杜大軍 占國(guó)華 李汪佩 費(fèi)敏銳 周文舉

倒立擺作為一個(gè)支點(diǎn)在下、重心在上的絕對(duì)不穩(wěn)定被控對(duì)象,其具有非線性、不穩(wěn)定等特性[1],能夠反映控制理論與工程中很多核心問(wèn)題,例如魯棒性、跟蹤等,作為理想的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)驗(yàn)證的理論方法可推廣應(yīng)用到機(jī)器人直立行走的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直控制、海上鉆井平臺(tái)的穩(wěn)定控制等[2?4],故倒立擺的穩(wěn)定控制一直以來(lái)都是控制領(lǐng)域研究中的開(kāi)放性問(wèn)題[5?7].

傳統(tǒng)倒立擺穩(wěn)定控制大都基于編碼器進(jìn)行狀態(tài)信息測(cè)量然后進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析[[8?11].然而,隨著視覺(jué)傳感技術(shù)的跨越式發(fā)展并且感知信息更加豐富全面、直觀,甚至能夠應(yīng)用到復(fù)雜危險(xiǎn)的工業(yè)控制現(xiàn)場(chǎng)[12?13],故其正在大量地被應(yīng)用到工業(yè)自動(dòng)化檢測(cè)[14]、機(jī)器人控制[15?16]等領(lǐng)域.然而,在實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)中,與非視覺(jué)傳感測(cè)量相比,為了獲得狀態(tài)檢測(cè)信息,必須對(duì)視覺(jué)傳感測(cè)量的圖像進(jìn)行處理,這將不可避免地帶來(lái)圖像處理計(jì)算時(shí)間和計(jì)算誤差,從而影響控制系統(tǒng)性能甚至造成控制系統(tǒng)失穩(wěn)[17].因此,國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)始構(gòu)建基于視覺(jué)傳感的倒立擺控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行理論方法驗(yàn)證,為工業(yè)視覺(jué)伺服實(shí)時(shí)控制提供理論基礎(chǔ)和技術(shù)支撐.

在倒立擺視覺(jué)伺服控制中,因?yàn)榈沽[屬于快變的運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng),采樣周期非常小,故從擺體圖像采集到經(jīng)過(guò)圖像處理計(jì)算出小車位移和擺桿偏角耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間對(duì)控制系統(tǒng)性能及其穩(wěn)定性影響至關(guān)重要.根據(jù)是否考慮圖像處理計(jì)算時(shí)間將目前倒立擺視覺(jué)伺服控制研究分為兩類:第一類不考慮圖像處理計(jì)算時(shí)間的倒立擺視覺(jué)伺服控制.例如文獻(xiàn)[18]采用視覺(jué)傳感僅測(cè)量直線一級(jí)倒立擺的擺桿偏角,并設(shè)計(jì)模糊邏輯控制器實(shí)現(xiàn)倒立擺的穩(wěn)定控制.文獻(xiàn)[19]選取高幀率(580fps)低像素的工業(yè)相機(jī)測(cè)量旋轉(zhuǎn)式倒立擺的擺桿偏角實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制.以上研究采用視覺(jué)傳感僅測(cè)量了倒立擺的部分狀態(tài)信息,然而當(dāng)全部狀態(tài)信息采用視覺(jué)傳感進(jìn)行采集并進(jìn)行處理時(shí),產(chǎn)生的計(jì)算時(shí)間將嚴(yán)重影響控制系統(tǒng)性能甚至造成系統(tǒng)失穩(wěn),為此國(guó)內(nèi)外學(xué)者已開(kāi)始考慮計(jì)算時(shí)間研究倒立擺視覺(jué)伺服控制.第二類考慮圖像處理計(jì)算時(shí)間的倒立擺視覺(jué)伺服控制.例如文獻(xiàn)[20]對(duì)直線一級(jí)倒立擺視覺(jué)圖像計(jì)算小車位移和擺桿偏角時(shí),計(jì)算時(shí)間高達(dá)60ms,為此采用Smith預(yù)估算法進(jìn)行時(shí)延補(bǔ)償并實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定控制.文獻(xiàn)[21]將對(duì)直線一級(jí)倒立擺視覺(jué)圖像處理產(chǎn)生的計(jì)算時(shí)間當(dāng)作定時(shí)滯處理實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定控制.以上初步研究了圖像處理計(jì)算時(shí)間對(duì)倒立擺穩(wěn)定控制影響,但是它直接影響采樣策略與系統(tǒng)性能,故不能簡(jiǎn)單地將其看作普通時(shí)延,亟需對(duì)視覺(jué)傳感采樣策略、計(jì)算時(shí)間特性及系統(tǒng)性能開(kāi)展深入研究.

另外,在倒立擺實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)過(guò)程中進(jìn)一步發(fā)現(xiàn),由于背景、光照及實(shí)驗(yàn)環(huán)境等導(dǎo)致視覺(jué)傳感采集的圖像帶有噪聲,使得在計(jì)算小車位移和擺桿偏角過(guò)程中不可避免地產(chǎn)生計(jì)算誤差,這對(duì)倒立擺控制系統(tǒng)性能也具有較大影響.然而目前關(guān)于視覺(jué)伺服控制系統(tǒng)研究成果中鮮有考慮圖像處理計(jì)算誤差,因此深入分析圖像處理計(jì)算誤差特性及其對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性能的影響非常重要.

本文聚焦于倒立擺視覺(jué)穩(wěn)定控制中圖像處理帶來(lái)的時(shí)變計(jì)算時(shí)間和計(jì)算誤差影響控制系統(tǒng)性能甚至穩(wěn)定性問(wèn)題,深入開(kāi)展倒立擺視覺(jué)穩(wěn)定控制研究,主要貢獻(xiàn)包括:1)創(chuàng)新設(shè)計(jì)了新型的倒立擺視覺(jué)伺服控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái),設(shè)計(jì)了一種基于事件觸發(fā)機(jī)制的工業(yè)圖像采集策略,提出了考慮小車和擺桿特征的小車位移和擺桿偏角計(jì)算方法,并統(tǒng)計(jì)分析了圖像處理計(jì)算時(shí)間和計(jì)算誤差特性;2)建立了融合計(jì)算時(shí)間和計(jì)算誤差的閉環(huán)控制系統(tǒng)模型,理論證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性并建立了反映計(jì)算時(shí)間與系統(tǒng)穩(wěn)定性能之間關(guān)系,給出了系統(tǒng)對(duì)計(jì)算誤差的H∞擾動(dòng)抑制水平γ和H∞控制器設(shè)計(jì)方法.

1 倒立擺視覺(jué)伺服控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

為了分析圖像處理計(jì)算時(shí)間和計(jì)算誤差對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響,以倒立擺運(yùn)動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)裝置為基礎(chǔ),采用視覺(jué)傳感代替?zhèn)鹘y(tǒng)編碼器,創(chuàng)新設(shè)計(jì)了一種新型的倒立擺視覺(jué)伺服控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái),結(jié)構(gòu)如圖1所示.在實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中,工業(yè)相機(jī)首先采集倒立擺實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)圖像,然后傳送到圖像處理和控制單元,經(jīng)過(guò)圖像處理計(jì)算得到擺桿偏角和小車位移的狀態(tài)信息,接著通過(guò)控制算法求出控制信號(hào)并發(fā)送到運(yùn)動(dòng)控制卡,實(shí)現(xiàn)控制信號(hào)到控制脈沖量的轉(zhuǎn)換,最后由伺服驅(qū)動(dòng)器帶動(dòng)伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)控制小車運(yùn)動(dòng),實(shí)現(xiàn)倒立擺視覺(jué)實(shí)時(shí)反饋控制.

圖1 倒立擺視覺(jué)伺服控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái)結(jié)構(gòu)Fig.1 Scheme of inverted pendulum visual servoing control platform

圖1中的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)主要包括以下幾個(gè)部分:

1)擺體.選取直線一級(jí)倒立擺作為被控對(duì)象,由基座、小車、擺桿、滑軌、同步帶、交流伺服電機(jī)、伺服驅(qū)動(dòng)器、光電編碼器和限位開(kāi)關(guān)組成.軌道長(zhǎng)度0.6m,鋁制擺桿長(zhǎng)0.5m,擺桿通過(guò)聯(lián)軸器鉸鏈在小車上,并且擺桿可自由旋轉(zhuǎn).

2)視覺(jué)傳感檢測(cè)裝置.主要包括工業(yè)相機(jī)和光源,工業(yè)相機(jī)采用Aca640-120gm 型單色相機(jī),幀率可以自由調(diào)節(jié),最大幀率為120fps,圖像采集最大分辨率為659×492像素.光源自主設(shè)計(jì)采用5根縱向排列的LED日照燈管,架設(shè)在擺體正上方,光源與擺體之間高度可以自由調(diào)節(jié),同時(shí)可以根據(jù)實(shí)際需求自由調(diào)節(jié)光照強(qiáng)度.

3)圖像處理和控制單元.為了處理視覺(jué)傳感器采集的圖像,基于一臺(tái)帶有操作系統(tǒng)Windows XP的PC機(jī),采用Microsoft Visual Studio 2010結(jié)合OpenCV2.4.11機(jī)器視覺(jué)庫(kù)研發(fā)了一套倒立擺圖像處理軟件,能運(yùn)用多種算法處理倒立擺圖像,計(jì)算擺桿偏角和小車位移,然后根據(jù)控制算法計(jì)算控制信號(hào),并發(fā)送到安裝在PCI插槽中的GT-400-SV-PCI型運(yùn)動(dòng)控制卡,通過(guò)其輸出相應(yīng)的控制脈沖量.

4)執(zhí)行器.主要包括交流伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)器和伺服電機(jī),運(yùn)動(dòng)控制卡下發(fā)給伺服電機(jī)的控制信號(hào),通過(guò)伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)伺服電機(jī),然后通過(guò)皮帶帶動(dòng)小車在軌道上來(lái)回運(yùn)動(dòng).

在以上建立的倒立擺視覺(jué)伺服控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中,擺桿偏角和小車位移狀態(tài)信息的測(cè)量是實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定控制的前提與基礎(chǔ).然而,當(dāng)視覺(jué)傳感取代編碼器后,無(wú)法通過(guò)圖像直接讀取小車位移和擺桿偏角,必須先對(duì)擺體圖像進(jìn)行處理與定位,然后計(jì)算小車位移和擺桿偏角,但是在該過(guò)程中不可避免地產(chǎn)生計(jì)算時(shí)間和計(jì)算誤差兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題.

1)計(jì)算時(shí)間.由于倒立擺屬于快變的運(yùn)動(dòng)控制對(duì)象,文獻(xiàn)[2]采用編碼器進(jìn)行狀態(tài)信息采集并設(shè)置采樣周期為T(mén)=10ms.然而,當(dāng)采用視覺(jué)傳感進(jìn)行狀態(tài)信息采集時(shí),通常僅相機(jī)曝光時(shí)間就需要10ms左右,并且由于擺體圖像像素點(diǎn)多,計(jì)算小車位移和擺桿偏角還需一定的圖像處理計(jì)算時(shí)間,故總的計(jì)算時(shí)間要遠(yuǎn)大于10ms,這不但影響控制周期的選擇而且極大影響控制系統(tǒng)性能甚至導(dǎo)致控制系統(tǒng)失穩(wěn).

2)計(jì)算誤差.主要來(lái)自兩方面因素:一方面倒立擺的圖像受實(shí)驗(yàn)環(huán)境例如光照、背景等干擾影響;另一方面工業(yè)相機(jī)視覺(jué)視野必須包含小車和擺桿運(yùn)動(dòng)整個(gè)區(qū)域,離擺體的距離要遠(yuǎn)大于文獻(xiàn)[19]中對(duì)應(yīng)的距離,本文中相機(jī)成像平面與倒立擺平面距離約為1m,然而,由于相機(jī)較小,倒立擺較大,使得相機(jī)平面與倒立擺平面完全平行比較困難,不平行也不可避免地產(chǎn)生誤差.然而,由于采樣周期短,較小誤差就會(huì)導(dǎo)致較大的小車速度誤差和擺桿角速度誤差,進(jìn)而導(dǎo)致施加在小車上控制力誤差大幅度增大,從而使得擺桿偏角和小車位移出現(xiàn)大幅度振蕩甚至導(dǎo)致不穩(wěn)定.例如當(dāng)小車特征點(diǎn)的像素位移誤差為2pixels時(shí),通過(guò)計(jì)算施加在小車上的對(duì)應(yīng)控制輸入誤差放大為5.84m/s2.

為了解決以上兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題,接下來(lái)首先設(shè)計(jì)基于事件觸發(fā)的圖像采集策略,然后考慮倒立擺的擺桿與小車特征,進(jìn)行小車位移和擺桿偏角與圖像像素之間的定量關(guān)系計(jì)算,并分析計(jì)算時(shí)間與計(jì)算誤差的統(tǒng)計(jì)特性.

2 視覺(jué)傳感測(cè)量

2.1 圖像采集

在建立的倒立擺視覺(jué)伺服控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中,相機(jī)架設(shè)在擺體正前方,并且保持相機(jī)所在平面水平及光軸垂直于擺桿自由旋轉(zhuǎn)的垂直面.相機(jī)幀率設(shè)為100fps,即每幀圖像曝光時(shí)間為10ms;為了實(shí)時(shí)連續(xù)采集擺體運(yùn)動(dòng)圖像并降低總計(jì)算時(shí)間,相機(jī)采用事件觸發(fā)機(jī)制進(jìn)行圖像采集,即當(dāng)一幀圖像通過(guò)處理計(jì)算完小車位移和擺桿偏角后,立即向工業(yè)相機(jī)發(fā)送采集下一幀圖像的指令,如圖2所示.

圖2 倒立擺視覺(jué)伺服控制系統(tǒng)控制框圖Fig.2 Control block diagram of inverted pendulum visual servoing control system

注1.在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中設(shè)置相機(jī)幀率為100fps,圖像的曝光時(shí)間均設(shè)為10ms,能夠使圖像具有一定的曝光度以保證圖像質(zhì)量,同時(shí)曝光時(shí)間也不太長(zhǎng),否則會(huì)增加總計(jì)算時(shí)間.工業(yè)相機(jī)采用事件觸發(fā)機(jī)制,使得相機(jī)能夠采集盡可能多的圖像,從而使控制器能夠運(yùn)用最多的狀態(tài)信息以提高控制系統(tǒng)性能.然而,由于每次總計(jì)算時(shí)間的隨機(jī)性,使得每次采樣間隔并不相同,故實(shí)際每秒處理圖像30～50幀.

2.2 小車位移和擺桿偏角計(jì)算

在工業(yè)相機(jī)設(shè)置好后,不同于傳統(tǒng)的光電編碼器可以直接獲取狀態(tài)信息,相機(jī)采集的擺體圖像需要通過(guò)圖像處理提取出目標(biāo)特征點(diǎn)信息后,才能快速計(jì)算小車位移和擺桿偏角.針對(duì)擺體圖像,小車位移和擺桿偏角計(jì)算過(guò)程如圖3所示,主要包括圖像預(yù)處理(S1:局部定位;S2:邊緣檢測(cè))和狀態(tài)信息計(jì)算(S3:小車位移和擺桿偏角計(jì)算).

1)圖像預(yù)處理.工業(yè)相機(jī)采集的擺體圖像背景為灰白墻體背景,如圖4(a)所示,從中可以直觀地看到圖像信息冗余度較大,為了降低數(shù)據(jù)量,加快圖像處理速度,節(jié)省計(jì)算時(shí)間,需在原圖像中分別定位小車和擺桿的運(yùn)動(dòng)區(qū)域.因?yàn)橄鄼C(jī)和倒立擺之間的距離固定,故運(yùn)動(dòng)擺體通過(guò)相機(jī)透視投影后的圖像具有相對(duì)固定的分辨率,因此采用行掃描從圖像中提取出小車和擺桿的運(yùn)動(dòng)區(qū)域,如圖4(b)和圖4(c)所示.然后,采用Canny邊緣檢測(cè)算法[22?23]檢測(cè)小車和擺桿的邊緣信息,如圖5(a)和圖5(b)所示,在此基礎(chǔ)上計(jì)算小車位移和擺桿偏角.

2)小車位移計(jì)算.擺體圖像通過(guò)圖像預(yù)處理(S1,S2)后獲得的小車位移以像素為單位,而實(shí)際實(shí)驗(yàn)平臺(tái)控制參數(shù)是以物理位移為單位,故需要進(jìn)行單位轉(zhuǎn)換,這通過(guò)相機(jī)透視投影模型實(shí)現(xiàn)[19,22],如圖6所示.圖6包含4個(gè)坐標(biāo)系,即世界坐標(biāo)系(Ow:XwYwZw)、相機(jī)坐標(biāo)系(Oc:XcYcZc)、像素坐標(biāo)系(O0:uv)和成像平面坐標(biāo)系(O1:xy),其中Oc表示相機(jī)光心,Zc表示相機(jī)光軸,并且Zc是垂直像素坐標(biāo)系于主點(diǎn)O1(u0,v0),OcO1表示相機(jī)焦距,即f=OcO1,OcOw表示相機(jī)光心到擺桿自由旋轉(zhuǎn)垂直面之間距離,即d=OcOw.

圖3 視覺(jué)傳感測(cè)量過(guò)程Fig.3 Process of vision sensing measurement

圖4 小車和擺桿局部定位Fig.4 Local location of cart and pendulum

圖5 小車和擺桿邊緣信息Fig.5 Edge information of cart and pendulum

圖6 相機(jī)透視投影模型Fig.6 The camera perspective projection model

為了得到目標(biāo)特征點(diǎn)的物理量,世界坐標(biāo)系和像素坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

其中,P=[u v1]T和Pw=[XwYwZw1]T分別是目標(biāo)特征點(diǎn)在像素坐標(biāo)系中的二維齊次坐標(biāo)和世界坐標(biāo)系中的三維齊次坐標(biāo),λ是一個(gè)標(biāo)量因子,相機(jī)外部參數(shù)T∈R3和單位正交矩陣R∈R3×3分別表示像素坐標(biāo)系和世界坐標(biāo)系之間的平移量和旋轉(zhuǎn)量.由于倒立擺平臺(tái)和工業(yè)相機(jī)均固定不動(dòng),故世界坐標(biāo)系和相機(jī)坐標(biāo)系始終重合一致,則相機(jī)外部參數(shù)為

相機(jī)內(nèi)部參數(shù)矩陣K∈R3×3采用相機(jī)標(biāo)定[24]確定,即

其中,αu=f/dx,αv=f/dy.dx和dy分別為每個(gè)像素在成像平面坐標(biāo)系的x軸和y軸方向上的物理距離.s為因成像平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸不互相正交而導(dǎo)致的傾斜因子,不失一般性,設(shè)s=0.

由于世界坐標(biāo)系和相機(jī)坐標(biāo)系之間沒(méi)有發(fā)生旋轉(zhuǎn)和平移,故標(biāo)量λ的大小就是目標(biāo)特征點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)Zw,也是相機(jī)光心到擺桿自由旋轉(zhuǎn)的垂直面之間距離d,即λ=d.通過(guò)標(biāo)定可得相機(jī)內(nèi)部參數(shù),如表1所示.

表1 相機(jī)內(nèi)部參數(shù)Table 1 Intrinsic parameters of camera

通過(guò)式(1)可得

由式(2)可知,在獲得目標(biāo)特征點(diǎn)在像素坐標(biāo)系中的水平坐標(biāo)值u后,可計(jì)算出目標(biāo)特征點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的水平坐標(biāo)值Xw,即得到小車位移.因此,為了計(jì)算小車在像素坐標(biāo)系中的位移,首先在圖5(a)的小車邊緣圖像中采用行掃描算法[18,21],快速地找出小車的垂直邊緣(列坐標(biāo)),然后根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)定義n個(gè)不同的像素行vi(i=1,···,n),如圖7所示.接著,采用逐行掃描可得到對(duì)應(yīng)小車邊緣的像素列索引ui(i=1,···,n),最后將其平均值作為小車的實(shí)際像素位移,即

圖7 行掃描檢測(cè)小車位移Fig.7 Cart position is determined using line scan algorithm

注2.針對(duì)以上像素行數(shù)n的取值要大于1,使得通過(guò)式(3)取均值可降低檢測(cè)誤差,但是n取值也不能過(guò)大,否則將大大增加圖像處理花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間而導(dǎo)致實(shí)時(shí)性差.根據(jù)實(shí)際實(shí)驗(yàn),本文中取n=3.

3)擺桿偏角計(jì)算.由于角度的大小在映射過(guò)程中始終保持不變,故擺桿在世界坐標(biāo)系中的偏角與其在像素坐標(biāo)系中的偏角相同.二值圖像中的直線通?？捎没舴蜃儞Q(Hough transform)方法[25]檢測(cè)并計(jì)算傾斜弧度.例如對(duì)圖5(b),采用霍夫變換從擺桿邊緣圖像中檢測(cè)擺桿偏角,結(jié)果如圖8所示.在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中,通?；舴蜃儞Q檢測(cè)出來(lái)滿足條件的直線不止一條,故計(jì)算所有滿足條件的直線傾斜弧度,并將平均值作為擺桿偏角.

圖8 霍夫變換檢測(cè)擺桿偏角Fig.8 Pendulum angle is determined using Hough transform

2.3 計(jì)算時(shí)間和計(jì)算誤差統(tǒng)計(jì)分析

1)計(jì)算時(shí)間統(tǒng)計(jì)分析.在圖像采集、小車和擺桿圖像處理定位及狀態(tài)信息計(jì)算過(guò)程中都需要耗費(fèi)時(shí)間,導(dǎo)致小車位移和擺桿偏角狀態(tài)信息相對(duì)相機(jī)采樣時(shí)刻嚴(yán)重滯后.此外,由于光照、背景變化以及擺桿運(yùn)動(dòng)變化等因素影響圖像質(zhì)量使得每一幀圖像的處理計(jì)算時(shí)間不盡相同,具有一定的時(shí)變性,因此將圖像處理計(jì)算時(shí)間視為定時(shí)滯研究具有一定缺陷,需要進(jìn)一步研究計(jì)算時(shí)間特性對(duì)倒立擺性能的具體影響.為了分析圖像處理計(jì)算時(shí)間的特性,采集了2000幀倒立擺運(yùn)動(dòng)圖像,然后通過(guò)上述圖像處理算法計(jì)算小車位移和擺桿偏角,同時(shí)記錄每幀圖像處理耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間,如圖9所示.通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析,發(fā)現(xiàn)計(jì)算時(shí)間變化范圍為[0.019,0.029]s.若用,分別表示圖像處理計(jì)算時(shí)間的上下界,則

圖9 計(jì)算時(shí)間Fig.9 Computational time

2)計(jì)算誤差統(tǒng)計(jì)分析.在倒立擺實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)過(guò)程中,由于背景、光照及實(shí)驗(yàn)環(huán)境等導(dǎo)致視覺(jué)傳感采集的圖像帶有噪聲,進(jìn)而在計(jì)算小車位移和擺桿偏角過(guò)程中不可避免地產(chǎn)生計(jì)算誤差.然而,由于影響圖像質(zhì)量難以用精確模型描述,故采用數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行誤差分析.首先,通過(guò)實(shí)驗(yàn)采集2000幀倒立擺實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)圖像,同時(shí)將每幀圖像采集時(shí)刻的光電編碼器值作為基準(zhǔn)值,在此運(yùn)用同一個(gè)定時(shí)器,同時(shí)啟動(dòng)光電編碼器和工業(yè)相機(jī)以保證工業(yè)相機(jī)和光電編碼器采樣時(shí)刻一致.接著,對(duì)每一幀圖像進(jìn)行處理以計(jì)算小車位移和擺桿偏角,將其微分處理后得到小車速度信號(hào)和擺桿角速度信號(hào),并與光電編碼器采集信息一一對(duì)比,小車位移、小車速度、擺桿偏角、擺桿角速度計(jì)算誤差分別如圖10～13所示.最后,從中可以發(fā)現(xiàn)小車位移和速度統(tǒng)計(jì)誤差分別是 [?0.0015,+0.0015]m,[?0.0015,+0.0015]m/s,擺桿偏角和角速度統(tǒng)計(jì)誤差分別是 [?0.007,+0.007]rad,[?0.35,+0.35]rad/s.若狀態(tài)量的圖像處理計(jì)算誤差用err(t)∈R4表示,則

其中,Bω=[0.0015 0.007 0.075 0.35]T,ω(t)∈[?1,+1]是隨機(jī)變量.

圖10 小車位移計(jì)算誤差統(tǒng)計(jì)Fig.10 Computational error statistics of cart position

圖11 小車速度計(jì)算誤差統(tǒng)計(jì)Fig.11 Computational error statistics of cart velocity

圖12 擺桿偏角計(jì)算誤差統(tǒng)計(jì)Fig.12 Computational error statistics of pendulum angle

圖13 擺桿角速度誤差統(tǒng)計(jì)Fig.13 Computational error statistics of pendulum angular velocity

注3.統(tǒng)計(jì)分析表明,運(yùn)用視覺(jué)傳感采集擺體運(yùn)動(dòng)圖像,然后通過(guò)圖像處理計(jì)算擺桿偏角和小車位移所耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間具有時(shí)變特性且有上下界.同時(shí),背景、光照及實(shí)驗(yàn)環(huán)境等帶來(lái)的圖像處理計(jì)算誤差也是隨機(jī)且具有上下界,故可將計(jì)算誤差定義為外部有界干擾.

由于倒立擺穩(wěn)定控制對(duì)實(shí)時(shí)性和精確度要求非常高,故接下來(lái)考慮時(shí)變圖像處理計(jì)算時(shí)間和計(jì)算誤差,建立視覺(jué)倒立擺系統(tǒng)模型并進(jìn)行穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì).

3 系統(tǒng)建模

考慮以上統(tǒng)計(jì)的圖像處理計(jì)算誤差(式(5)),根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)學(xué)定理并在擺桿垂直向上的穩(wěn)定范圍內(nèi)(|θ|≤0.2rad)進(jìn)行線性化,可建立倒立擺視覺(jué)伺服控制系統(tǒng)狀態(tài)空間方程,即

其中,x(t)∈R4是狀態(tài)量,且x1=α,x3=,x2=θ,x4=分別表示小車位移(m)、小車速度(m/s)、擺桿偏角(rad)、擺桿角速度(rad/s);u(t)表示控制輸入信號(hào)且為小車加速度;z(t)∈R2表示被調(diào)輸出;ω(t)∈L2[0,∞)是圖像處理計(jì)算誤差(式(5));A,B,C,D和Bω是已知常數(shù)矩陣,具體如下:

其中,l為擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)到質(zhì)心的長(zhǎng)度,m為擺桿質(zhì)量,J為擺桿基于轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,g為重力加速度,α為小車位移,θ為擺桿與垂直方向的偏轉(zhuǎn)角度.

針對(duì)系統(tǒng)模型(6),設(shè)計(jì)無(wú)記憶的全狀態(tài)反饋控制器

由于相機(jī)采用事件觸發(fā)機(jī)制,當(dāng)每一幀圖像通過(guò)處理計(jì)算完小車位移和擺桿偏角后才進(jìn)行下一幀圖像的采集,如圖14所示,tk表示相機(jī)采集第k幀圖像時(shí)刻,dk表示第k幀圖像處理花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間,由式(4)可知其滿足

圖14 信號(hào)時(shí)序圖Fig.14 Signal timing diagram

從圖14可知,控制信號(hào)(7)可改寫(xiě)為

因?yàn)橄鄼C(jī)采集圖像時(shí)刻tk與計(jì)算時(shí)間dk密切相關(guān),為了建立tk與dk之間關(guān)系,令

其中,d(t)是具有上下界的時(shí)變時(shí)延,滿足

將式(9)和式(10)代入式(6),可得

從式(12)可以發(fā)現(xiàn),閉環(huán)系統(tǒng)是一個(gè)帶有時(shí)變時(shí)延和外部噪聲干擾的連續(xù)系統(tǒng),對(duì)其穩(wěn)定性分析可以描述成如下定義的H∞控制問(wèn)題.

定義 1.H∞控制問(wèn)題[26?28].對(duì)給定常數(shù)γ>0,如果系統(tǒng)(12)具有如下性質(zhì):

1)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的;

2)外部擾動(dòng)ω(t)到被調(diào)輸出z(t)的傳遞函數(shù)Gωz(s)的H∞范數(shù)不超過(guò)給定的常數(shù)γ,即在零初始化條件x(t)=0(t∈[?d2,0])下,滿足‖z(t)‖≤γ‖ω(t)‖,?ω(t)∈L2[0,∞),則稱系統(tǒng) (12)具有H∞性能γ,其中‖z(t)‖ ≤γ‖ω(t)‖反映了系統(tǒng)對(duì)外部擾動(dòng)的抑制能力.

若不考慮圖像處理計(jì)算誤差,即ω(t)=0,由以上推理過(guò)程可知閉環(huán)系統(tǒng)(12)將退化為

注4.閉環(huán)控制系統(tǒng)(12)不僅考慮了時(shí)變計(jì)算時(shí)間特性,而且考慮了計(jì)算誤差,這不同于目前不考慮計(jì)算誤差且僅簡(jiǎn)單考慮計(jì)算時(shí)間的研究工作[18?21],從而為深入分析計(jì)算時(shí)間和計(jì)算誤差與系統(tǒng)性能之間的定量關(guān)系奠定了基礎(chǔ).此外,閉環(huán)系統(tǒng)(13)僅考慮時(shí)變計(jì)算時(shí)間特性,這也為后續(xù)對(duì)比分析計(jì)算誤差對(duì)系統(tǒng)性能影響奠定了基礎(chǔ).

4 穩(wěn)定性分析

首先給出以下三個(gè)引理.

引理2[30].對(duì)于給定的實(shí)對(duì)稱矩陣R>0,R∈Rn×n,存在標(biāo)量γ>0以及向量函數(shù)˙x:[?γ,0]→Rn,則以下不等式成立.

引理3[31].對(duì)于給定的實(shí)對(duì)稱矩陣R>0,R∈Rn×n,存在標(biāo)量0

定理1.對(duì)于給定常數(shù)00,如果存在適當(dāng)維數(shù)實(shí)正定對(duì)稱矩陣P,Qi(i=1,2),Zj(j=1,2),使得下列矩陣不等式成立

則閉環(huán)系統(tǒng)(12)對(duì)所有滿足式(11)的時(shí)延均漸近穩(wěn)定,且在零初始條件下具有給定的H∞擾動(dòng)抑制水平γ.

證明.構(gòu)造如下Lyapunov泛函:

對(duì)V(x(t))關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo),可得

將式(19)～(21)相加,可得

應(yīng)用引理2和引理3,可得

將式(23)～(25)代入式(22),可得V(x(t))的導(dǎo)數(shù)為

接下來(lái)從兩個(gè)方面證明定理1.

1)設(shè)ω(t)=0,?t≥0,則

2)在零初始條件x(t)=0(t∈[?d2,0])下,滿足‖z(t)‖≤γ ‖ω(t)‖,?ω(t)∈L2[0,∞),則

如果Π<0,則

上式兩邊對(duì)t從0～∞求積分,可得

在零初始條件下,V(x(t))|t=0=0,則

成立,即‖z(t)‖≤γ‖ω(t)‖成立.由引理1可知,矩陣不等式(17)成立,則Π<0成立.

推論1.對(duì)于給定常數(shù)0

則閉環(huán)系統(tǒng)(13)對(duì)所有滿足式(11)的時(shí)延均漸近穩(wěn)定.

推論1的證明與定理1的證明過(guò)程類似,只需將定理1中涉及圖像處理誤差ω(t)項(xiàng)的行和列(即第5、6行,第5、6列)刪除即可,證明略.

注5.定理1證明了受時(shí)變時(shí)延和計(jì)算誤差影響的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性,建立了系統(tǒng)穩(wěn)定性條件與時(shí)變時(shí)延之間的關(guān)系,給出了系統(tǒng)對(duì)計(jì)算誤差的抑制水平.推論1證明了受時(shí)變時(shí)延影響的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性,建立了系統(tǒng)穩(wěn)定性條件與時(shí)變時(shí)延之間的關(guān)系.

5 控制器設(shè)計(jì)

定理1給出了系統(tǒng)穩(wěn)定性及H∞擾動(dòng)抑制水平γ與控制器存在的充分條件,然而通過(guò)定理1直接解決反饋增益K困難,因?yàn)槎ɡ?中存在非線性耦合項(xiàng)如PBK,難以直接運(yùn)用MATLAB的LMI工具箱求解矩陣不等式獲得控制器參數(shù),故需要進(jìn)行矩陣變換,為此給出定理2.

定理2.對(duì)于給定常數(shù)0

則閉環(huán)系統(tǒng)(12)對(duì)所有滿足式(11)的時(shí)延均是漸近穩(wěn)定的,并在零初始條件下具有給定的H∞擾動(dòng)抑制水平γ,且H∞控制器增益為K=Y X?1.

證明.令定理1中的矩陣不等式(17)分別左乘右乘對(duì)角矩陣

和它的轉(zhuǎn)置矩陣,并且令

由(εX?R)R?1(εX?R)T>0,其中R>0是實(shí)對(duì)稱矩陣,X是適當(dāng)維數(shù)任意矩陣,可得

推論2.對(duì)于給定常數(shù)0

則閉環(huán)系統(tǒng)(13)對(duì)所有滿足(11)的時(shí)滯均是漸近穩(wěn)定的,且狀態(tài)反饋控制器增益為K=Y X?1.

推論2的證明與定理2的證明過(guò)程類似,只需將定理2中涉及計(jì)算誤差ω(t)項(xiàng)的行和列(即第5、6行,第5、6列)刪除即可,證明略.

注6.定理2給出了時(shí)變時(shí)延和H∞性能γ參數(shù)下,系統(tǒng)的控制器參數(shù)可以通過(guò)求解式(33)的可行解得到.推論2在給出了時(shí)變時(shí)延參數(shù)下,通過(guò)LMI工具箱求解式(34)的可行解可得控制器參數(shù).

6 仿真和實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)

首先,構(gòu)建倒立擺視覺(jué)伺服控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái),如圖15所示.根據(jù)實(shí)際實(shí)驗(yàn)平臺(tái),可得倒立擺控制系統(tǒng)模型(6)中A和B參數(shù)為l=0.25m,m=0.109kg,J=0.009083kg·m2,g=9.81m/s2.根據(jù)式(4)可得

圖15 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.15 Experimental platform

常量參數(shù)γ,ε1,ε2經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn),可設(shè)置為γ=2.400,ε1=0.083,ε2=0.104.

然后針對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)(12)和(13),求解定理2和推論2的式(33)和式(34),可得控制增益分別為

下面從兩個(gè)方面驗(yàn)證所提方法的合理性和有效性.

1)分析圖像處理計(jì)算誤差對(duì)倒立擺系統(tǒng)性能的影響

分別從仿真和實(shí)際平臺(tái)實(shí)驗(yàn)對(duì)控制增益K1和K2進(jìn)行驗(yàn)證,設(shè)置狀態(tài)初始值均為x0=[0 0.100 0 0]T.

仿真實(shí)驗(yàn):對(duì)控制增益K1和K2的仿真結(jié)果分別如圖16和圖17所示.圖16是考慮圖像處理計(jì)算誤差設(shè)計(jì)控制器(控制律K1)的控制效果曲線,圖17是不考慮圖像處理誤差設(shè)計(jì)控制器(控制律K2)的控制效果曲線.對(duì)比圖16和圖17可以發(fā)現(xiàn),在控制律K1作用下,小車和擺桿均很快進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)且波動(dòng)很小,而在控制律K2作用下,雖然擺桿可進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài),但是小車在軌道上來(lái)回大偏移量移動(dòng),控制律K1的控制性能明顯優(yōu)于控制律K2的控制性能.

實(shí)際平臺(tái)實(shí)驗(yàn):在圖15所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上,分別采用控制增益K1和K2進(jìn)行實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證控制增益K1可實(shí)現(xiàn)倒立擺穩(wěn)定控制,其實(shí)時(shí)控制效果如圖18所示,小車和擺桿均在5s內(nèi)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài),其穩(wěn)定性能比較良好.由于實(shí)際實(shí)驗(yàn)環(huán)境更加復(fù)雜多變,多重因素影響倒立擺的實(shí)際穩(wěn)定性能,理論仿真不可能完全模擬實(shí)際條件,因此實(shí)際的實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)效果跟理論仿真存在一定的差異是合理的.然而,控制增益K2直接無(wú)法實(shí)現(xiàn)倒立擺的穩(wěn)定控制.

圖16 在控制律K1下的小車位移和擺桿偏角(仿真)Fig.16 Cart position and pendulum angle in controller K1(simulation)

圖17 在控制律K2下的小車位移和擺桿偏角(仿真)Fig.17 Cart position and pendulum angle in controller K2(simulation)

圖18 在控制律K1下的小車位移和擺桿偏角(實(shí)時(shí)控制)Fig.18 Cart position and pendulum angle in controller K1(real-time control)

仿真和實(shí)際平臺(tái)實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示,在同等常量參數(shù)下,定理2求解的控制律K1的控制性能明顯優(yōu)于推論2求解的控制律K2的控制性能,由此表明對(duì)于含有視覺(jué)伺服的控制系統(tǒng)研究中,考慮圖像處理計(jì)算誤差對(duì)系統(tǒng)性能的影響非常必要.

2)分析圖像處理計(jì)算時(shí)間對(duì)倒立擺系統(tǒng)性能的影響

在控制增益K1下,通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)可得保證閉環(huán)系統(tǒng)(12)穩(wěn)定所允許的時(shí)變計(jì)算時(shí)延最大上界d2=0.089s,即所允許的圖像處理計(jì)算時(shí)間最大上界=0.045s,即當(dāng)d2>0.089s(即>0.045s)后,系統(tǒng)(12)發(fā)散不可控.

為了詳細(xì)分析圖像處理計(jì)算時(shí)間對(duì)倒立擺系統(tǒng)性能的實(shí)際影響,在圖像處理過(guò)程中加上一定的計(jì)算時(shí)間,使分別達(dá)到0.029s,0.034s,0.037s,0.039s,0.040s,進(jìn)而在控制增益K1下依次進(jìn)行倒立擺實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn),并設(shè)置狀態(tài)初始初始值均為x0=[0 0 0 0]T.實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)的小車位移和擺桿偏角分別如圖19和圖20所示.從中可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)=0.029s/0.034s/0.038s時(shí),小車位移和擺桿偏角曲線圖沒(méi)有明顯差異,隨著增大,小車位移和擺桿偏角曲線圖波動(dòng)略微增大,但沒(méi)有明顯變化,但是當(dāng)=0.039s/0.040s時(shí),小車位移和擺桿偏角曲線出現(xiàn)劇烈波動(dòng)并且最終發(fā)散,失去穩(wěn)定.

通過(guò)實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),倒立擺能夠穩(wěn)定控制的=0.038s,略小于仿真實(shí)驗(yàn)得到的臨界值=0.045s,因?yàn)閷?shí)際實(shí)驗(yàn)環(huán)境比仿真環(huán)境更加復(fù)雜,理論仿真不可能完全與實(shí)際環(huán)境一致,故實(shí)際實(shí)驗(yàn)得到的上界值小于仿真實(shí)驗(yàn)得到的上界值是合理的.此外,實(shí)驗(yàn)尤其表明,圖像處理計(jì)算時(shí)間對(duì)倒立擺系統(tǒng)性能具有非常明顯影響,故考慮其時(shí)變特性設(shè)計(jì)控制器更加符合實(shí)際.

7 結(jié)論

圖19 不同圖像處理計(jì)算時(shí)間上界的小車位移Fig.19Cart position in different upper bound of image processing computational time

圖20 不同圖像處理計(jì)算時(shí)間上界的擺桿偏角Fig.20Pendulum angle in different upper bound of image processing computational time

本文主要研究帶有時(shí)變圖像處理計(jì)算時(shí)間和計(jì)算誤差的倒立擺視覺(jué)伺服實(shí)時(shí)控制問(wèn)題.首先研究設(shè)計(jì)了一種網(wǎng)絡(luò)化倒立擺視覺(jué)伺服控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái),提出了小車位移和擺桿偏角的視覺(jué)傳感測(cè)量實(shí)時(shí)計(jì)算方法,并統(tǒng)計(jì)分析了圖像處理計(jì)算時(shí)間和計(jì)算誤差特性,建立了帶有時(shí)變計(jì)算時(shí)間和計(jì)算誤差的倒立擺視覺(jué)控制系統(tǒng)閉環(huán)模型,證明了系統(tǒng)穩(wěn)定性并建立了反映圖像處理計(jì)算時(shí)間與系統(tǒng)穩(wěn)定性能之間的關(guān)系且給出了系統(tǒng)對(duì)計(jì)算誤差的擾動(dòng)抑制水平γ,并進(jìn)行了H∞控制器設(shè)計(jì).與目前不考慮計(jì)算時(shí)間和計(jì)算誤差或?qū)⒂?jì)算時(shí)間視為定時(shí)滯進(jìn)行研究倒立擺視覺(jué)實(shí)時(shí)控制方法相比[18?21],本文提出的帶時(shí)變計(jì)算時(shí)間和計(jì)算誤差的倒立擺視覺(jué)H∞控制研究更加具有優(yōu)勢(shì).另外,本文研究?jī)?nèi)容可進(jìn)一步拓展到雙并聯(lián)倒立擺視覺(jué)伺服控制系統(tǒng),這是后續(xù)一項(xiàng)十分有價(jià)值的研究工作.