洪 偉 藺誠毅 陳 婷

(西安電子工程研究所 西安 710100)

0 引言

城市環(huán)境下，由于缺乏統(tǒng)一的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范，少數(shù)商用無人機(jī)處于“黑飛”狀態(tài)，從而可能引發(fā)一系列安全事件。加強(qiáng)對(duì)無人機(jī)的管控已成為城市公共安全方面一項(xiàng)重要任務(wù)。

實(shí)現(xiàn)對(duì)無人機(jī)實(shí)時(shí)管控的前提是對(duì)無人機(jī)的精準(zhǔn)定位，由于無人機(jī)與地面控制站之間具有無線通訊和控制鏈路，因此可使用電磁信號(hào)監(jiān)測(cè)設(shè)備，通過處理無人機(jī)自身發(fā)出的電磁波信號(hào)(例如通訊信號(hào))到達(dá)不同監(jiān)測(cè)設(shè)備的時(shí)間差實(shí)現(xiàn)對(duì)無人機(jī)的定位。這種定位方法稱之為時(shí)差定位(TDOA)。在二維平面內(nèi)，無人機(jī)信號(hào)到達(dá)兩監(jiān)測(cè)設(shè)備的時(shí)間差確定了一對(duì)以兩監(jiān)測(cè)設(shè)備為焦點(diǎn)的雙曲線，利用三個(gè)監(jiān)測(cè)設(shè)備得到兩組時(shí)差信息，得到兩對(duì)雙曲線，雙曲線的交點(diǎn)即為無人機(jī)的位置[1]。

1 時(shí)差定位原理分析

如圖1所示，T為無人機(jī)的位置，其坐標(biāo)為(x,y)，A，B，C為三個(gè)監(jiān)測(cè)設(shè)備的位置，其坐標(biāo)分別為(x1,y1)，(x2,y2)，(x0,y0)。r0、r1、r2分別為目標(biāo)到監(jiān)測(cè)設(shè)備C、監(jiān)測(cè)設(shè)備A和監(jiān)測(cè)設(shè)備B的距離，距離差為Δri，i=1,2，則定位方程為：

(1)

其中i=1,2，c代表光速。

Δti表示信號(hào)到達(dá)時(shí)間(TOA)之差，即信號(hào)到達(dá)不同監(jiān)測(cè)設(shè)備的時(shí)間之差。

對(duì)式(1)進(jìn)行整理得到：

(x0-xi)x+(y0-yi)y=ki+r0Δri

(2)

將式2寫成矩陣形式為：

AX=F

(3)

其中：

用偽逆法求得X的解為：

(4)

圖1 時(shí)差定位原理示意圖

令

(ATA)-1AT=[aij]2×2

(5)

則由式(4)得到目標(biāo)位置的估計(jì)值為：

(6)

其中：

(7)

2 TDOA誤差分析

2.1 無人機(jī)信號(hào)視距傳播時(shí)的誤差

當(dāng)無人機(jī)信號(hào)監(jiān)測(cè)設(shè)備周邊無高大建筑、植被和地形遮擋時(shí)，可以認(rèn)為電磁信號(hào)在無人機(jī)與監(jiān)測(cè)設(shè)備之間沿直線傳播，這種傳播方式也稱為視距傳播。此時(shí)無人機(jī)信號(hào)從無人機(jī)到監(jiān)測(cè)設(shè)備的傳播時(shí)間取決于信號(hào)傳播速度和無人機(jī)到監(jiān)測(cè)設(shè)備的距離，并與距離呈線性關(guān)系，此時(shí)的誤差來自信號(hào)檢測(cè)。

2.2 無人機(jī)信號(hào)多徑傳播時(shí)的誤差

城市環(huán)境下，由于各種障礙物的遮擋和地形的影響，無人機(jī)電磁信號(hào)只能以反射、折射和散射的形式傳播，可以認(rèn)為信號(hào)在無人機(jī)與監(jiān)測(cè)設(shè)備之間存在多條直線傳播，即多徑傳播。信號(hào)多徑傳播時(shí)，可以通過統(tǒng)計(jì)的方法研究特定環(huán)境下的傳播誤差，并分析其統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

多徑傳播時(shí)，信號(hào)傳播的時(shí)間比視距傳播時(shí)間更長，即信號(hào)多徑傳播引起了附加時(shí)延τ。統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)τ是一個(gè)服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量[2]，其概率密度函數(shù)為：

(8)

式(8)中的τrms是可以用式(9)表示：

τrms=Tdαβ

(9)

表1 環(huán)境與信道參數(shù)取值

信道參數(shù)T/μsασβ/dB繁華市區(qū)0.90.54一般市區(qū)0.40.54

假設(shè)從無人機(jī)到監(jiān)測(cè)設(shè)備之間存在n條傳播路徑，n可以通過測(cè)量規(guī)律統(tǒng)計(jì)得到。監(jiān)測(cè)設(shè)備能夠檢測(cè)到各支路信號(hào)，無人機(jī)信號(hào)視距傳播時(shí)到達(dá)監(jiān)測(cè)設(shè)備的時(shí)間為TOA0，時(shí)延最大支路信號(hào)到達(dá)監(jiān)測(cè)設(shè)備的時(shí)間為TOAmax。同一監(jiān)測(cè)設(shè)備檢測(cè)到的各支路信號(hào)可看做是相互獨(dú)立的，各支路信號(hào)的附加時(shí)延為τi，τi是一組彼此獨(dú)立且都服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)可用式(10)表示：

(10)

其中τrmsi可由式(9)可知，具體表達(dá)式見式(11)和式(12)：

τrmsi=Tdαβi

(11)

(12)

故各支路信號(hào)到達(dá)監(jiān)測(cè)設(shè)備的時(shí)間TOAi可表示為TOA0+τi，其中TOAi介于TOA0與TOAmax之間。TOAi越接近視距傳播時(shí)間TOA0，監(jiān)測(cè)設(shè)備檢測(cè)信號(hào)到達(dá)時(shí)間引入的附加時(shí)延誤差就越小。因此將各支路信號(hào)中最早到達(dá)監(jiān)測(cè)設(shè)備的信號(hào)到達(dá)時(shí)間作為實(shí)際的信號(hào)到達(dá)時(shí)間，即實(shí)際的信號(hào)到達(dá)時(shí)間取值為TOA0+τmin。由于τi是一組相互獨(dú)立且都服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)可由(10)可知，故τmin的概率密度函數(shù)為：

(13)

(14)

綜上，城市環(huán)境下，多徑效應(yīng)使得監(jiān)測(cè)設(shè)備檢測(cè)到的無人機(jī)信號(hào)到達(dá)時(shí)間與視距傳播下的無人機(jī)信號(hào)到達(dá)時(shí)間存在時(shí)間差τmin，τmin是一個(gè)服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)可由式(13)表示。

2.3 系統(tǒng)誤差

監(jiān)測(cè)設(shè)備在檢測(cè)信號(hào)的過程中會(huì)帶來時(shí)間誤差，其大小取決于信號(hào)檢測(cè)的手段和監(jiān)測(cè)設(shè)備的精度，此時(shí)的誤差稱為系統(tǒng)誤差。

系統(tǒng)誤差是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其均值為0，方差為一常量，由信號(hào)檢測(cè)的手段和監(jiān)測(cè)設(shè)備的精度決定。城市環(huán)境中各監(jiān)測(cè)設(shè)備在檢測(cè)無人機(jī)信號(hào)時(shí)引入的系統(tǒng)誤差可看作是彼此相互獨(dú)立的。

2.4 TDOA測(cè)量值誤差的統(tǒng)計(jì)模型

假設(shè)利用m個(gè)監(jiān)測(cè)設(shè)備對(duì)無人機(jī)進(jìn)行TDOA定位，由于信道環(huán)境誤差和系統(tǒng)誤差的影響，第i個(gè)監(jiān)測(cè)設(shè)備檢測(cè)到的無人機(jī)信號(hào)TOA可表示為：TOAi=TOAi0+τi0+τimin，其中：

設(shè)第i個(gè)監(jiān)測(cè)設(shè)備檢測(cè)到的無人機(jī)信號(hào)到達(dá)時(shí)間為TOAi，第j個(gè)監(jiān)測(cè)設(shè)備檢測(cè)到的無人機(jī)信號(hào)到達(dá)時(shí)間為TOAj，則第i個(gè)監(jiān)測(cè)設(shè)備和第j個(gè)監(jiān)測(cè)設(shè)備檢測(cè)到的無人機(jī)信號(hào)到達(dá)時(shí)間之差ΔTij為：

ΔTij=(TOAi0-TOAj0)+(τi0-τj0)+(τimin-τjmin)

(15)

利用類正態(tài)分布[3-4]對(duì)服從指數(shù)分布的τimin和τjmin進(jìn)行擬合，類正態(tài)分布的概率密度函數(shù)如下所示：

(16)

利用最小二乘法對(duì)兩條概率密度曲線進(jìn)行擬合，假設(shè)誤差累計(jì)的平方和為Q，對(duì)于任意測(cè)量值ρ(τmin)，滿足

(17)

由最小二乘意義下的最優(yōu)擬合可令：

(18)

(19)

3 TDOA誤差模擬實(shí)驗(yàn)

3.1 無人機(jī)信號(hào)TDOA誤差統(tǒng)計(jì)模型的驗(yàn)證

模擬信號(hào)從無人機(jī)到監(jiān)測(cè)設(shè)備1和監(jiān)測(cè)設(shè)備2的傳播情況。假設(shè)無人機(jī)信號(hào)到達(dá)監(jiān)測(cè)設(shè)備1和監(jiān)測(cè)設(shè)備2的多徑數(shù)目均為10，可利用兩種手段獲得無人機(jī)信號(hào)到達(dá)監(jiān)測(cè)設(shè)備1和監(jiān)測(cè)設(shè)備2的到達(dá)時(shí)間差(TDOA)誤差。

一種方法是通過信號(hào)到達(dá)時(shí)間差誤差統(tǒng)計(jì)模型，隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)誤差作為模擬的TDOA誤差。另一種方法是假設(shè)兩個(gè)監(jiān)測(cè)設(shè)備各自檢測(cè)到的n條支路無人機(jī)信號(hào)中都含有因多徑傳播引入的附加延時(shí)τi，τi通過由式(10)隨機(jī)產(chǎn)生，系統(tǒng)誤差根據(jù)其正態(tài)分布的特征隨機(jī)產(chǎn)生，將這兩個(gè)誤差疊加，最后通過求這兩個(gè)監(jiān)測(cè)設(shè)備獲得的無人機(jī)信號(hào)到達(dá)時(shí)間之差獲得的TDOA作為實(shí)際的TDOA誤差。進(jìn)行10000次模擬試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)得到模擬TDOA誤差和實(shí)際TDOA誤差的概率密度曲線，如圖2所示。

圖2 TDOA時(shí)延概率密度分布曲線

由圖2可知，通過概率密度函數(shù)模擬的無人機(jī)信號(hào)TDOA誤差與實(shí)際的無人機(jī)信號(hào)TDOA誤差非常接近，因此該統(tǒng)計(jì)模型能反映出無人機(jī)信號(hào)到達(dá)各監(jiān)測(cè)設(shè)備的到達(dá)時(shí)間差誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

4 結(jié)束語

本文給出了一種城市環(huán)境下無人機(jī)時(shí)差定位原理，并分析了無人機(jī)TDOA定位中TDOA測(cè)量值誤差的主要來源，即多徑傳播引起的時(shí)延、監(jiān)測(cè)設(shè)備檢測(cè)信號(hào)引起的誤差。從城市環(huán)境中無人機(jī)信號(hào)多徑傳播的附加時(shí)延的統(tǒng)計(jì)規(guī)律出發(fā)，分析建立了無人機(jī)信號(hào)到達(dá)各監(jiān)測(cè)設(shè)備的TDOA誤差統(tǒng)計(jì)模型。最后通過Matlab進(jìn)行模擬試驗(yàn)，驗(yàn)證了TDOA誤差統(tǒng)計(jì)模型的有效性，該模型反映了城市環(huán)境下無人機(jī)信號(hào)TDOA誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是進(jìn)一步研究TDOA定位誤差的基礎(chǔ)。