袁偉娜，嚴(yán)秋

（華東理工大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200237）

1 引言

近年來(lái)，在無(wú)線通信系統(tǒng)中，濾波器組多載波（FBMC,filter bank multi-carrier）技術(shù)成為正交頻分復(fù)用（OFDM,orthogonal frequency division multiplexing）技術(shù)的替代方案之一，引起了許多研究者的關(guān)注[1]。作為下一代無(wú)線通信網(wǎng)絡(luò)的潛在候選多載波調(diào)制方案[2-3]，F(xiàn)BMC常與偏移正交幅度調(diào)制（OQAM,offset quadrature amplitude modulation）技術(shù)結(jié)合，充分利用時(shí)頻局部化特性，并采用基于濾波器組的脈沖整形，提供了與無(wú)循環(huán)前綴（CP,cyclic prefix）的OFDM系統(tǒng)相似的頻譜效率；由于其放寬了正交條件，因此具有良好的抗干擾能力[4]。雖然FBMC具有良好的頻譜利用率、抗帶外泄露和抗干擾的特性，然而，子載波基函數(shù)只在實(shí)數(shù)域上是正交的，因此，相鄰子載波和符號(hào)之間總是存在固有的虛部干擾。

固有的載波間/符號(hào)間干擾將使FBMC信道估計(jì)變得更加復(fù)雜。因此，現(xiàn)有的OFDM信道估計(jì)方法不能直接應(yīng)用于FBMC/OQAM系統(tǒng)。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外研究了多種導(dǎo)頻方案和相關(guān)的估計(jì)方法。2種經(jīng)典的基于導(dǎo)頻的方法是干擾近似法（IAM,interference approximation method）[5-6]和干擾消除法（ICM,interference cancellation method）[7-8]，它們的本質(zhì)是消除固有干擾或者利用它來(lái)提高估計(jì)性能。然而，由于難以完全消除虛部干擾，因此基于導(dǎo)頻的信道估計(jì)方法的性能不是特別理想。

為了提高FBMC信道估計(jì)的性能，研究者們已經(jīng)做了很多工作。文獻(xiàn)[9]提出了一種輔助導(dǎo)頻信道估計(jì)方法。相對(duì)于IAM和ICM，輔助導(dǎo)頻方法（APM,auxiliary preamble method）在估計(jì)頻域信道響應(yīng)的同時(shí)，只需要2個(gè)與CP-OFDM系統(tǒng)相同的實(shí)值符號(hào)持續(xù)時(shí)間，而不會(huì)損失估計(jì)性能的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[10]研究了一種編碼輔助導(dǎo)頻信道估計(jì)方法，該方法利用編碼輔助導(dǎo)頻符號(hào)來(lái)消除對(duì)每個(gè)散射導(dǎo)頻的假想干擾。文獻(xiàn)[11-12]還研究了半盲和盲符號(hào)定時(shí)估計(jì)方法。然而，這些方法具有較高的計(jì)算復(fù)雜度，可能出現(xiàn)相位模糊，并需要較長(zhǎng)的測(cè)量數(shù)據(jù)，這在一定程度上限制了其可用性。在實(shí)踐中，無(wú)線信道往往呈現(xiàn)稀疏多徑的結(jié)構(gòu)特性，可建模為時(shí)間–頻率雙選信道[13-14]，其響應(yīng)在時(shí)延–多普勒域呈現(xiàn)稀疏性，使壓縮感知（CS,compressive sensing）技術(shù)[15-17]得以應(yīng)用到稀疏信道估計(jì)中。在過(guò)去的幾年里，人們已經(jīng)研究了基于CS的OFDM系統(tǒng)信道估計(jì)[18-19]。然而，對(duì)于基于CS的FBMC/OQAM系統(tǒng)信道估計(jì)的研究很少。文獻(xiàn)[20]提出了一種改進(jìn)的IAM，并利用正交匹配追蹤（OMP,orthogonal matching pursuit）算法重建信道脈沖響應(yīng)。結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的基于導(dǎo)頻的最小二乘（LS,least square）方法相比，基于OMP[21]的方法可以獲得顯著的性能改善。文獻(xiàn)[22]研究了FBMC/OQAM系統(tǒng)下基于IAM和ICM的信道估計(jì)方法。新的自適應(yīng)壓縮采樣匹配追蹤（ARCoSaMP,adaptive regularized compressive sampling matching pursuit）算法結(jié)合了稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤（SAMP,sparsity adaptive matching pursuit）算法和壓縮采樣匹配追蹤（CoSaMP,compressive sampling matching pursuit）算法的特點(diǎn)，其估計(jì)性能優(yōu)于基于傳統(tǒng)貪婪重構(gòu)算法的信道估計(jì)方法。

針對(duì)FBMC/OQAM系統(tǒng)，在輔助導(dǎo)頻和編碼方法的基礎(chǔ)上，本文提出了一種新的稀疏信道估計(jì)方法——基于Tanimoto系數(shù)的弱選擇正則化正交匹配追蹤（T-SWROMP,Tanimoto based stagewise weak and regularized OMP）算法。該算法的優(yōu)點(diǎn)是不需要已知信道的稀疏信息，基于Tanimoto系數(shù)度量準(zhǔn)則，然后利用弱選擇標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合正則化的思想，優(yōu)化支撐集的選擇，迭代地改進(jìn)了原信號(hào)的近似值，信號(hào)重構(gòu)效果得到提升。仿真結(jié)果表明，新方法比傳統(tǒng)的OMP、分段弱正交匹配追蹤（SWOMP,stagewise weak OMP）和正則化正交匹配追蹤（ROMP,regularized OMP）方法具有更好的誤比特率（BER,bit error ratio）性能。

本文中，?{?}表示取實(shí)部，diag{?}表示對(duì)角矩陣，?和C分別表示實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域，(?)-1表示一般逆運(yùn)算，(?)#表示矩陣的逆，(?)T和(?)H分別表示轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置，IM表示M維的單位矩陣。

2 FBMC系統(tǒng)稀疏信道模型

在FBMC/OQAM系統(tǒng)中，發(fā)送的信號(hào)可以表示為[5]

其中，dm,n表示實(shí)值OQAM符號(hào)；gm,n(t)表示合成基，可以是由原型函數(shù)gm,n(t)通過(guò)以下方式獲得

其中，F(xiàn)0表示系統(tǒng)的子載波間隔，τ0表示FBMC 系統(tǒng)的符號(hào)間隔。在OFDM系統(tǒng)中，，但是在FBMC系統(tǒng)中，，所以有。且脈沖g的設(shè)計(jì)使相關(guān)子載波函數(shù)gm,n(t)在實(shí)數(shù)域正交

其中，δi,j代表克羅內(nèi)克函數(shù)，如果m≠p，那么δm,p=0；如果m=p，那么δm,p=1。可以發(fā)現(xiàn)，即使在無(wú)失真的信道中，在時(shí)間和頻率完全同步的情況下，輸出端仍然存在載波間虛部干擾，因此定義干擾權(quán)重為

通過(guò)帶有加性噪聲的信道，接收到的信號(hào)可以表示為

另外，有

其中，h(t,τ)表示信道脈沖響應(yīng)，Hm,n(t)表示時(shí)刻t信道的復(fù)數(shù)響應(yīng)。

式(5)中的信號(hào)r(t)的矩陣形式可以表示為

其中，X=diag{x(0),x(1),…,x(N-1)}；R=diag{r(0),r(1),…,r(N-1)}T；H=FNLh表示多徑信道頻率響應(yīng)采樣值，F(xiàn)NL表示N×L維離散傅里葉變換矩陣，L是信道長(zhǎng)度；Φ表示N×N大小的噪聲矩陣，均值為0，方差為σ2。

假設(shè)導(dǎo)頻數(shù)量為P，?=(es1,es2,…,esP)表示大小為P×N的導(dǎo)頻選擇矩陣，?用于從整個(gè)子載波中尋找導(dǎo)頻位置，si(i=1,2,…,P)表示第i個(gè)導(dǎo)頻的位置。式(7)可寫(xiě)為

其中，RP=φR是收到的導(dǎo)頻信號(hào)，在本文中，RP是LS信道估計(jì)值，ΦP=?φ，F(xiàn)P=φFNL，XP=φXφT是對(duì)角線矩陣，其中對(duì)角線元素是導(dǎo)頻值。

假設(shè)F=XPFP，重寫(xiě)式(8)為

其中，h表示稀疏多徑信道響應(yīng)，在傳輸過(guò)程中可以得到RP和F。然后，本文可以用CS重構(gòu)算法來(lái)恢復(fù)稀疏信號(hào)h。

3 基于T-SWROMP算法的稀疏信道估計(jì)

在基于導(dǎo)頻符號(hào)輔助的信道估計(jì)中，導(dǎo)頻符號(hào)在接收端是先驗(yàn)的。在OFDM中，由于干擾權(quán)重是一個(gè)單位矩陣，導(dǎo)頻位置上接收到的符號(hào)除以相應(yīng)的數(shù)據(jù)符號(hào)，即可得到導(dǎo)頻位置上信道系數(shù)的估計(jì)值，然后通過(guò)插值來(lái)獲得數(shù)據(jù)位置處的信道值。然而，在FBMC中，這種簡(jiǎn)單的方法由于虛部干擾而不起作用，即由非對(duì)角虛元素組成。

犧牲一個(gè)額外的數(shù)據(jù)符號(hào)，即所謂的輔助導(dǎo)頻符號(hào)，可以消除一個(gè)導(dǎo)頻位置上的虛部干擾。圖1顯示了本文的輔助導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)。其中■表示數(shù)據(jù)，表示輔助導(dǎo)頻。如果選擇輔助導(dǎo)頻符號(hào)，可以完全消除導(dǎo)頻位置處的虛部干擾，所以有

圖1 輔助導(dǎo)頻放置方式

其中，有

如果導(dǎo)頻符號(hào)彼此間隔足夠遠(yuǎn)，則DP,P將成為一個(gè)單位矩陣，從而可以簡(jiǎn)化式(11)。

編碼方法是指不使用輔助符號(hào)，將數(shù)據(jù)進(jìn)行編碼從而消除導(dǎo)頻處的虛部干擾的方法。圖2顯示了本文的編碼輔助導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)。因此，將發(fā)送的信號(hào)改寫(xiě)為

經(jīng)過(guò)信道估計(jì)后，本文用CT對(duì)均衡后接收的信號(hào)進(jìn)行解碼，而條件必須保持不變，即編碼向量ci是正交的，因此傳輸系統(tǒng)與不編碼的情況相似。假設(shè)導(dǎo)頻符號(hào)之間的間隔足夠遠(yuǎn)，允許為不同的導(dǎo)頻符號(hào)獨(dú)立設(shè)計(jì)編碼。因此，找到C的問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為找到一個(gè)更小的編碼矩陣，通過(guò)該矩陣編碼得到最接近導(dǎo)頻的N個(gè)干擾符號(hào)，從而消除干擾。

圖2 編碼輔助導(dǎo)頻放置方式

要很好地進(jìn)行稀疏信道估計(jì)，除了合適的導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)外，還需要較優(yōu)的CS重構(gòu)算法。

OMP、ROMP和SWOMP算法[24]是基于迭代貪婪追蹤的CS重構(gòu)算法。對(duì)于OMP算法，在每次迭代中，只選擇與殘差內(nèi)積絕對(duì)值最大的一列。ROMP算法則是先選出內(nèi)積絕對(duì)值最大的K列，然后從這K列中按正則化標(biāo)準(zhǔn)再篩選一次，其在信號(hào)重構(gòu)過(guò)程中，每次迭代都是根據(jù)殘差r與測(cè)量矩陣Φ中原子相似度，挑選與信號(hào)稀疏度相同的K個(gè)原子索引集作為候選集J，所以稀疏度K直接影響信號(hào)的重構(gòu)精度。因此，為解決ROMP算法在信號(hào)重構(gòu)中需已知信號(hào)稀疏度K的問(wèn)題，結(jié)合SWOMP算法中原子的弱選擇標(biāo)準(zhǔn)，即

其中，i∈J，α∈(0,1]。

將殘差r與測(cè)量矩陣Φ中原子的相似度即內(nèi)積值g滿足式(14)的所有原子對(duì)應(yīng)的索引集i并入候選集J中，則完成了一次原子的弱選擇。ROMP算法結(jié)合弱選擇標(biāo)準(zhǔn)使原算法在信號(hào)重構(gòu)過(guò)程中不再依賴(lài)稀疏度，并且根據(jù)殘差r與測(cè)量矩陣Φ中各原子相似度的不同，自適應(yīng)地調(diào)節(jié)原信號(hào)的原子個(gè)數(shù)，更好地挑選出表示原信號(hào)的原子候選集，進(jìn)而提升信號(hào)重構(gòu)精度及穩(wěn)定性。

同時(shí)，在信號(hào)重構(gòu)過(guò)程中，弱選擇正則化正交匹配追蹤算法[15]采用了Cosine相似度度量準(zhǔn)則，原理是求從冗余字典庫(kù)中尋找到的匹配原子與殘差的夾角余弦值。余弦值越大，說(shuō)明夾角越大，兩點(diǎn)相距就越遠(yuǎn)，相似度就越小。Cosine相似度度量準(zhǔn)則的定義為

信號(hào)重構(gòu)指的是對(duì)通過(guò)相似度度量準(zhǔn)則得到的最優(yōu)原子索引集矩陣進(jìn)行重構(gòu)計(jì)算。算法對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)時(shí)，利用Cosine準(zhǔn)則度量相似性，不會(huì)考慮到原子相似度的變化，不能很好地放大重要向量分量的效果，造成原始信息的部分失真，進(jìn)而會(huì)影響對(duì)最優(yōu)原子索引集的建立，信號(hào)的重構(gòu)效果不好。Cosine相似性表示公共屬性的數(shù)量除以可能屬性的總數(shù)，而Tanimoto相似性作為Cosine相似度的擴(kuò)展，表示公共屬性的數(shù)量除以2個(gè)對(duì)象中至少一個(gè)對(duì)象中存在的屬性的數(shù)量，且適用于測(cè)量稀疏高維數(shù)據(jù)中的鄰近度。Tanimoto可以通過(guò)稀疏點(diǎn)積有效地計(jì)算非對(duì)稱(chēng)數(shù)據(jù)，在表示向量的接近度時(shí)，它同時(shí)考慮了向量的角度和長(zhǎng)度。這種特性可以更好地保留原始向量分量，捕捉到原子相似度的變化，提升算法的重構(gòu)效果。所以，引入Tanimoto相似性為

利用Tanimoto相似度度量準(zhǔn)則度量相似性時(shí)，分子項(xiàng)不變，分母項(xiàng)保留2個(gè)對(duì)象中至少一個(gè)對(duì)象中存在的屬性特點(diǎn)，從而更多地保留每個(gè)向量的原始狀態(tài)，突出向量中重要的組成元素，真實(shí)捕捉到原子相似度的變化。針對(duì)任意2個(gè)向量x和y，Tanimoto相似性可以最大化地有效運(yùn)用向量中的數(shù)值來(lái)求解相似度，解決了Cosine準(zhǔn)則在度量過(guò)程中導(dǎo)致原始信號(hào)部分失真的問(wèn)題。因此相對(duì)于Cosine相似度度量準(zhǔn)則，基于Tanimoto相似性的重構(gòu)算法可以更可靠地區(qū)分2個(gè)相似的原子，更好地從冗余字典中挑選出與殘差信號(hào)相似的原子，極大地提升了信號(hào)的重構(gòu)效果。

基于Tanimoto相似性的弱選擇正則化正交匹配追蹤（T-SWROMP）算法流程如下。

輸入原稀疏信號(hào)測(cè)量值y，測(cè)量矩陣Φ，算法最大迭代次數(shù)L，重構(gòu)的誤差ε

輸出重構(gòu)信號(hào)的原子支撐集，即由中原子的線性組合表示原稀疏信號(hào)

1)初始化：初始?xì)埐顁0=y，迭代次數(shù)初始值n=1，算法最大迭代次數(shù)L，重構(gòu)的誤差ε，索引值集合Λ=φ，J=φ。

2)弱選擇：先計(jì)算殘差和測(cè)量矩陣每個(gè)原子之間的Tanimoto相似性，(j=1,…,N)，并從中找出滿足式(14)的測(cè)量矩陣Φ中原子?i對(duì)應(yīng)的索引值i，將其存入索引值集J中。

6)比較算法迭代次數(shù)，當(dāng)n≥L時(shí)，停止迭代；比較更新殘差和上次迭代殘差，當(dāng)時(shí)，停止迭代；否則，令r=rn，n=n+1，轉(zhuǎn)至步驟2)。

4 仿真結(jié)果

本節(jié)通過(guò)仿真，對(duì)LS、OMP、ROMP、SWOMP、ARCoSaMP[22]和本文提出的T-SWROMP算法的性能進(jìn)行了比較。這里分別使用算法的重構(gòu)率和BER性能來(lái)對(duì)算法的恢復(fù)率和信道估計(jì)的性能進(jìn)行評(píng)價(jià)。仿真環(huán)境中FBMC子載波個(gè)數(shù)為1 024，星座映射方式為40QAM，原型濾波函數(shù)采用Hermite函數(shù)，濾波器的重疊因子設(shè)定為8，采用IEEE 802.22信道模型,最大徑數(shù)為6，其信道參數(shù)的功率時(shí)延譜（PDP,power delay profile）如表1所示。

圖3是對(duì)原始的和估計(jì)的信道參數(shù)的功率時(shí)延譜的比較，它表明本文所提出的針對(duì)FBMC系統(tǒng)的貪婪重構(gòu)算法能夠很好地重構(gòu)原始的多徑信道。

表1 IEEE 802.22信道參數(shù)的功率時(shí)延譜

圖3 原始的和估計(jì)的IEEE 802.22信道參數(shù)功率時(shí)延譜的比較

本文研究了不同算法在固定信號(hào)稀疏度K=8時(shí)的重構(gòu)概率。圖4描述了高斯稀疏信號(hào)的重構(gòu)概率曲線。從圖4可以看出，當(dāng)測(cè)量值M在5～50的范圍內(nèi)時(shí)，所提算法的重構(gòu)性能優(yōu)于其他幾種算法。

圖4 不同重構(gòu)算法在不同測(cè)量值下高斯稀疏信號(hào)的重構(gòu)概率比較(K=8,N=256,Gaussian)

圖5顯示了FBMC/OQAM系統(tǒng)采用輔助導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)時(shí)的誤碼率性能隨最大多普勒頻移的變化。在圖5中，隨著最大多普勒頻移的增大，所提算法與OMP、ROMP、ARCoSaMP算法的估計(jì)性能都下降，但是所提算法在估計(jì)性能更好的情況下，其變化相對(duì)平緩，這說(shuō)明所提算法對(duì)多普勒頻移具有較好的穩(wěn)健性。

圖5 信道估計(jì)誤碼率性能隨最大多普勒頻移的變化

圖6顯示了FBMC/OQAM系統(tǒng)采用輔助導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)時(shí)的誤碼率性能比較。在圖6中，F(xiàn)BMC/OQAM系統(tǒng)中采用了基于CS的信道估計(jì)，最大多普勒頻移設(shè)定為10 Hz。與傳統(tǒng)LS方法相比，基于CS的信道估計(jì)方法可以獲得顯著的誤碼率改善。同時(shí)，在基于CS的信道估計(jì)方法中，所提算法在整個(gè)信噪比范圍內(nèi)優(yōu)于OMP、ROMP和SWOMP算法，與ARCoSaMP算法性能接近。

圖6 FBMC/OQAM系統(tǒng)下基于輔助導(dǎo)頻的信道估計(jì)的誤碼率比較

圖7顯示了FBMC/OQAM系統(tǒng)采用編碼輔助導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)時(shí)的誤碼率性能比較。同樣，在圖7中，與LS相比，基于CS的信道估計(jì)方法可以獲得顯著的誤碼率改善。且在基于CS的信道估計(jì)方法中，所提算法在整個(gè)信噪比范圍內(nèi)優(yōu)于OMP、ROMP和SWOMP算法，與ARCoSaMP算法性能接近。

圖7 FBMC/OQAM系統(tǒng)下基于編碼輔助導(dǎo)頻的信道估計(jì)的誤碼率比較

表2給出了仿真中不同稀疏信道恢復(fù)算法在配置為i5處理器、3.1 GHz主頻、8 GB內(nèi)存、macOS Mojave(64位)操作系統(tǒng)的PC環(huán)境下，進(jìn)行單次運(yùn)算所需要的時(shí)間?？梢钥闯觯谛诺老∈瓒任粗那闆r下，T-SWROMP算法在計(jì)算復(fù)雜度上低于SWOMP和ARCoSaMP算法。由于信道稀疏度未知，迭代次數(shù)過(guò)多，導(dǎo)致ARCoSaMP和SWOMP稀疏度計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較高。

表2 不同稀疏信道重構(gòu)算法的仿真運(yùn)行時(shí)間

仿真結(jié)果表明，在FBMC/OQAM系統(tǒng)中，基于CS的信道估計(jì)方法比傳統(tǒng)的LS方法能提供更有效的性能。本文提出的基于T-SWROMP的信道估計(jì)方法，在不需要信道稀疏度的情況下，可以獲得比其他重構(gòu)算法更好的性能，并且在時(shí)間復(fù)雜度較低的情況下，具有更好的信道估計(jì)性能。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了在IEEE 802.22稀疏多徑衰落信道下基于CS的FMBC/OQAM系統(tǒng)的稀疏信道估計(jì)，提出了一種新的基于Tanimoto系數(shù)的弱選擇正則化正交匹配追蹤算法，所提算法結(jié)合輔助導(dǎo)頻和編碼方法，可以實(shí)現(xiàn)在未知信號(hào)稀疏度的條件下，根據(jù)弱選擇標(biāo)準(zhǔn)自適應(yīng)地確定原子候選集的原子個(gè)數(shù)，進(jìn)而通過(guò)正則化過(guò)程從候選集中快速有效地挑選出完成信號(hào)重構(gòu)的最優(yōu)原子組。同時(shí)，在重構(gòu)信號(hào)時(shí)，利用Tanimoto度量準(zhǔn)則，優(yōu)化了支撐集的選擇，進(jìn)一步提高了信號(hào)的重構(gòu)精度。仿真結(jié)果表明，基于CS的導(dǎo)頻方法比傳統(tǒng)的LS方法具有更好的誤碼率性能。在時(shí)間復(fù)雜度較低的情況下，該方案優(yōu)于SWOMP算法，并且在未知信道稀疏度的情況下，該方案優(yōu)于ROMP算法。在FBMC/OQAM傳輸網(wǎng)絡(luò)中，T-SWROMP方案是一種有效的稀疏信道估計(jì)方法。