李 鑫

(浙江省桐鄉(xiāng)第一中學(xué),浙江 嘉興 314500)

傳送帶問(wèn)題是高中物理經(jīng)典話題,傳送帶是力與運(yùn)動(dòng)以及能量問(wèn)題的天然載體,大部分高考題里傳送帶運(yùn)動(dòng)方向都與物塊運(yùn)動(dòng)方向共線,2014年江蘇壓軸題中傳送帶速度與物塊速度不共線,不僅于此,此題還考查了驅(qū)動(dòng)傳送帶電機(jī)功率問(wèn)題,可以說(shuō)是恢復(fù)高考40年來(lái)高考物理中關(guān)于傳送帶問(wèn)題的集大成者．

1 原題展現(xiàn)

圖1

(2014年江蘇高考題)如圖1所示,生產(chǎn)車間有兩個(gè)相互垂直且等高的水平傳送帶甲和乙,甲的速度為v0．小工件離開(kāi)甲前與甲的速度相同,并平穩(wěn)地傳到乙上,工件與乙之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．乙的寬度足夠大,重力加速度為g．

(1) 若乙的速度為v0,求工件在乙上側(cè)向(垂直于乙的運(yùn)動(dòng)方向)滑過(guò)的距離s;

(2) 若乙的速度為2v0,求工件在乙上剛停止側(cè)向滑動(dòng)時(shí)的速度大小v;

(3) 保持乙的速度2v0不變,當(dāng)工件在乙上剛停止滑動(dòng)時(shí),下一只工件恰好傳到乙上,如此反復(fù).若每個(gè)工件的質(zhì)量均為m,除工件與傳送帶之間的摩擦外,其他能量損耗均不計(jì),求驅(qū)動(dòng)乙的電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率．

速度不共線的相對(duì)運(yùn)動(dòng)不算什么新話題,例如下面例題[1],是早期的一道預(yù)賽真題,這類問(wèn)題的關(guān)鍵是滑動(dòng)摩擦力的方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向相反,相對(duì)速度方向由矢量加法所決定,滑動(dòng)摩擦力的大小仍是μN(yùn)．

圖2

例題.一個(gè)質(zhì)量m=20kg的鋼件,架在兩根完全相同的、平行的長(zhǎng)直圓柱上,如圖2所示,鋼件的重心與兩柱等距,兩柱的軸線在同一水平面內(nèi),圓柱的半徑r=0.025m,鋼件與圓柱間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)μ=0.20,兩圓柱各繞自己的軸線做轉(zhuǎn)向相反的轉(zhuǎn)動(dòng),角速度ω=40rad/s,若沿平行于柱軸方向施加力推著鋼件做速度為v0=0.05m/s的勻速運(yùn)動(dòng),推力是多大?設(shè)鋼件左右受光滑槽限制(圖中未畫出),不發(fā)生橫向運(yùn)動(dòng)．

圖3

2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題討論

2.1 分析過(guò)程

回歸到高考問(wèn)題,如圖3所示,當(dāng)工件進(jìn)入傳送帶乙(下文簡(jiǎn)稱乙),工件相對(duì)于乙的運(yùn)動(dòng)方向沿右下方,所以受到的摩擦力沿左上方.

其實(shí)此題前兩問(wèn)是同一個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)側(cè)面,實(shí)際上,無(wú)論乙的速度如何,工件的速度如何,只要工件停止側(cè)向滑動(dòng),在沿乙速度方向一定和乙共速.

以乙為參考系,顯然工件相對(duì)于乙做勻減速直線運(yùn)動(dòng),摩擦力和初速度方向就是圖3標(biāo)明的方向,所以摩擦力方向不變,意味著摩擦力在x,y方向上分量不變,即兩個(gè)方向上加速度不變．所以對(duì)于第(2)問(wèn)有

(1)

對(duì)于任意初速度比都有

(2)

即x,y方向上加速度比就是工件和乙初速度之比,在兩個(gè)方向上分別做勻減速直線運(yùn)動(dòng)和勻加速直線運(yùn)動(dòng),當(dāng)勻減速運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)候,勻加速運(yùn)動(dòng)也剛好結(jié)束．

事實(shí)上,傳送帶乙運(yùn)動(dòng)的方向甚至不需要和工件速度方向垂直,只要傳送帶尺度合適,在任意速度夾角下都有這樣的結(jié)論．

由于兩個(gè)方向上運(yùn)動(dòng)等時(shí)性，有

(3)

2.2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)的結(jié)論

這個(gè)結(jié)論分析起來(lái)似乎不難,但是有些悖于直覺(jué),覺(jué)得過(guò)于簡(jiǎn)單,筆者和諸位前輩討論的時(shí)候,大家一開(kāi)始都有所懷疑此結(jié)論,最大的問(wèn)題在于摩擦力方向是否不變．考生在考場(chǎng)面對(duì)此題,在以前沒(méi)有仔細(xì)研究過(guò)此題時(shí),第(2)問(wèn)是有相當(dāng)難度的,很容易認(rèn)為摩擦力方向改變導(dǎo)致無(wú)從下手．不過(guò)命題者通過(guò)第(1)問(wèn)的鋪墊,是有意引導(dǎo)學(xué)生往這個(gè)結(jié)論上“猜”的．

圖4

實(shí)際上,由于工件相對(duì)于乙做勻減速直線運(yùn)動(dòng),所以兩個(gè)方向上運(yùn)動(dòng)可以視作此運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng),顯然合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性,而且和速度分量的夾角無(wú)關(guān)．

2.3 工件相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)

如果以地面為參考系,工件如何運(yùn)動(dòng)?由于摩擦力大小方向均不變,工件初速度方向和摩擦力方向不共線,所以物塊做的是勻變速曲線運(yùn)動(dòng),也可以說(shuō)做的是類斜拋運(yùn)動(dòng)．軌跡如圖4所示，這個(gè)結(jié)論也很有意思,筆者就這個(gè)結(jié)論設(shè)計(jì)了兩個(gè)問(wèn)題.

2.3.1 工件結(jié)束運(yùn)動(dòng)時(shí)相對(duì)于地面的位移

工件相對(duì)于傳送帶的位移為

(4)

乙相對(duì)于地面的位移為

圖5

(5)

根據(jù)余弦定理可知

(6)

2.3.2 工件在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度的最值

開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí),工件速度方向與加速度的方向夾角為鈍角,共速時(shí)是銳角,所以工件先減速后加速,必然有速度最小值．當(dāng)加速度方向和速度方向垂直時(shí),速度出現(xiàn)最小值.

如圖4,顯然α=β.所以

(7)

即最小速度為

對(duì)于此問(wèn)的求解,學(xué)生們提供了很多有意思的方案，限于篇幅,不再枚舉．通過(guò)對(duì)試題的挖掘,有益于提升學(xué)生追問(wèn)試題本源的動(dòng)力,是實(shí)踐科學(xué)探究和培育物理學(xué)科素養(yǎng)的良好路徑．從表面上看,工件對(duì)地軌跡是拋物線和兩個(gè)方向上直線運(yùn)動(dòng)同時(shí)結(jié)束的結(jié)論是相悖的,但本質(zhì)上卻是和諧統(tǒng)一的．

3 驅(qū)動(dòng)電機(jī)問(wèn)題

3.1 分析過(guò)程和結(jié)論

本題第2個(gè)難點(diǎn)是分析傳送的驅(qū)動(dòng)電機(jī),關(guān)于驅(qū)動(dòng)電機(jī)能量的分析學(xué)生們很容易陷入思維混亂,遑論本題需要在兩個(gè)維度上分析清楚．所以本文詳細(xì)分析速度共線情況,以期挖掘出一些本源的內(nèi)容．

倘若工件速度和傳送帶速度方向共線,假設(shè)傳送帶足夠長(zhǎng),已知接觸面摩擦因數(shù)為μ,電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)傳送帶勻速傳動(dòng),工件初速度為v,傳送帶速度是v′.

3.1.1 工件加速

若v

(8)

s′=v′t.

(9)

由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的熱量為

Q=μmg(s′-s).

(10)

根據(jù)能量守恒,電動(dòng)機(jī)在這個(gè)過(guò)程提供能量為E=Q+Ek=μmgs′.

當(dāng)v=0,有2s=s′,即Q=Ek.

初速度為0,即對(duì)應(yīng)著本題工件在乙上加速情況．能量關(guān)系非常清晰,傳送帶給工件提供動(dòng)能,也會(huì)有等量熱量損耗,所以驅(qū)動(dòng)電機(jī)需要給傳送帶兩倍動(dòng)能．

3.1.2 工件減速

若v>v′,工件減速位移為

根據(jù)能量守恒,電動(dòng)機(jī)在這個(gè)過(guò)程提供能量為E=Q-Ek=-μmgs′.

這個(gè)值為負(fù)值,工件損耗的動(dòng)能比產(chǎn)生的熱量要多,可以額外供給能量給傳送帶,無(wú)需驅(qū)動(dòng)電機(jī)供給能量.因?yàn)檫@里的傳送帶模型是理想模型,忽略了傳送帶輪軸能量損耗,也就是說(shuō)傳送帶空載情況下不需要提供電能,所以物塊減速時(shí)動(dòng)能損耗比產(chǎn)生熱量要多,額外的就給了傳送帶．從力的角度來(lái)說(shuō),傳送帶給物塊的力是阻力,而物塊給傳送帶是動(dòng)力,相當(dāng)于工件給傳送帶做正功,給傳送帶補(bǔ)給了能量．

當(dāng)v′=0,有s′=0,即Q=Ek,就是工件動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化成了熱量,電動(dòng)機(jī)無(wú)需供給能量．對(duì)應(yīng)的恰好是此題工件側(cè)向滑動(dòng)的模型．

3.2 第(3)問(wèn)求解

把傳送帶上能量關(guān)系分開(kāi)來(lái)詳細(xì)討論,學(xué)生對(duì)于驅(qū)動(dòng)電機(jī)供能關(guān)系一目了然,清晰明確，而且也理解了理想傳送帶的局限性．

4 結(jié)論

本文首先指出速度不共線的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題大多為自主招生和預(yù)賽難度的試題,對(duì)于高考學(xué)生,有相當(dāng)難度．于是文章詳細(xì)分析此題相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型,發(fā)現(xiàn)工件側(cè)向減速到0時(shí),沿傳送帶乙方向必然同時(shí)加速完成,而且與二者速度夾角無(wú)關(guān),指出此題前兩問(wèn)展示的是一個(gè)更廣延結(jié)論下的一個(gè)特例．然后文章探討了工件相對(duì)于傳送帶和地面做何運(yùn)動(dòng),分別是勻減速直線運(yùn)動(dòng)和類斜拋運(yùn)動(dòng)．最后分析了驅(qū)動(dòng)電機(jī)問(wèn)題,給出了工件加速和減速情況下驅(qū)動(dòng)電機(jī)能量分配問(wèn)題,強(qiáng)調(diào)理想傳送帶是忽略轉(zhuǎn)軸間能量損耗,通過(guò)分析大大優(yōu)化了解題過(guò)程,使得學(xué)生對(duì)于此題驅(qū)動(dòng)電機(jī)功率問(wèn)題認(rèn)知更加清晰深刻．