島新煜,高 敏,李超旺

(1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)導(dǎo)彈工程系，河北 石家莊 050000；2.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)彈藥工程系，河北 石家莊 050000)

0 引言

快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)作為一種經(jīng)典的頻譜分析，常被用來(lái)處理動(dòng)態(tài)信號(hào)[1]。然而，由FFT獲得的離散頻譜在頻率測(cè)量過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，不能夠滿(mǎn)足工程實(shí)際的要求。為了彌補(bǔ)由FFT算法在測(cè)頻精度上造成的誤差，一些研究工作者長(zhǎng)期致力于相關(guān)理論的研究并取得了一些成果[2-6]。復(fù)調(diào)制算法(zoom-FFT,ZFFT)，由于其原理簡(jiǎn)單及物理概念清晰，已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于實(shí)際工程中[7]。然而，ZFFT在應(yīng)用過(guò)程依然存在以下兩點(diǎn)不足：一方面，由于存儲(chǔ)空間的限制，對(duì)于頻譜不可能無(wú)限放大；另一方面，柵欄效應(yīng)仍然對(duì)頻率估計(jì)的精確性造成影響。為此，本文在ZFFT的基礎(chǔ)上，提出一種利用牛頓插值的校正方法，以避免柵欄效應(yīng)的影響，從而提高測(cè)頻精度。

1 ZFFT算法的基本原理

ZFFT算法的核心是對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行復(fù)調(diào)制。復(fù)調(diào)制后的信號(hào)再通過(guò)低通濾波器、重采樣、FFT和頻率調(diào)整獲得最終的調(diào)制信號(hào)[8]。ZFFT原理如圖1所示。

圖1 ZFFT原理圖Fig.1 Schematic diagram of ZFFT

假定輸入信號(hào)為x(n)，經(jīng)復(fù)調(diào)制后得到：

(1)

式中：f0和fs分別為輸入信號(hào)的中心頻率和采樣率。

相應(yīng)的頻譜關(guān)系為：

Y(ejω)=X[j(ω+2πf0)]

(2)

(3)

經(jīng)過(guò)FFT變換后，得到：

(4)

因此，由式(4)可以看出，經(jīng)ZFFT處理后，原始頻譜被放大了M倍。

2 本文所提頻率估計(jì)算法

大部分的目標(biāo)信息通常包含在信號(hào)頻譜的峰值位置，因此對(duì)信號(hào)頻譜峰值位置對(duì)應(yīng)的頻率進(jìn)行估計(jì)是本文研究的重點(diǎn)。為實(shí)現(xiàn)精確估計(jì)，將頻率估計(jì)步驟分為粗估計(jì)和精估計(jì)兩步。然而，即使ZFFT相較于FFT提高了頻譜的分辨率，在估計(jì)頻率與真實(shí)頻率之間依然存在偏差δ。因此，此處將ZFFT視為粗估計(jì)，要實(shí)現(xiàn)精確估計(jì)，還需對(duì)頻率進(jìn)行進(jìn)一步校正。

牛頓插值作為一種有效的函數(shù)近似方法，可以根據(jù)選取的函數(shù)點(diǎn)對(duì)原函數(shù)進(jìn)行有效擬合。牛頓插值的各階插值之間有遞推關(guān)系，當(dāng)增加節(jié)點(diǎn)時(shí)計(jì)算十分方便。假設(shè)已知x0,x1,…,xn和相應(yīng)的函數(shù)值yi=f(xi)(i=0,1,…,n)，則近似函數(shù)[9-10]表示為：

Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+…+f[x0,x1,…,xn](x-x0)×

(x-x1)…(x-xn-1)

(5)

式中：f[x0,x1,…,xn]為差商。

(6)

當(dāng)n≥2時(shí)，

(7)

理論上，選取的函數(shù)點(diǎn)越多，獲得的函數(shù)越精確，但計(jì)算的復(fù)雜度及所需的計(jì)算時(shí)間便會(huì)顯著增加?？紤]到經(jīng)ZFFT后的離散頻譜及與目標(biāo)頻率的相關(guān)點(diǎn)數(shù)，分別以三點(diǎn)插值和四點(diǎn)插值為例來(lái)說(shuō)明本文頻率校正的方法。FFT和ZFFT頻譜如圖2所示

圖2 FFT和ZFFT頻譜圖Fig.2 Spectrum of FFT and ZFFT

2.1 三點(diǎn)擬合校正

假設(shè)頻譜峰值位置及其相鄰兩點(diǎn)的位置分別為k0、k0-1、k0+1,相應(yīng)的幅值分別為Y(k0)、Y(k0-1)、Y(k0+1)，則相應(yīng)的牛頓插值函數(shù)可以表示為：

Nn(k)=Y(k0-1)+f[k0-1,k0][k-(k0-1)]+

f[k0-1,k0,k0+1][k-(k0-1)](k-k0)

(8)

f[k0-1,k0]=Y(k0)-Y(k0-1)

(9)

(10)

為了得到峰值位置處的頻率，需要對(duì)牛頓插值函數(shù)Nn(k)進(jìn)行微分，即：

(2k-2k0+1)

(11)

(12)

式中：kp為對(duì)峰值位置的估計(jì)。

估計(jì)頻率表示為：

(13)

2.2 四點(diǎn)擬合校正

在三點(diǎn)擬合校正(three power factor couection,3PFC)的基礎(chǔ)上，只增加一個(gè)函數(shù)點(diǎn)[(k0-2,Y(k0-2)]或[k0+2,Y(k0+2)]，形成四點(diǎn)擬合校正(four power factor couection,4PFC)。這里，我們選擇點(diǎn)[k0-2,Y(k0-2)]來(lái)說(shuō)明。

牛頓插值函數(shù)可以表示為：

Nn(k)=Y(k0-2)+f[k0-2,k0-1][k-(k0)]+f[k0-2,k0-1,k0][k-(k0-2)][k-(k0-1)]+f[k0-2,k0-1,k0,k0+1][k-(k0-2)][k-(k0-1)](k-k0)

(14)

f[k0-2,k0-1]=Y(k0-1)-Y(k0-2)

(15)

(16)

(17)

令a=f[k0-2,k0-1]、b=f[k0-2,k0-1,k0]、c=f[k0-2,k0-1,k0,k0+1]，并計(jì)算Nn(k)的極值，得到：

(18)

(19)

(20)

由式(16)和式(17)，可以得到：

通過(guò)前面的敘述可以明顯發(fā)現(xiàn)，Y(k0)>Y(k0-1)>Y(k0-2)以及Y(k0)>Y(k0+1)，因此，b+3c<0,c<0，故可以得到kp1

(21)

3 仿真校驗(yàn)

在前面的敘述中，介紹了ZFFT算法和本文所提的頻率校正方法。為了檢驗(yàn)上述方法的校正效果，通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。首先，考察上述方法在不同頻率下的頻率估計(jì)精度并計(jì)算各自的誤差，頻率范圍為1.6～6.4 MHz，步長(zhǎng)為0.4 MHz。之后，檢驗(yàn)各方法在噪聲條件下的表現(xiàn)。最后，分析在誤差范圍內(nèi)，不同偏離程度δ對(duì)估計(jì)精度的影響。輸入的余弦信號(hào)幅值設(shè)為1，采樣數(shù)N為1 024，采樣率設(shè)定為15 MHz以滿(mǎn)足奈奎斯特采樣定理。

3.1 不同方法的精度比較

以某雷達(dá)測(cè)距系統(tǒng)為背景，選擇中心頻率為1.6～6.4 MHz(步長(zhǎng)為0.4 MHz)的輸入信號(hào)進(jìn)行試驗(yàn)。

不同算法的頻率估計(jì)及相應(yīng)誤差如表1所示。

與ZFFT相比，所提算法的頻率估計(jì)精度明顯有所提升，通過(guò)表中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，本文所提方法的頻率估計(jì)誤差平均減少了30%。

表1 不同算法的頻率估計(jì)及相應(yīng)誤差Tab.1 Frequency estimation and corresponding errors with different algorithm

3.2 噪聲影響

在實(shí)際的測(cè)試環(huán)境中，信號(hào)不可避免地會(huì)受到噪聲的干擾。噪聲的影響往往會(huì)降低估計(jì)的精度，同時(shí)使得頻率估計(jì)具有隨機(jī)性。鑒于此，在輸入信號(hào)上加上零均值的高斯白噪聲來(lái)檢驗(yàn)所提方法對(duì)噪聲的靈敏性。噪聲的大小可以用信噪比(signal noise ratio,SNR)來(lái)衡量。假定SNR從0～20 dB以步長(zhǎng)為1 dB變化，在每一個(gè)信噪比下進(jìn)行1 000次蒙特卡洛仿真，觀察頻率估計(jì)效果，并與克拉美羅下限作對(duì)比。RMSE的克拉美羅下限表示為[10]：

(22)

ρ表示SNR，因?yàn)镹?1，所以均方根誤差的克拉美羅下限可以簡(jiǎn)化為：

(23)

不同SNR的均方根誤差曲線(xiàn)如圖3所示。

圖3 不同SNR的均方根誤差曲線(xiàn)Fig.3 RMSE curves with different SNR

由圖3可以看出，SNR越高，頻率估計(jì)的表現(xiàn)越好。這也反映了在實(shí)際情況中，信噪比越高，噪聲對(duì)信號(hào)的影響就越小，頻率的估計(jì)精度也會(huì)越高。與ZFFT相比，文中所提方法的均方根誤差明顯更接近克拉美羅下限，說(shuō)明其誤差更小，在噪聲環(huán)境下的表現(xiàn)優(yōu)于ZFFT。隨著信噪比的減小，ZFFT算法估計(jì)的平方根誤差逐漸呈指數(shù)形式增長(zhǎng)，這意味著在低信噪比條件下，ZFFT算法已經(jīng)不能很好地進(jìn)行頻率校正。但是，在這種情況下，3PFC或4PFC算法依然能夠保持一定的優(yōu)勢(shì)。

3.3 偏差影響

在前面的敘述中，偏差δ反映了估計(jì)頻率與真實(shí)頻率之間的偏離程度，其受采樣頻率的限制。這里，考慮不同的偏差對(duì)頻率估計(jì)造成的影響。圖4表示不同偏差(δ=0.1、0.2、0.3、0.4)下均方根誤差隨SNR的變化曲線(xiàn)。由于ZFFT的誤差較3PFC和4PFC過(guò)大，ZFFT的誤差曲線(xiàn)不再在圖中標(biāo)出。

由圖4可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)SNR低于5 dB時(shí)，噪聲是影響誤差的主要因素；而當(dāng)SNR大于5 dB時(shí)，偏差則是影響估計(jì)精度的主要因素。隨著偏差的增大，頻率估計(jì)的均方根誤差也會(huì)隨之逐漸增大。當(dāng)偏差較小時(shí)，3PFC的校正效果要優(yōu)于4PFC；而當(dāng)偏差較大時(shí)，4PFC的校正效果則好一些。

3.4 實(shí)際定距驗(yàn)證

為驗(yàn)證算法在實(shí)際定距下的效果，基于調(diào)頻連續(xù)波系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了定距試驗(yàn)。試驗(yàn)測(cè)試原理圖如圖5所示。所選用的探測(cè)模塊原理如圖6所示。

圖4 不同偏差下的均方根誤差曲線(xiàn)Fig.4 RMSE curves with different deviation

圖5 測(cè)試原理圖Fig.5 Schematic diagram of the test

圖6 探測(cè)模塊原理圖Fig.6 Structure diagram of the detection module

載波頻率設(shè)置為24.5 GHz，頻偏為2 MHz，發(fā)射功率為8 mW。探測(cè)模塊與墻之間的距離分別設(shè)定為2 m、3 m、4 m、5 m、6 m、7 m、8 m 。將探測(cè)模塊預(yù)先放在設(shè)定的距離處，通過(guò)計(jì)算機(jī)觀察輸出的距離值，結(jié)果如表2所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，相比ZFFT，本文所提的算法在測(cè)距精度上均有所提升。

表2 距離測(cè)試結(jié)果Tab.2 Results of range test

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于牛頓插值的頻率校正方法，能夠使頻率估計(jì)更加精確。理論上分析了傳統(tǒng)復(fù)調(diào)制算法的特點(diǎn)，并推導(dǎo)了本文所提算法的校正公式。本文方法的原理易于理解，保持了較低的計(jì)算成本。在應(yīng)用復(fù)調(diào)制算法時(shí)，不需要設(shè)置較大的頻譜放大倍數(shù)，節(jié)省了數(shù)據(jù)存儲(chǔ)空間。另外，討論了白噪聲和偏差對(duì)估計(jì)精度的影響。試驗(yàn)結(jié)果表明，相比于ZFFT，本文所提方法具有良好的噪聲適應(yīng)性，這也為今后滿(mǎn)足更高要求的頻率估計(jì)奠定了基礎(chǔ)。