孟偉峰，呂瑞騰，孔 雨，楊子祥

（山東省天安礦業(yè)有限公司，山東 曲阜 273155）

1 現(xiàn)行定位算法簡介

本文選用三種現(xiàn)行的定位算法進(jìn)行仿真比較。

假設(shè)n個(gè)錨節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為b1(x1,y1)，b2(x2,y2)，b3(x3,y3)…bn(xn,yn)，各錨節(jié)點(diǎn)到未知節(jié)點(diǎn)的 a的距離分別為 d1，d2，d3…dn，假設(shè)節(jié)點(diǎn) a 的坐標(biāo)為 。

1.1 無線電傳播路徑損耗模型

節(jié)點(diǎn)間的定位測距是通過接收信號強(qiáng)度指示(RSSI)來計(jì)算的，首先選定無線電傳播路徑損耗，在此基礎(chǔ)上獲得相對精確的測量距離。本文選用自由空間傳播模型和對數(shù)-正態(tài)分布模型來進(jìn)行分析。自由空間傳播模型為：

式中：d為節(jié)點(diǎn)距離（km）；f為頻率（MHz）；k為路徑衰減因子，其范圍在2～5之間。信號衰減采用對數(shù)距離衰減模型：

式中：PL（d）為經(jīng)過距離d后的路徑損耗（dB）；PL（d0）是參考距離d0的接收信號強(qiáng)度；Xσ為平均值為0的正態(tài)分布隨機(jī)變數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差范圍為2～5；

1.2 三邊定位算法

即可解得D的坐標(biāo)為：

1.3 最大似然估計(jì)算法

解線性方程得：AX=b，其中 X=[x，y]T且：

解得節(jié)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：

圖1 最大似然估計(jì)定位算法原理圖

1.4 基于RSSI的最大似然估計(jì)定位算法

該算法假設(shè)b0（x0，y0）為距離目標(biāo)節(jié)點(diǎn)最近的錨節(jié)點(diǎn)，設(shè)其為差分參考節(jié)點(diǎn)。b0到各錨節(jié)點(diǎn)的實(shí)際距離分別為 d01，d02，…，don；a 到各錨節(jié)點(diǎn)的差分測量距離分別為 d1，d2，…，dn。

定義1參考節(jié)點(diǎn)RSSI個(gè)體差異修正系數(shù)為：

定義2目標(biāo)節(jié)點(diǎn)到第i個(gè)錨節(jié)點(diǎn)的距離差分系數(shù)為：

式中：λ為比例調(diào)整因子；ρi表示當(dāng)前環(huán)境下依RSSI進(jìn)行測距偏差程度的映射關(guān)系。

定義3目標(biāo)節(jié)點(diǎn)到第i個(gè)錨節(jié)點(diǎn)的距離差分方程為

式中：di為目標(biāo)節(jié)點(diǎn)到第i錨節(jié)點(diǎn)的修正距離；參考節(jié)點(diǎn)測量距離誤差為e0i=d'0i-d0i；將式（10）代入式（7），即可求得目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的差分修正最大似然估計(jì)坐標(biāo)。

2 算法仿真及分析

2.1 定位算法仿真

2.1.1 仿真假設(shè)

本文利用MATLAB對以上算法進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真，以便系統(tǒng)分析各算法定位效果。為方便仿真的進(jìn)行，現(xiàn)假設(shè)如下：

1）所有節(jié)點(diǎn)的發(fā)射功率P、天線增益G都相同；

2）所有節(jié)點(diǎn)的信號頻率均為2.4GHz，信號覆蓋半徑均為200m；

3）只考慮信號單跳傳播方式；

4）的標(biāo)準(zhǔn)差為 5，且 k=3.2；

5）在100m×100m的二維區(qū)域內(nèi)隨機(jī)分布著3個(gè)未知節(jié)點(diǎn)和5個(gè)錨節(jié)點(diǎn)；

6）比例調(diào)節(jié)因子λ取0.1。

2.1.2 建立節(jié)點(diǎn)分布模型

通過MATLAB建立一個(gè)100×100的區(qū)域，并隨機(jī)分布節(jié)點(diǎn)。

程序1①

a=100*rand(3,2)

b=100*rand(5,2)

global a,b;

2.1.3 距離與損耗的仿真

仿真出路徑與損耗的關(guān)系模型。假設(shè)d0=lm，根據(jù)公式（1）可求出Loss即PL（d0）的值，代入公式（2）可得到傳輸距離d與功率損耗p的關(guān)系方程及曲線。

程序2

可得到傳輸距離d與路徑損耗p的關(guān)系曲線。

這里的距離d即為信號傳輸?shù)膶?shí)際距離，路徑損耗越小RSSI越大。因此，可以得到傳輸距離與RSSI的關(guān)系。

2.1.4 測量距離的仿真

節(jié)點(diǎn)的測距是由對RSSI的分析得出的。我們可以通過對路徑損耗的計(jì)算分析得出實(shí)際距離對應(yīng)的測量距離。

首先，根據(jù)程序1產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)實(shí)際坐標(biāo)求出各節(jié)點(diǎn)間的實(shí)際距離。

程序3

x1=a(2,1);

y1=a(2,2);

d1=sqrt((x1-b(1,1))^2+(y1-b(1,2))^2)

以目標(biāo)節(jié)點(diǎn)a2（60.6843,76.2097）為例，可求出α2到各錨節(jié)點(diǎn)的實(shí)際距離。

為實(shí)現(xiàn)對節(jié)點(diǎn)測距的仿真，我們做出以下分析：各個(gè)節(jié)點(diǎn)內(nèi)都存有大量的RSSI值及相應(yīng)的路徑距離的數(shù)據(jù)庫，我們試圖通過將實(shí)際距離d經(jīng)過處理得到測量距離。

將d代入公式（1）可以得到路徑損耗值PL（d），將d=1代入公式（1）可以得到PL（d0），將二者代入公式（2）即可求得節(jié)點(diǎn)間定位的測量距離。

程序4

d=d1;

l=32.4+10*3.2*log10 (1/1000)+10*3.2*log10(2.4*1000);

p=32.4+10*3.2*log10 (d/1000)+10*3.2*log10(2.4*1000);

dd1=10^((p-2*randn-l)/(10*3.2))

即可求出目標(biāo)節(jié)點(diǎn)到各錨節(jié)點(diǎn)的測量距離。

2.1.5 三邊算法仿真

在此次定位中共有5個(gè)錨節(jié)點(diǎn)參與，隨機(jī)抽取三個(gè)錨節(jié)點(diǎn)組成三邊定位模型來計(jì)算目標(biāo)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。

程序5

改變參與定位的錨節(jié)點(diǎn)即可得到十組三邊定位結(jié)果，將結(jié)果放入名為BL的矩陣中備用。2.1.6 最大似然估計(jì)仿真

最大似然估計(jì)涉及到公式（7），使用標(biāo)準(zhǔn)的最小均方差估計(jì)方法可得到較為精確的定位結(jié)果。

程序6

進(jìn)行五次仿真計(jì)算，將定位結(jié)果存入矩陣BM中。

2.1.7 基于RSSI的最大似然估計(jì)算法仿真

該算法的實(shí)現(xiàn)主要分為以下幾步：

（1）根據(jù)目標(biāo)節(jié)點(diǎn)到各錨節(jié)點(diǎn)的測量距離選出差分參考節(jié)點(diǎn)。

根據(jù)程序4可以看出錨節(jié)點(diǎn)b2到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)a2的測量距離最小，故選定錨節(jié)點(diǎn)b2為差分參考節(jié)點(diǎn)。

首先，通過程序3求出b2到各錨節(jié)點(diǎn)的實(shí)際距離。

其次，通過程序4求出b2到各錨節(jié)點(diǎn)的測量距離。

（2）基于公式（8）和（9）建立距離差分模型。并根據(jù)公式（10）對目標(biāo)節(jié)點(diǎn)到各錨節(jié)點(diǎn)的距離進(jìn)行差分修正。

程序7

a1=(D01-d01)/D01;

a0=(a1+a3+a4+a5)/4;

r=0.1;

p1=r*exp(1-(D1/(D01*(1-a0))));

E1=D01-d01;

dc1=D1-p1*E1

dc2=dd2

global dc1 dc2

運(yùn)行上述程序，可以得到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)到各錨節(jié)點(diǎn)的差分修正距離。

（3）將差分修正距離代入最大似然估計(jì)算法模型即程序6可得差分似然估計(jì)坐標(biāo)。

將多次仿真得到的五組定位結(jié)果存入矩陣BN中。

2.2 結(jié)果分析

為了對定位結(jié)果進(jìn)行全面的分析，我們選取定位精度、穩(wěn)定度及兩個(gè)方面來比較。對定位結(jié)果的橫縱坐標(biāo)分別求取平均值和方差。平均值距目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的距離即為定位偏差。

程序8

bm=[(BM(1,1)+BM(2,1)+BM(3,1)+BM(4,1)+BM(5,1))/5,...

(BM(1,2)+BM(2,2)+BM(3,2)+BM(4,2)+BM(5,2))/5];

Rbm=sqrt((60.6843-bm(1,1))^2+(76.2097-bm(1,2))^2);

經(jīng)過仿真計(jì)算我們可以得到以下結(jié)果：

表1 三種定位算法仿真結(jié)果分析（單位：米,保留兩位小數(shù)）

從表1中，我們不難看出第三種計(jì)算法由于在計(jì)算的過程中考慮了對測量誤差的修正，因而在仿真中展示了優(yōu)良的定位精確性。

在下面的圖形中這種誤差對比將更為明顯。

程序9

c=0：pi/20：2*pi;

r=1.8;

x=a（2,1）+r*cos(c);

y=a（2,2）+r*sin(c);

圖2 定位誤差分析圖

我們發(fā)現(xiàn)第三種算法的定位方差比第二種算法稍大，這也就表明RSSI算法的引入有可能會增大定位結(jié)果的離散程度，但即便如此定位精度仍然得到了很大提高。

現(xiàn)在我們從數(shù)學(xué)算法上進(jìn)行分析：

三邊定位算法中公式（1.4）的矩陣必需為方矩陣，這種算法在應(yīng)用中會遇到很多限制，某些情況下會出現(xiàn)較大誤差。多次運(yùn)算求平均也會帶來許多額外的開銷。

最大似然估計(jì)算法則無需考慮矩陣的維數(shù)?？梢岳帽M可能多的錨節(jié)點(diǎn)來進(jìn)行運(yùn)算。并且簡化了多次運(yùn)算求平均的步驟，減小了計(jì)算開銷。由于算法未引入過多模型，故定位穩(wěn)定性較好。

基于RSSI的最大似然估計(jì)算法中，我們可以從程序上清晰的看到定位計(jì)算的整個(gè)過程。這種算法得出的結(jié)果精度更高，并未犧牲過多穩(wěn)定性，而且運(yùn)算開銷較低。

3 總結(jié)

本文針對現(xiàn)行定位算法，利用MATLAB進(jìn)行建模仿真，從精確性及穩(wěn)定性對定位結(jié)果進(jìn)行了分析，得出了直觀的定位效果圖。最后又從數(shù)學(xué)角度，分析了各種算法的優(yōu)缺點(diǎn)，進(jìn)而預(yù)測了各種算法帶來的節(jié)點(diǎn)運(yùn)算開銷大小。希望對開發(fā)人員有所幫助。