李夏元， 萬水， Y.L. Mo

(1.東南大學(xué) 交通學(xué)院， 江蘇 南京 210096； 2.Civil and Environmental Engineering, University of Houston)

1 前言

薄壁箱梁截面因其抗彎、抗扭性能好，廣泛應(yīng)用于橋梁結(jié)構(gòu)。近年來，隨著預(yù)應(yīng)力技術(shù)在橋梁領(lǐng)域的發(fā)展與應(yīng)用，箱梁截面大量采用腹板間距較大的寬箱形式。結(jié)構(gòu)承受車輪荷載作用時，荷載多偏離箱形梁扭轉(zhuǎn)中心，箱形梁將發(fā)生截面扭轉(zhuǎn)，而寬箱截面因其箱室較寬，偏心距大，扭轉(zhuǎn)效應(yīng)更為明顯。文獻(xiàn)[2]表明箱形梁在扭轉(zhuǎn)過程中，由剛性扭轉(zhuǎn)和截面畸變產(chǎn)生的縱向翹曲應(yīng)力可達(dá)到縱向總應(yīng)力的24%～26%。薄壁箱梁因偏心布置的汽車荷載而產(chǎn)生的附加翹曲應(yīng)力在活載總應(yīng)力中占有較大的比例，已成為大跨箱梁橋設(shè)計計算中必須考慮的問題。

近年來，關(guān)于橫向偏心荷載作用下箱形梁的力學(xué)性能研究主要分為有限單元法和理論解析法。有限單元法隨著計算機的發(fā)展而迅速發(fā)展,在土木工程中應(yīng)用越來越廣泛，但不易對箱形梁的工作性能獲得明確的物理概念, 對于參數(shù)分析與方案選擇無法給出直觀說明；理論解析法的主要思路是：箱形梁在偏心荷載作用下，根據(jù)線彈性疊加原理，將荷載分解為正對稱荷載與反對稱荷載分別進(jìn)行計算，然后兩者疊加，偏心荷載分解法概念明確，適用于橫截面任意荷載作用的情況。盡管偏心荷載分解法存在諸多優(yōu)勢，但當(dāng)前文獻(xiàn)在介紹偏心荷載分解時，均基于力的平移定理，偏心荷載分解與截面參數(shù)無關(guān)，只與偏心距有關(guān)，忽略了腹板剛度對頂板的約束情況，這與實際情況存在一定的偏差。荷載橫向作用位置變化對偏心荷載分解法的影響因素研究尚未見報導(dǎo)。目前，國內(nèi)外學(xué)者針對箱形梁空間效應(yīng)理論(剪力滯、扭轉(zhuǎn)和畸變)進(jìn)行了大量的試驗和理論研究，并取得了一定的成果，而相關(guān)研究的發(fā)展都是基于特殊的力學(xué)加載模式下開展的——外荷載以各種形式作用于箱梁腹板上，具有工程應(yīng)用的局限性，荷載橫向作用位置對偏心荷載分解法影響的研究恰恰能夠解決這樣的局限性，拓寬理論的適用范圍，對工程實際具有重要的指導(dǎo)意義和現(xiàn)實意義。

該文以單箱單室薄壁混凝土箱形梁為研究對象，理論論證當(dāng)前偏心荷載分解法的局限性。依托Abaqus有限元數(shù)值分析軟件，選取箱形梁頂板厚度、腹板厚度、梁寬、梁高等因素進(jìn)行參數(shù)化建模，基于控制變量原則，分析橫向荷載作用位置對偏心荷載分解法的影響，提出任意橫向位置下偏心荷載分解的簡化計算方法。

2 橫向偏心荷載分解法理論分析

文獻(xiàn)[11]給出如圖1所示的偏心荷載分解模式，分解思路:作用于箱梁頂板的偏心荷載P，根據(jù)力的平移定理，將偏心荷載P平移到箱形梁的扭轉(zhuǎn)中心，外加一個扭矩P·e。作用于扭轉(zhuǎn)中心的集中力P和扭矩P·e可以分解成正對稱荷載和反對稱荷載，相鄰腹板的合力可以等效成外荷載F1、F2。

圖1 偏心荷載分解示意圖

由圖1可列出橫向偏心荷載分解下F1、F2、Psym,load(對稱荷載)、Pasym,load(反對稱荷載)這4個未知分量的力的平衡方程：

(1)

由式(1)可得：

由于未知數(shù)數(shù)量超過平衡方程數(shù)目，文獻(xiàn)[11]增設(shè)一個力矩平衡方程：

Pasym,load·b=P·αb

Pasym,load=αP

(2)

現(xiàn)論證式(2)的合理性。F1、F2可表示為：

(3)

(4)

其中：0≤α≤0.5。

比較F1、F2的值，可以發(fā)現(xiàn)，偏心荷載分解法的結(jié)果與兩端簡支約束下的內(nèi)力分配一致，如圖2所示。

圖2 等效簡支梁示意圖

上述結(jié)論表明：傳統(tǒng)偏心荷載分解法忽略了腹板剛度對頂板的約束情況，僅僅以簡支約束代替，實際上腹板剛度對頂板存在著約束作用。因此，僅僅用簡支約束來代替邊界條件是不合理的，即式(2)的假設(shè)有待商榷。

由式(1)結(jié)論可知：偏心荷載分解得到的正對稱荷載Psym,load值恒定為P/2，與外荷載橫向作用位置以及截面參數(shù)無關(guān)，而反對稱的荷載值Pasym,load與偏心荷載各腹板力F1、F2的分配有關(guān)，當(dāng)偏心荷載作用于A時(即α=0.5)，反對稱荷載值Pasym,load恒定為P/2，與截面參數(shù)無關(guān)。

3 研究方案確定

由式(1)可知：橫向荷載作用位置的變化對正對稱荷載的取值沒有影響(Psym,load=P/2)，僅影響反對稱荷載的取值，這是由邊界條件決定的。橫向荷載作用位置對偏心荷載分解法的影響主要表現(xiàn)在相鄰腹板荷載的分配，最終反應(yīng)到反對稱荷載Pasym,load的力的分配。因此，為研究橫向荷載作用位置對偏心荷載分解法的影響，可通過研究橫向荷載作用位置對反對稱荷載Pasym,load力的分配影響來實現(xiàn)。正對稱荷載下結(jié)構(gòu)的反應(yīng)可用彎曲應(yīng)力σsym,w表示，而反對稱荷載下結(jié)構(gòu)的反應(yīng)可用扭轉(zhuǎn)畸變翹曲應(yīng)力σasym,w表示，偏心荷載下的縱向總應(yīng)力可用σPw來表示。三者之間必然滿足：

σPw=σsym,w+σasym,w

(5)

根據(jù)圖1 所示的偏心荷載分解圖，利用Abaqus有限元軟件分別建立偏心荷載P(α=0.25、0.375、0.5)、正對稱荷載Psym,load=P/2、反對稱荷載Pasym,load=P/4共3種加載工況下的有限元模型。式(1)中，Pasym,load荷載值是未知的，選取Pasym,load=P/4，可以利用式(6)得到橫向任意荷載作用下，反對稱荷載Pasym,load與偏心荷載P之間的數(shù)值關(guān)系k，繪制k的橫向影響線，提出反對稱荷載系數(shù)k的簡化計算方法。

(6)

3.1 截面參數(shù)

選取跨度為2.5 m的單箱單室薄壁箱梁為基準(zhǔn)模型，模型截面尺寸見圖3，材料的彈性模量E=3.45×104MPa，泊松比υ=0.2。力學(xué)加載模式為跨中截面分別作用圖1所示的偏心荷載P=25 kN、正對稱荷載P/2=12.5 kN以及反對稱荷載Pasym,load=25/4 kN。

圖3 薄壁箱梁橫截面圖(單位：mm)

以箱形梁頂板厚度t0、梁寬b、梁高H等參數(shù)作為變量，基于控制變量原則，利用Abaqus有限元軟件對上述力學(xué)加載模式分別進(jìn)行三維數(shù)值建模分析(圖4～6)。

圖4 偏心荷載加載模式

圖5 對稱荷載加載模式

3.2 測點選取

文獻(xiàn)[14]表明：正對稱荷載作用下，加載點截面底板出現(xiàn)正剪力滯，箱形梁彎曲正應(yīng)力最大值出現(xiàn)在底板角點D處；文獻(xiàn)[11]、[13]表明：反對稱荷載作用下扭轉(zhuǎn)和畸變翹曲正應(yīng)力最大值出現(xiàn)在箱形梁底板角點D處。因此，選取D點作為研究對象，繪制箱形梁角點D處縱向應(yīng)力沿梁軸的變化規(guī)律。

圖6 反對稱荷載加載模式

4 參數(shù)分析

4.1 算例分析

以圖3為例，偏心加載點位置e=0.25b。分別提取偏心荷載作用下測點D沿梁軸方向的縱向應(yīng)力值σPw(Peccentric,load)、對稱荷載作用下測點D沿梁軸方向的彎曲應(yīng)力值σsym,w(Psym,load)、反對稱荷載Pasym,load=P/4作用下測點D梁軸方向的扭轉(zhuǎn)和畸變翹曲應(yīng)力值σasym,w(Pasym,load)以及正對稱荷載彎曲應(yīng)力值σsym,w與反對稱荷載作用下的扭轉(zhuǎn)畸變翹曲應(yīng)力值σasym,w和值，分別繪制于圖7。

圖7 沿梁軸方向的縱向應(yīng)力

由圖7可見：偏心荷載P作用下測點D的縱向應(yīng)力值大于正對稱荷載和反對稱荷載作用下的應(yīng)力和值，表明當(dāng)偏心距e=0.25b時，反對稱荷載Pasym,load=P/4計算扭轉(zhuǎn)畸變翹曲正應(yīng)力值是偏小的，即實際結(jié)構(gòu)在靠近加載點腹板分配的力較多，與式(2)的設(shè)定存在偏差。按式(6)計算偏心荷載P作用于e=0.25b位置時其反對稱荷載系數(shù)k，k=0.341,即k≠α=0.25。

圖8為偏心荷載P作用下的縱向應(yīng)力值σPw與正對稱荷載和反對稱荷載作用下的應(yīng)力和值σsym,w+σasym,w沿梁軸線方向的誤差δ(%)。

(7)

由圖8可知：沿梁軸線方向的誤差δ不是固定值，在兩端誤差最小為10.3%；3L/8與5L/8處誤差達(dá)到最大值12.63%；加載點截面處的相對誤差為10.64%，該點處絕對差值最大，且與最大誤差僅差2%。因此，選取加載點截面測點D縱向應(yīng)力值，按式(6)計算反對稱荷載系數(shù)k是可行的。

圖8 δ 誤差分析圖

4.2 寬跨比b/L

寬跨比b/L為箱梁腹板之間的間距b與跨徑L的比值，相鄰腹板之間的間距分別選取b=300、600、800、1 000 mm，控制截面參數(shù)如圖3所示。利用Abaqus有限元軟件分別建立不同寬跨比下的數(shù)值模型，提取不同荷載工況下測點D的縱向應(yīng)力值，利用式(6)，繪制如圖9所示的反對稱荷載系數(shù)k隨寬跨比b/L的變化規(guī)律。

圖9 反對稱荷載系數(shù)k隨寬跨比b/L的變化規(guī)律

由圖9可見：反對稱荷載系數(shù)k隨著寬跨比b/L的增大而逐漸降低，但變化幅度相對較緩，當(dāng)b/L從0.12變化到0.24時，反對稱荷載系數(shù)k的變化相對較大，而當(dāng)b/L>0.24時，寬跨比b/L對反對稱荷載系數(shù)k的影響幾乎可以忽略。

4.3 高跨比H/L

高跨比為箱形梁高度H與跨徑L的比值，控制截面參數(shù)如圖3所示，僅改變梁高，分別取梁高H=240、440、640、840、1 040 mm，利用Abaqus有限元軟件分別建立不同高跨比下的數(shù)值模型，提取不同荷載工況下測點D的縱向應(yīng)力值，利用式(6)，繪制如圖10所示的反對稱荷載系數(shù)k隨H/L的變化規(guī)律。

由圖10可見：偏心距e=0.25b時，反對稱荷載系數(shù)k隨著高跨比H/L的增大，先緩慢增大后緩慢減小，變化幅度不大；偏心距e=0.375b時，反對稱荷載系數(shù)k隨著高跨比H/L的增大而減小，反對稱荷載系數(shù)k的數(shù)值曲線呈現(xiàn)相對平緩的趨勢。表明高跨比H/L對反對稱荷載系數(shù)的影響相對較低，可以忽略不計。

圖10 反對稱荷載系數(shù)k隨高跨比H/L的變化規(guī)律

4.4 高寬比H/b

取3.2節(jié)與3.3節(jié)不同寬度和高度的反對稱荷載系數(shù)，繪制如圖11所示的反對稱荷載系數(shù)k隨高寬比H/b的變化規(guī)律，進(jìn)一步驗證箱形梁高度和寬度對反對稱荷載系數(shù)k的影響。

圖11 反對稱荷載系數(shù)k隨高寬比H/b的變化規(guī)律

由圖11可見：反對稱荷載系數(shù)k隨著高寬比的增加，變化相對比較平緩，當(dāng)箱形梁寬度為300 mm時,高寬比H/b為1.47時，有較為明顯的波動，與圖9相似，這是因為箱形梁截面寬度較窄，局部影響顯著增強?？傮w而言，高寬比對反對稱荷載系數(shù)k的影響可以忽略不計。

4.5 頂板厚度與腹板厚度比t0/tw

控制各項參數(shù)如圖3所示，改變頂板厚度t0，頂板厚度t0分別取20、30、40、50、60、70、80 mm，t0/tw變化范圍0.5～2.25，步長為0.25。利用Abaqus有限元軟件分別建立不同頂板厚度下的數(shù)值模型，提取不同荷載工況下測點D的縱向應(yīng)力值，利用式(6)，繪制如圖12所示的反對稱荷載系數(shù)k隨t0/tw的變化規(guī)律。

圖12 反對稱荷載系數(shù)k隨頂板與腹板厚度比

由圖12可見：偏心距e=0.25b和e=0.375b下的反對稱荷載系數(shù)k隨著頂板厚度與腹板厚度比值t0/tw的增大而逐漸減小。t0/tw<1.5時，反對稱荷載系數(shù)k的值變化較為迅速，t0/tw≥1.5時，反對稱荷載系數(shù)k變化相對平緩,呈線性變化規(guī)律。當(dāng)t0/tw<1、e=0.375b時，反對稱荷載系數(shù)k的值超過了0.5，這一現(xiàn)象意味著當(dāng)頂板厚度比腹板厚度薄時，反對稱荷載引起的扭轉(zhuǎn)畸變翹曲應(yīng)力顯著增大，若按式(2)的結(jié)論，反對稱荷載系數(shù)僅為0.375，誤差超過30%；而當(dāng)t0/tw<1、e=0.25b時，誤差更是超過56%，這一現(xiàn)象必須予以重視。

5 反對稱荷載系數(shù)k的簡化計算方法

由上述參數(shù)分析可知，頂板厚度與腹板厚度比值t0/tw對反對稱荷載系數(shù)k起主要作用，而高度、寬度等因素對反對稱荷載系數(shù)k影響則可忽略不計。該節(jié)將重點分析反對稱荷載系數(shù)k的簡化計算方法。

當(dāng)t0/tw=2.25時，繪制反對稱荷載系數(shù)k隨偏心距系數(shù)α改變時的變化趨勢于圖13，并添加函數(shù)趨勢線。

由圖13可知：反對稱荷載系數(shù)k與偏心距系數(shù)α成線性變化的規(guī)律，且趨勢線擬合程度指標(biāo)R2≈1，反對稱荷載系數(shù)k與偏心距系數(shù)α擬合程度具有較強的可靠性；相關(guān)系數(shù)ρkα：

(8)

反對稱系數(shù)k與偏心距系數(shù)α線性相關(guān)性較強，可按k=α表示。

由式(2)可知：

(9)

反對稱荷載系數(shù)k等于偏心距系數(shù)α，表明當(dāng)t0/tw≥2.25時，頂板剛度較大，腹板對頂板的約束可以看成鉸接約束，反對稱荷載系數(shù)k按照式(2)進(jìn)行計算，反對稱荷載Pasym,load=k·P,k=α。

當(dāng)t0/tw=1時，繪制反對稱荷載系數(shù)k隨偏心距系數(shù)α改變時的變化趨勢于圖14，并添加函數(shù)趨勢線。

圖13 反對稱荷載系數(shù)k隨偏心距系數(shù)α的

圖14 反對稱荷載系數(shù)k隨偏心距系數(shù)α的

由圖14可知：反對稱荷載系數(shù)k與偏心距系數(shù)α成3次拋物線變化的規(guī)律，趨勢線擬合程度指標(biāo)R2≈1，反對稱荷載系數(shù)k與偏心距系數(shù)α擬合程度具有較強的可靠性：

k=-2α3+1.5α

(10)

類比文獻(xiàn)[15]給出兩端固定約束下的內(nèi)力分配計算方法。

(11)

將式(11)代入式(1)，可得：

(12)

式(12)與式(10)結(jié)論一致：

(1) 當(dāng)t0/tw=1時，箱形梁腹板對頂板的約束相當(dāng)于固定端約束。

(2) 當(dāng)1≤t0/tw<2.25時，反對稱荷載系數(shù)k與偏心距系數(shù)α的函數(shù)關(guān)系介于簡直約束與固定端約束之間，可按固定端約束情況進(jìn)行分析，通過式(10)得到的反對稱荷載系數(shù)k可以包絡(luò)之間的所有數(shù)值(圖12)，反對稱荷載Pasym,load=k·P,k=-2α3+1.5α。

(3) 當(dāng)t0/tw<1、偏心距e=0.375b時，反對稱荷載系數(shù)k>0.5，頂板厚度to越薄，其局部效應(yīng)越明顯，不能簡單用上述等效成腹板對頂板的約束情況進(jìn)行分析。建議在按固定端約束等效計算的同時，考慮對反對稱荷載系數(shù)k進(jìn)行修正：

(13)

6 結(jié)論

該文從理論出發(fā)，論證了傳統(tǒng)橫向偏心荷載分解法的局限性，探討了反對稱系數(shù)k隨箱形梁頂板厚度與腹板厚度比t0/tw、寬跨比b/L、高跨比H/L、高寬比H/b等參數(shù)變化的規(guī)律，基于控制變量原則，利用Abaqus有限元軟件，就如圖1所示的加載模式分別進(jìn)行三維數(shù)值建模分析，得到如下結(jié)論：

(1) 橫向偏心荷載分解法對正對稱荷載力的分配無影響，Psym,load=P/2，主要影響反對稱荷載Pasym,load力的分配。文獻(xiàn)[2]、[4]、[7]關(guān)于箱形梁的扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)理論分析僅適用于偏心荷載e=0.5b的情況，具有工程應(yīng)用局限性。

(2) 箱形梁寬跨比b/L、高跨比H/L、高寬比H/b等參數(shù)變化對反對稱荷載系數(shù)k的影響較小，可以忽略不計；而箱形梁頂板厚度與腹板厚度比t0/tw對反對稱荷載系數(shù)k影響較為明顯，反對稱荷載系數(shù)k隨著箱形梁頂板厚度與腹板厚度比t0/tw的增大而減小。

(4) 該文提出的反對稱荷載分配計算方法彌補了文獻(xiàn)[2]、[4]、[7]應(yīng)用的局限性，適用于橫向任意位置作用偏心荷載的情況。