨碇與橋塔頂點的高差確定時，橋塔的約束剛度隨著邊纜與水平線的傾角增大表現(xiàn)為先增大后減小。該文還確定了最佳傾角的計算公式，可以運用于實際的工程設(shè)計中。