李軍成，劉成志，易葉青

（1.湖南人文科技學院數(shù)學與金融學院，湖南婁底417000；2.湖南人文科技學院信息學院，湖南婁底417000）

在計算機輔助設計及其相關(guān)研究領(lǐng)域中，插值曲線的構(gòu)造一直都是重要的研究課題。作為一種分段插值樣條，三次Cardinal樣條［1］是構(gòu)造插值曲線的一種重要方法。三次Cardinal樣條不僅滿足C1連續(xù)，而且無須求解方程系統(tǒng)即可直接插值于給定的數(shù)據(jù)點。另外，當數(shù)據(jù)點保持不變時，三次Cardinal樣條的插值效果還可通過自帶的張力參數(shù)進行調(diào)控。這些優(yōu)點使得三次Cardinal樣條被廣泛應用于多工程領(lǐng)域［2-3］。 雖然，三角Cardinal樣條［4-5］、雙曲 Cardinal樣條［6］以及C2連續(xù)的 Cardinal樣條［7］在某些方面較傳統(tǒng)三次Cardinal樣條更優(yōu)，但它們的方程結(jié)構(gòu)更為復雜，因此不可否認，傳統(tǒng)三次Cardinal樣條仍具有較高的應用價值。

注意到，張力參數(shù)對三次Cardinal樣條的形狀有明顯的影響，為了使三次Cardinal樣條能插值于給定的首、末數(shù)據(jù)點，往往需要在數(shù)據(jù)點的兩端添加2個邊界條件，故邊界條件對首、末兩段樣條曲線的形狀也有較大影響。因此，在利用三次Cardinal樣條構(gòu)造插值曲線時，可通過修改張力參數(shù)和邊界條件來實現(xiàn)對插值效果的調(diào)控，這顯然為插值曲線的構(gòu)造提供了便利。當然，也可以在某種準則下確定張力參數(shù)和邊界條件的最佳取值，使得構(gòu)造的三次Cardinal樣條滿足某種特定的要求。為使三次Cardinal樣條曲線盡可能光順，文獻［8］提出了一種利用曲率變化極小來確定張力參數(shù)和邊界條件最佳取值的方法。但文獻［8］僅簡單給出了確定張力參數(shù)和邊界條件最佳取值的方法，對其具體過程以及相應的三次Cardinal樣條函數(shù)并未展開詳細討論。為此，本文進一步討論如何通過優(yōu)化張力參數(shù)與邊界條件以使得構(gòu)造的平面三次Cardinal樣條曲線及其函數(shù)形式盡可能光順的方法。通過對平面三次Cardinal樣條曲線及其函數(shù)形式的近似曲率變化進行極小化，易獲得張力參數(shù)與邊界條件的唯一解，從而使構(gòu)造的三次Cardinal樣條曲線及其函數(shù)形式盡可能光順，且具有更好的插值效果。

1 問題的提出

給定平面上n(n≥3)個數(shù)據(jù)點pi(i=0,1,…,n)，三次 Cardinal參數(shù)樣條曲線［1］可表示為

式 中 ，i=1,2,…,n-2，0≤t≤ 1，bj(t)(j=0,1,2,3)為

其中，實數(shù)T稱為張力參數(shù)。

特別地，當三次Cardinal樣條用于插值用途時，張力參數(shù)的最佳值取為T=0［9］，此時對應的三次Cardinal樣條又稱為三次Catmull-Rom樣條［10］。三次Catmull-Rom樣條在許多工程領(lǐng)域已得到了較廣泛的應用［11-12］。

由式（1）與式（2）不難發(fā)現(xiàn)，當T=1時，式（1）為

此時三次Cardinal參數(shù)樣條曲線將退化為一條直線段。因此，下面僅考慮T≠1的情形。

式（1）與式（2）經(jīng)計算可得，

式（3）表明，每段三次Cardinal參數(shù)樣條曲線插值于第2與第3個數(shù)據(jù)點，意味著整條樣條曲線插值于除首、末數(shù)據(jù)點以外的其他數(shù)據(jù)點。由式（4）可得，表明三次Cardinal參數(shù)樣條曲線滿足C1連續(xù)。另外，由式（4）不難發(fā)現(xiàn)，當所有數(shù)據(jù)點保持不變時，三次Cardinal參數(shù)樣條曲線的形狀將由張力參數(shù)T決定。例如，給定數(shù)據(jù)點pi(i=0,1,…,5)的坐標(xi,yi)為

張力參數(shù)T取不同值時的三次Cardinal參數(shù)樣條曲線如圖1所示。

另一方面，在許多實際問題中往往要求三次Cardinal參數(shù)樣條曲線也能插值于首、末數(shù)據(jù)點，此時，須在數(shù)據(jù)點pi(i=1,2,…,n)的兩端補充2個邊界條件：p-1與pn+1，常用的邊界條件取為p-1=p0，pn+1=pn。而事實上，當張力參數(shù)T固定，2個邊界條件取不同點時，首、末兩段三次Cardinal參數(shù)樣條曲線的形狀也將不同。例如，對于圖1中給定的數(shù)據(jù)點，取張力參數(shù)T=0，2個邊界條件取不同點時的三次Cardinal參數(shù)樣條曲線如圖2所示，圖中虛線對應的邊界條件為p-1=p0，p6=p5；實線對應的邊界條件為p-1=p2，p6=p3。

綜上，當數(shù)據(jù)點給定時，三次Cardinal參數(shù)樣條曲線的形狀由張力參數(shù)T以及2個邊界條件p-1與pn+1決定。理論上，可根據(jù)不同的需求將張力參數(shù)和邊界條件取為任意值。當然，也可對張力參數(shù)與邊界條件進行優(yōu)化，得到滿足特定要求的三次Cardinal參數(shù)樣條曲線。

2 張力參數(shù)與邊界條件的優(yōu)化

圖1 張力參數(shù)取不同值時的三次Cardinal參數(shù)樣條曲線Fig.1 Parametric cubic Cardinal spline curve with different tensor parameters

圖2 邊界條件取不同點時的三次Cardinal參數(shù)樣條曲線Fig.2 Parametric cubic Cardinal spline curve with different boundary condition

光順性是曲線的重要幾何特征之一。在CAD及其相關(guān)研究領(lǐng)域，構(gòu)造光順的曲線是一項重要的研究課題［13-14］。雖然曲線的光順性無法定量描述，但人們通常通過極小化曲線的能量函數(shù)來實現(xiàn)平面光順曲線的構(gòu)造［15］。應變能量和曲率變化能量成為研究人員描述平面曲線光順性的2種常見方法［16-19］。本文利用曲率變化能極小來優(yōu)化平面三次Cardinal參數(shù)樣條的張力參數(shù)和邊界條件，使得構(gòu)造的樣條曲線盡可能光順。

平面參數(shù)曲線r(t)的曲率變化能定義為［20］

式中，

由于式（5）高度非線性，往往需要利用近似形式將其線性化。假設曲線r(t)被弧長近似參數(shù)化，則其曲率變化能可近似表示為［21］

為討論方便，令T=1-2α，則式（2）可改寫為

式中，

于是，據(jù)式（6）與（7），補充邊界條件p-1與pn+1后的三次Cardinal參數(shù)樣條曲線的應變能可近似表示為

式中，

為了求解問題（9），首先給出以下引理。

引理1 給定平面上的向量a=(ax,ay)，b=

于是，

證畢。

于是，

于是有

定理1 給定平面上一列數(shù)據(jù)點pi(i=0,1,…,n)，要使所構(gòu)造的三次Cardinal參數(shù)樣條曲線具有極小近似的曲率變化能，則張力參數(shù)T(T≠ 1)與2個邊界條件p-1與pn+1應分別取為

由式（11）與式（12），當α≠ 0時，令與，可得

將ui=pi-1+pi-pi+1-pi+2，vi=pi+1-pi，α=分別代入式（14）與式（15），并經(jīng)簡單推導即得定理成立。證畢。

下面通過數(shù)值實例來說明本文方法的有效性。由于三次Catmull-Rom樣條被視為三次Cardinal樣條中插值效果最好的［9］，因此，本文將與三次Catmull-Rom參數(shù)樣條曲線進行比較，且三次Catmull-Rom參數(shù)樣條曲線的邊界條件取常用情形，即p-1=p0，pn+1=pn。

例1 對于圖1中給定的數(shù)據(jù)點，要使所構(gòu)造的三次Cardinal參數(shù)樣條曲線具有極小的近似曲率變化能，經(jīng)計算所得張力參數(shù)、2個邊界條件及近似曲率變化能與三次Catmull-Rom參數(shù)樣條曲線的對比如表1所示。

構(gòu)造的具有極小近似曲率變化能的三次Cardinal參數(shù)樣條曲線（實線）與三次Catmull-Rom參數(shù)樣條曲線（點虛線）如圖3所示。

例2 從單位半圓上取定數(shù)據(jù)點pi(i=0,1,…,5)的坐標(xi,yi)為

表1 本文方法與Catmull-Rom的對比（例1）Table 1 The comparison between the proposed method and Catmull-Rom（example 1）

圖3 具有極小近似曲率變化能的三次Cardinal參數(shù)樣條曲線（例1）Fig.3 Parametric cubic Cardinal spline curve with minimum approximate curvature variation energy（example 1）

要使所構(gòu)造的三次Cardinal參數(shù)樣條曲線具有極小的近似曲率變化能，經(jīng)計算可得張力參數(shù)、2個邊界條件及近似曲率變化能與三次Catmull-Rom參數(shù)樣條曲線的對比如表2所示。

構(gòu)造的具有極小近似曲率變化能的三次Cardinal參數(shù)樣條曲線（實線）與三次Catmull-Rom參數(shù)樣條曲線（長虛線）如圖4所示。

由例1與例2可知，張力參數(shù)與邊界條件優(yōu)化后的三次Cardinal參數(shù)樣條曲線較三次Catmull-Rom參數(shù)樣條曲線更為光順，插值效果更好。

表2 本文方法與Catmull-Rom的對比（例2）Table 2 The comparison between the proposed method and Catmull-Rom（example 2）

圖4 具有極小近似曲率變化能的三次Cardinal參數(shù)樣條曲線（例2）Fig.4 Parametric cubic Cardinal spline curve with minimum approximate curvature variation energy（example 2）

3 三次Cardinal樣條函數(shù)

與三次Cardinal參數(shù)樣條曲線對應，本節(jié)討論三次Cardinal樣條函數(shù)。

給定平面上n(n≥3)個數(shù)據(jù)點(xi,yi)(i=0,1,…,n)，設xi為等距，即xi+1-xi=h（h為常數(shù)），三次Cardinal樣條函數(shù)可表示為

式 中 ，i=1,2,…,n-2，xi≤x≤xi+1，t=(xxi)/h，bj(t)(j=0,1,2,3)為式（2）表示的函數(shù)。

由式（2）不難驗證，

由式（17）與式（18）可知，三次Cardinal樣條函數(shù)插值于除首、末數(shù)據(jù)點外的其他數(shù)據(jù)點，且函數(shù)滿足C1連續(xù)。同樣，可以補充2個邊界條件(x-1,y-1)與(xn+1,yn+1)，使得三次Cardinal樣條函數(shù)插值于包括首、末數(shù)據(jù)點在內(nèi)的所有數(shù)據(jù)點。由于要求xi為等距，故有x-1=2x0-x1，xn+1=2xn-xn-1。顯然，當所有數(shù)據(jù)點保持不變時，三次Cardinal樣條函數(shù)的形狀由張力參數(shù)T以及2個邊界條件y-1與yn+1決定。

與三次Cardinal參數(shù)樣條曲線的情形類似，三次Cardinal樣條函數(shù)滿足

定理2 給定平面上一列數(shù)據(jù)點(xi,yi)(i=0,1,…,n)，要使所構(gòu)造的三次Cardinal樣條函數(shù)具有極小的曲率變化能，則張力參數(shù)T(T≠1)與2個邊界條件y-1與yn+1應分別取

下面通過數(shù)值實例來說明本文方法的有效性，同上節(jié)，將本文方法與三次Catmull-Rom樣條函數(shù)進行比較，且三次Catmull-Rom樣條函數(shù)的邊界條件為常用情形，即y-1=y0，yn+1=yn。

例 3 設y=sinx(0≤x≤ 2π)，取yi=sinxi(i=0,1,…,8)。 要 使 所 構(gòu) 造 的 三 次Cardinal參數(shù)樣條曲線具有極小的近似曲率變化能，經(jīng)計算得張力參數(shù)與2個邊界條件分別為T=-0.171 6，y-1=-0.707 1，y9=0.707 1。 構(gòu) 造 的具有極小近似曲率變化能的三次Cardinal樣條插值函數(shù)（實線）與三次Catmull-Rom樣條插值函數(shù)（點虛線）及對應的絕對誤差曲線如圖5所示。

圖5 樣條插值函數(shù)及其絕對誤差曲線（例3）Fig.5 Spline interpolation functions and the absolute error curves（example 3）

圖6 樣條插值函數(shù)及其絕對誤差曲線（例4）Fig.6 Spline interpolation functions and the absolute error curves（example 4）

由例3與例4可知，優(yōu)化張力參數(shù)與邊界條件后的三次Cardinal樣條函數(shù)較三次Catmull-Rom樣條函數(shù)的插值效果更好。

4 結(jié) 語

當數(shù)據(jù)點給定時，三次Cardinal樣條的形狀完全由張力參數(shù)和邊界條件決定。雖然通過修改張力參數(shù)與邊界條件可實現(xiàn)對三次Cardinal樣條形狀的調(diào)控，但有時只要求得張力參數(shù)和邊界條件的最佳值，就能使構(gòu)造的三次Cardinal樣條滿足某種特定的要求。為此，本文給出了一種利用曲率變化能極小來優(yōu)化三次Cardinal樣條的張力參數(shù)與邊界條件的方法，該方法容易獲得張力參數(shù)與邊界條件的唯一解。相對于三次Catmull-Rom樣條，優(yōu)化張力參數(shù)與邊界條件后的三次Cardinal樣條不僅更為光順，而且插值效果更好。