陳耿劍，周新宇,何春清,王曉峰

(武漢大學(xué) a.物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院; b.物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，湖北 武漢 430072)

在晚上看遠(yuǎn)處的路燈時(shí)，能看到許多星芒從燈芯射出. 當(dāng)傾斜觀察時(shí)，星芒在視界中的位置不變，這說(shuō)明星芒的產(chǎn)生源于眼睛，或者說(shuō)星芒的出現(xiàn)與眼睛的結(jié)構(gòu)有關(guān). 當(dāng)光圈較小時(shí)用相機(jī)拍攝亦有類似現(xiàn)象. 圖1給出了人眼與相機(jī)鏡頭的光學(xué)結(jié)構(gòu)，各部分一一對(duì)應(yīng)：角膜—物鏡，瞳孔—光圈，晶狀體—目鏡，視網(wǎng)膜—感光元件(圖1中未標(biāo)出). 可以看出，人眼具有與相機(jī)相似的光學(xué)結(jié)構(gòu)，為了解釋與人眼有關(guān)的光學(xué)現(xiàn)象，不妨先以相機(jī)為例進(jìn)行研究. 圖2為Cannon相機(jī)(鏡頭參量：EF-S 18-55mm 1:3.5-5.6 IS STM，φ58 mm，光圈7葉)所拍攝的約40 m外的路燈的星芒. 其他參量不變的情況下調(diào)整光圈值由F6.5到F16,星芒由“光刺”變?yōu)椤肮庵?，人眼觀察到的情形為二者混合.

圖1 人眼與相機(jī)鏡頭

(a) F6.5光圈下的 (b) F16光圈下的 “光刺”狀星芒 “光柱”狀星芒圖2 40 m外路燈的星芒(相機(jī)拍攝)

圖3為鏡頭光圈與人眼瞳孔的對(duì)比[1]，兩者近似為正多邊形的小孔，推測(cè)星芒現(xiàn)象可能源于光在多邊形小孔的邊緣發(fā)生了衍射. 接下來(lái)從光的衍射理論出發(fā)，結(jié)合數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)給出星芒數(shù)量規(guī)律，并嘗試精確計(jì)算星芒的位置和亮度.

圖3 鏡頭光圈與人眼瞳孔

1 理論分析

設(shè)物距為d1，物光波U(x0,y0)，物透鏡組焦距為f，物光波經(jīng)過(guò)多邊形衍射孔(光圈或瞳孔)后變?yōu)閁1(x0,y0)[2],則

(1)

其中，λ為光波波長(zhǎng)，k是波數(shù).

球面波在光圈處發(fā)生衍射，為了計(jì)算在d2處接收屏上的波前U(x,y)，將U1代入菲涅耳衍射公式[3]，

U(x,y)=C?t(x0,y0)U(x0,y0)·

(2)

其中C為復(fù)數(shù)，|C|為常量. 特別是當(dāng)

亦即滿足幾何成像關(guān)系時(shí)，(2)式化為

(3)

即在像平面的波前U(x,y)為U(x0,y0)的傅里葉變換. 在目鏡透鏡組的作用下，在像平面處得到夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣最終成像在相機(jī)的感光元件或視網(wǎng)膜上.

2 數(shù)值模擬

單縫的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射可得到解析解，對(duì)于形狀復(fù)雜的小孔難于得到解析解，但利用快速傅里葉變換，可方便地計(jì)算出任意形狀小孔的衍射圖樣. 將d2記為d，令

x=pΔx，y=qΔy，x0=mΔx0，y0=nΔy0，

并取

為傅里葉變換的頻率變量，將U0(mΔx0,nΔy0)簡(jiǎn)記為二維數(shù)組U0(m,n)，得

U(p,q)=DFT (U0(m,n))，

(4)

式中，U0(m,n)表示衍射前的波前，U(p,q)表示衍射后的波前. 還可推出當(dāng)衍射屏的取樣寬度為L(zhǎng)0且取樣數(shù)為N時(shí)，接收屏的寬度為[4]

(5)

普通光源為復(fù)色光，是多個(gè)非相干單色光的疊加. 考慮單色光，計(jì)算距離為d=8 870 mm的衍射圖樣，利用(5)式，可得在衍射屏寬度為L(zhǎng)0=12.28 mm，N=512，λ=632.8 nm時(shí)，衍射圖樣寬度L=233.87 mm. 圖4為正四至正八邊形孔的衍射圖樣. 計(jì)算結(jié)果表明：如果正多邊形小孔邊數(shù)n為偶數(shù)，衍射產(chǎn)生的光刺有n條；如果n為奇數(shù)，則光刺為2n條.

(a)正方形孔 (b)正五邊形孔

(c)正六邊形孔 (d)正七邊形孔

(e)正八邊形孔圖4 正多邊形孔的模擬衍射圖樣

圖5為正三角形孔和曲邊三角形孔的衍射圖樣. 從圖5中可以看出，如果多邊形的邊有一定曲率，衍射后的“光刺”會(huì)鈍化為“光柱”，這解釋了圖2中相機(jī)用不同大小光圈拍攝遠(yuǎn)處路燈所產(chǎn)生的現(xiàn)象.

(a)正三角形孔 (b)曲邊三角形孔圖5 正三角形孔及曲邊三角形孔的衍射圖樣

數(shù)值計(jì)算中可以進(jìn)一步綜合考慮光源的多色、非點(diǎn)光源等性質(zhì). 不同波長(zhǎng)光之間不相干，它們?cè)诟泄庠蛞暰W(wǎng)膜上的衍射圖樣會(huì)簡(jiǎn)單疊加. 根據(jù)(5)式，其他參量相同但光波長(zhǎng)不同，衍射圖樣的大小不同. 擴(kuò)展光源上不同點(diǎn)發(fā)出的光線也不滿足空間相干條件，在感光元件或視網(wǎng)膜上的衍射圖樣只相差平移變換. 據(jù)此可以以擴(kuò)展光源每個(gè)幾何像點(diǎn)為中心，按照光源色譜權(quán)重分別生成多個(gè)衍射圖樣后，在RGB編碼方案中計(jì)算各個(gè)衍射圖樣疊加. 最終的計(jì)算結(jié)果與圖2中現(xiàn)象類似. 計(jì)算機(jī)模擬正七邊形孔的衍射圖樣如圖6所示.

圖6 計(jì)算機(jī)模擬正七邊形孔的衍射圖樣

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

用實(shí)驗(yàn)室常用的衍射屏進(jìn)行了初步實(shí)驗(yàn). 如圖7所示，衍射屏中正三角形孔和正方形孔的邊長(zhǎng)均為0.2 mm，這遠(yuǎn)小于手機(jī)后置攝像頭的通光孔徑(手機(jī)攝像頭不存在可調(diào)大小的物理光圈)，因此用手機(jī)緊貼衍射屏拍攝數(shù)米遠(yuǎn)處的LED閃光燈可得到與(3)式對(duì)應(yīng)的衍射圖樣. 拍攝得到的衍射圖樣與數(shù)值計(jì)算的圖4和圖5中對(duì)應(yīng)正多邊形孔的衍射圖樣相符. 對(duì)于更多邊形的孔只能采用手工制備或購(gòu)買特定葉數(shù)光闌的方式，因?yàn)榧庸ぞ鹊脑蚨噙呅慰椎某叽缗c手機(jī)攝像頭通光孔徑相當(dāng)，不適合用上述方式進(jìn)行實(shí)驗(yàn). 同時(shí)用復(fù)色光不便于進(jìn)行理論與實(shí)驗(yàn)對(duì)比，因此采用了激光(單色性好、強(qiáng)度高)入射且遠(yuǎn)場(chǎng)接收的方式進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，以便于得到定量數(shù)據(jù)與理論進(jìn)行對(duì)比.

(a)正三角形孔 (b)正方形孔 圖7 白光的正三角形孔與正方形孔衍射圖樣 (附圖中微尺總長(zhǎng)度為1 mm)

如圖8所示，用氦氖激光器(波長(zhǎng)632.8 nm)作為光源，將激光照射在帶有多邊形小孔的衍射屏上，在8.87 m遠(yuǎn)的接收屏處觀察衍射圖樣. 受限制于實(shí)驗(yàn)室沒(méi)有長(zhǎng)焦距的透鏡和實(shí)驗(yàn)室空間等諸多條件，無(wú)法直接測(cè)得無(wú)窮遠(yuǎn)處的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣，但是遠(yuǎn)場(chǎng)處的衍射圖樣可以近似描繪出無(wú)窮遠(yuǎn)處的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的特點(diǎn). 實(shí)驗(yàn)中使激光器水平放置，調(diào)整衍射屏的高度使激光束恰好覆蓋小孔，同時(shí)調(diào)整接收屏的位置以便觀察. 用單反相機(jī)拍攝干涉條紋圖樣，用筆在接收屏上描出0級(jí)斑的中心和各級(jí)明亮條紋的中心. 用刻度尺測(cè)量亮條紋中心到0級(jí)衍射斑中心的距離，并將拍得衍射圖樣導(dǎo)入Matlab計(jì)算條紋亮度.

圖8 實(shí)驗(yàn)光路圖

實(shí)驗(yàn)中采用的衍射屏為：正三角形孔、正方形孔、在紙上剪裁出正五邊形孔、在紙上剪裁并且結(jié)合刀片截出的正六邊形以及正八邊形光闌. 此處未加入正七邊形孔的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是因?yàn)檎哌呅慰撞灰子诓眉? 圖9為實(shí)驗(yàn)中所用的多邊形小孔及其衍射圖樣. 從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：當(dāng)多邊形孔的邊數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，星芒有2n條；n為偶數(shù)時(shí)，星芒有n條. 這驗(yàn)證了理論部分關(guān)于星芒數(shù)和孔邊數(shù)的結(jié)論. 圖9中正五邊形小孔衍射圖樣與圖4中理論計(jì)算結(jié)果有差別，這是因?yàn)槭止げ眉舻奈暹呅尾⒎菄?yán)格的正五邊形，并且孔較大，不嚴(yán)格滿足遠(yuǎn)場(chǎng)條件[5].

(a)三角形 (b)矩形

(c)五邊形 (d)六邊形

(e)八邊形圖9 多邊形小孔及其衍射條紋(附圖中鋼尺最 小刻度為1 mm)

表1 六邊形孔不同級(jí)次衍射條紋到中心距離的實(shí)驗(yàn)與理論對(duì)比

利用Matlab自帶函數(shù)rgb2gray，將實(shí)驗(yàn)拍攝的彩色圖片轉(zhuǎn)換成灰度圖與理論計(jì)算進(jìn)行對(duì)比，如圖10所示，可以看出實(shí)際相對(duì)亮度和理論相對(duì)亮度在觀察屏所在的平面上具有相似的分布.

(a)實(shí)際相對(duì)亮度 (b)理論相對(duì)亮度圖10 六邊形小孔衍射圖樣的亮度

圖11為六邊形孔衍射圖樣沿1對(duì)星芒方向?qū)嶒?yàn)測(cè)量和理論計(jì)算的亮度對(duì)比，在感光元件的線性感光區(qū)間，理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量符合得較好. 當(dāng)光強(qiáng)過(guò)強(qiáng)時(shí)，相機(jī)的感光單元會(huì)產(chǎn)生大量外溢的電子，因此1級(jí)條紋與0級(jí)斑不太容易分辨. 當(dāng)光強(qiáng)太弱時(shí)，相機(jī)的感光效果與實(shí)際亮度是非線性變化的，因此弱光區(qū)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果和理論預(yù)測(cè)的結(jié)果相比略微偏大.

圖11 六邊形孔衍射圖樣中1對(duì)星芒 方向的實(shí)驗(yàn)和理論亮度對(duì)比

4 應(yīng) 用

瞳孔并不是規(guī)則的圓形或正多邊形，它的邊緣有許多“坑坑洼洼”，因此用肉眼觀察遠(yuǎn)處的燈光時(shí)，會(huì)看到許多光刺和光柱從燈芯射出. 這些缺陷一般情況是均勻分布的，然而部分人的瞳孔有巨大的先天性缺陷，他們能看到某一方向的衍射光芒非常強(qiáng)烈. 利用此特性，可以檢查瞳孔是否有先天性缺陷.

5 結(jié) 論

用光的衍射理論證實(shí)了相機(jī)感光元件記錄的圖樣為光圈的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣， 揭示了星芒的成因.由數(shù)值計(jì)算可得：當(dāng)多邊形衍射孔的邊數(shù)n為

奇數(shù)時(shí)，星芒有2n條；n為偶數(shù)時(shí)，星芒有n條. 若光圈的邊為直線，則衍射圖樣為“光刺”；若光圈的邊為帶有一定曲率的圓弧，則衍射圖樣為“光柱”. 綜合考慮光源的多色、非點(diǎn)光源等性質(zhì)模擬了實(shí)際生活中觀察到的現(xiàn)象. 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)觀察了正三、四、五、六、八邊形孔的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣. 對(duì)于正六邊形孔，衍射條紋到中心的距離、各級(jí)衍射條紋的相對(duì)亮度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果符合，說(shuō)明了理論分析的正確性和數(shù)值算法的有效性.