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        帶擾動的隨機微分方程的貝葉斯估計及其漸近性

        2019-04-12 06:39:52譚慧玲
        關(guān)鍵詞:布朗運動估計量正態(tài)

        譚慧玲,呂 艷

        (南京理工大學(xué) 理學(xué)院 江蘇 南京 210094)

        0 引言

        在概率空間(Ω,F,P)上,研究帶擾動的隨機微分方程

        (1)

        其中:θ∈Θ(Θ?R)為待估參數(shù);0<ε≤1為擾動參數(shù);Wt和Bt是相互獨立的標準布朗運動;初始值(x0,y0)∈R×R.隨機微分方程的參數(shù)狀態(tài)往往是未知的,因此對隨機系統(tǒng)中的參數(shù)估計也就成了實際應(yīng)用中必須要解決的問題.目前,對于隨機微分方程的參數(shù)研究,大部分都是對離散參數(shù)的估計[1],以及對參數(shù)的極大似然估計[2-3],而對于隨機微分方程參數(shù)的貝葉斯估計的研究則不多.文獻[4]證明了由分數(shù)布朗運動驅(qū)動的一類簡單的線性隨機微分方程的貝葉斯估計量的漸近正態(tài)性.文獻[5]考慮了一類特定的一階隨機微分方程的貝葉斯估計問題,給出了當損失函數(shù)滿足一定條件時,其參數(shù)的貝葉斯估計量的公式.相對于上述幾種模型,本文考慮一類帶擾動參數(shù)的隨機微分方程的貝葉斯估計,并討論了小擾動參數(shù)ε對估計量的影響.

        1 θ的貝葉斯估計量

        (2)

        (3)

        令θ0為參數(shù)θ在Θ中的一個真值,則由式(3)、Pθ相對于Pθ0的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)為

        (4)

        由方程(1)可知

        (5)

        將方程(5)代入到式(4)中,整理可得

        (6)

        ?u∈Θ.

        (7)

        2 貝葉斯估計的漸近正態(tài)性

        現(xiàn)在來討論估計量的性質(zhì),P和E表示概率和期望.考慮隨機過程ZT(u)=(dPθ0+u/λ(T))/(dPθ0),其中

        (8)

        (9)

        由引理1可知,當T→∞時,有

        (10)

        3 貝葉斯估計的漸近一致性

        (11)

        假設(shè)下列3個條件成立.

        引理2假設(shè)條件a)~c)成立,則存在δ0>0,使得當ε→0時,有

        證明由文獻[13]可直接得到.

        證明由引理2可得

        (12)

        令K(τ)≡1,則

        (13)

        由式(12)、(13)和文獻[5]可得,當ε→0時,上述不等式右側(cè)趨于零,得證.

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