鄭艷梅，蘆碧波

（河南理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河南 焦作 454000）

0 引言

離散數(shù)學(xué)課程作為計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的核心課程，在專業(yè)課程體系中起著重要的理論支撐作用，承擔(dān)著奠定學(xué)生專業(yè)課知識(shí)基礎(chǔ)的使命[1-3]。離散數(shù)學(xué)作為一門較為成熟的課程，市面上存在著大量的教材。縱觀各教材，存在如下特點(diǎn)：①教材內(nèi)容不一致，這應(yīng)該源于不同作者對(duì)計(jì)算機(jī)行業(yè)發(fā)展所需數(shù)學(xué)知識(shí)理解的不同[4]。②內(nèi)容的前后順序多樣化，這可能是因?yàn)樽髡哒J(rèn)為離散數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立[5-6]，或者基于對(duì)先導(dǎo)基礎(chǔ)和后續(xù)進(jìn)階的不同理解。雖然不同的講授順序均能完成授課任務(wù)，但是若深究他們的內(nèi)部聯(lián)系，實(shí)質(zhì)上可以通過成組比較分析相關(guān)內(nèi)容，較為合理地安排離散數(shù)學(xué)內(nèi)容的前后順序。

1 離散數(shù)學(xué)內(nèi)容的設(shè)置順序分析

在分析比較離散數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容順序時(shí)，我們采用與文獻(xiàn)[4]一致的教材樣本，圍繞14部教材[7-20]（其中10部中文教材、4部英文教材），對(duì)數(shù)理邏輯、集合、關(guān)系、函數(shù)、圖論、代數(shù)系統(tǒng)等6塊離散數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容展開探討。 文獻(xiàn)[7]未包含集合內(nèi)容，文獻(xiàn)[8]未包含函數(shù)內(nèi)容，文獻(xiàn)[9—10]未包含代數(shù)結(jié)構(gòu)內(nèi)容。這4部教材由于未能全面覆蓋上述6部分核心內(nèi)容，在后續(xù)分析時(shí)予以舍棄，而僅對(duì)剩余的10部教材進(jìn)行分析。

經(jīng)分析整理可歸納出5種內(nèi)容順序（見表1）。為突顯排序效果，我們將代數(shù)系統(tǒng)與布爾代數(shù)統(tǒng)一為代數(shù)結(jié)構(gòu)。表1中的順序僅表示內(nèi)容設(shè)置的先后順序，不代表章節(jié)序號(hào)，比如數(shù)理邏輯大都分為命題邏輯、謂詞邏輯兩章來講[11-14]，或者合為一章[15-16]，也存在分為多章情形[17-20]。陰影標(biāo)示部分為相鄰類型間的排序差異，5種內(nèi)容排序體現(xiàn)在如下4組內(nèi)容的聯(lián)系與先后順序上：①圖論與代數(shù)結(jié)構(gòu)；②集合、關(guān)系與函數(shù)；③集合與數(shù)理邏輯；④數(shù)理邏輯與代數(shù)結(jié)構(gòu)。

表1 離散數(shù)學(xué)內(nèi)容的不同排序

2 圖論與代數(shù)結(jié)構(gòu)

所謂代數(shù)系統(tǒng)，即為由非空集合和該集合上的若干個(gè)運(yùn)算而組成的系統(tǒng)[14]。這個(gè)集合可能是自然數(shù)、實(shí)數(shù)、多項(xiàng)式、矩陣、命題、圖等，相應(yīng)的運(yùn)算可能為加、減、乘、除、與、或、非、交、補(bǔ)。以筆者實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，代數(shù)系統(tǒng)源于抽象代數(shù)，在離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容中，它將數(shù)理邏輯、集合、關(guān)系、圖論等這些看似散亂、沒有規(guī)律的內(nèi)容，在更高的維度上進(jìn)行統(tǒng)一和歸納概括。對(duì)于代數(shù)結(jié)構(gòu)，其他5部分內(nèi)容是以實(shí)例形式存在的。比如，在學(xué)習(xí)交換律時(shí)，筆者先引入通俗易懂的整數(shù)集合上的加法和乘法，然后介紹此定義，最后拋出問題：在離散數(shù)學(xué)課程中，你學(xué)過哪些運(yùn)算是可交換的，并簡(jiǎn)述理由？如此授課效果甚佳，一方面介紹了新知識(shí)，同時(shí)也以代數(shù)結(jié)構(gòu)的內(nèi)容為線索對(duì)前序章節(jié)進(jìn)行總結(jié)。更進(jìn)一步來說，在判斷一個(gè)偏序集是否為格或?yàn)椴紶柎鷶?shù)時(shí)，通常會(huì)用到哈斯圖，所以圖論在前、代數(shù)結(jié)構(gòu)在后較為合理。

3 集合、關(guān)系與函數(shù)

關(guān)系是集合中元素之間的某種相關(guān)性[14]，因此關(guān)系定義在集合之上，沒有集合也就沒有關(guān)系可言。而函數(shù)是一類特殊的二元關(guān)系，可作為相對(duì)抽象的關(guān)系的具體化。可以說集合是關(guān)系的基礎(chǔ)，函數(shù)是關(guān)系的具體化。

集合與函數(shù)在離散數(shù)學(xué)這門課程中，其重要地位經(jīng)常被授課教師忽視，誤將其當(dāng)作已知知識(shí)，理所當(dāng)然認(rèn)為該部分無需再講。實(shí)際上，在本課程中學(xué)生需要在更高的高度上來認(rèn)識(shí)集合和函數(shù)。在高中階段，學(xué)生僅僅是在使用集合、函數(shù)相關(guān)概念，僅將其作為進(jìn)一步學(xué)習(xí)的工具，但是對(duì)于他們的由來從未細(xì)究過。

關(guān)于集合，授課教師一方面需要復(fù)習(xí)集合相關(guān)概念、集合間的運(yùn)算、排斥相容定理等內(nèi)容。更為重要的，是要讓學(xué)生從謂詞邏輯的角度來理解集合相關(guān)概念，點(diǎn)出常用的集合定義方法——謂詞邏輯式，并需要用到真值的真假概念，同時(shí)也需要將集合的交、并、差、補(bǔ)等概念與數(shù)理邏輯中的析取、合取、否定等概念建立起聯(lián)系[4]。

關(guān)于函數(shù)，一方面，需要學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)是關(guān)系的特例，是關(guān)系內(nèi)容的結(jié)尾。另外，在后續(xù)章節(jié)包括關(guān)系、圖論、代數(shù)系統(tǒng)部分均需用到函數(shù)的單射、滿射以及雙射性質(zhì)。在此，筆者建議采用與關(guān)系相關(guān)的實(shí)例進(jìn)行教學(xué)，授課1個(gè)學(xué)時(shí)，對(duì)關(guān)系部分相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)尾。

對(duì)于三者的順序，以筆者經(jīng)驗(yàn)，按照“集合—關(guān)系—函數(shù)”的順序展開較為合理。先介紹作為關(guān)系必備知識(shí)的集合相關(guān)內(nèi)容，然后引出核心內(nèi)容——關(guān)系，最后介紹一類特殊的二元關(guān)系——函數(shù)。在關(guān)系之后介紹函數(shù)，一方面復(fù)習(xí)高中階段學(xué)習(xí)過的有關(guān)函數(shù)的概念以及性質(zhì)；另一方面將函數(shù)作為關(guān)系的特例，講解若干以關(guān)系形式呈現(xiàn)的函數(shù)實(shí)例。這樣既能加深學(xué)生對(duì)關(guān)系這個(gè)相對(duì)抽象的概念的理解，同時(shí)也讓學(xué)生在更高層次上理解函數(shù)的由來。

4 集合與數(shù)理邏輯

關(guān)于數(shù)理邏輯與集合的兩種先后順序均有其合理之處。在介紹謂詞邏輯中量詞相關(guān)內(nèi)容時(shí)，需頻繁使用集合的交、并運(yùn)算。另外，雖然學(xué)生在高中階段已學(xué)過集合相關(guān)概念以及運(yùn)算，但是在離散數(shù)學(xué)課程中，不但要求學(xué)生會(huì)使用集合這個(gè)工具，還需理解謂詞邏輯可以作為集合的表示形式之一，集合是由謂詞進(jìn)行定義的，這是新增內(nèi)容。以筆者實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，由于數(shù)理邏輯中所使用的集合相關(guān)內(nèi)容均為高中已學(xué)知識(shí)，因而，數(shù)理邏輯在前、集合在后的順序較為合理?；蛘撸瑢⒓险撓嚓P(guān)內(nèi)容穿插在數(shù)理邏輯中進(jìn)行介紹，在介紹完謂詞邏輯概念后，先介紹集合論相關(guān)內(nèi)容，接著介紹量詞。這樣在知識(shí)的先后順序上可能更為合理，可作為類序II的改進(jìn)類序II'，即“數(shù)理邏輯謂詞—集合—數(shù)理邏輯量詞—關(guān)系—函數(shù)—圖論—代數(shù)結(jié)構(gòu)”。如此安排使得學(xué)生暫停用時(shí)相對(duì)較長(zhǎng)的數(shù)理邏輯內(nèi)容學(xué)習(xí)過程，轉(zhuǎn)而學(xué)習(xí)集合內(nèi)容，其所帶來的新鮮感也能減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)疲勞，但是有破壞數(shù)理邏輯整體性的嫌疑。

5 數(shù)理邏輯與代數(shù)結(jié)構(gòu)

對(duì)于離散數(shù)學(xué)所包含的6塊核心內(nèi)容，學(xué)生已能夠進(jìn)行函數(shù)、集合的相關(guān)運(yùn)算，也已知曉交換律、結(jié)合律、分配律，但對(duì)于其定義和來源知之甚少，同時(shí)，對(duì)數(shù)理邏輯、關(guān)系、圖論、代數(shù)系統(tǒng)還是零基礎(chǔ)。

基于這一現(xiàn)狀，授課教師可以先介紹數(shù)理邏輯內(nèi)容，在講授命題邏輯時(shí)會(huì)用到交換律、結(jié)合律、分配律等各種性質(zhì)，另外，在集合、關(guān)系和代數(shù)結(jié)構(gòu)也會(huì)更新學(xué)生對(duì)于包括交換律、結(jié)合律、分配律在內(nèi)的各種性質(zhì)的認(rèn)知。由此得出，數(shù)理邏輯在前、代數(shù)結(jié)構(gòu)在后，甚至將代數(shù)結(jié)構(gòu)放在課程的最后來講，最為合理。

6 關(guān)系與圖論

雖然所羅列的教材均以關(guān)系在前、圖論在后的順序介紹相關(guān)內(nèi)容，但是在實(shí)際教學(xué)中，他們互為對(duì)方的基礎(chǔ)知識(shí)。一方面圖論是關(guān)系的表示和運(yùn)算工具，借助有向圖實(shí)現(xiàn)二元關(guān)系的表示、冪運(yùn)算、三種閉包運(yùn)算（自反閉包 、對(duì)稱閉包、傳遞閉包），構(gòu)造等價(jià)關(guān)系所對(duì)應(yīng)的關(guān)系圖以推導(dǎo)其等價(jià)類，構(gòu)造哈斯圖表示偏序關(guān)系等。另一方面，所謂圖也即為邊、頂點(diǎn)間的二元關(guān)系，不同的二元關(guān)系構(gòu)成了不同的圖。

若先介紹關(guān)系，則需要在介紹關(guān)系內(nèi)容之中（關(guān)系的定義之后、關(guān)系的表示之前），補(bǔ)充圖的基礎(chǔ)知識(shí)，包括圖的作用、圖的生成、有向邊、路徑、連通性等相關(guān)概念。若先介紹圖論，則需要在介紹有向圖的定義之前，補(bǔ)充二元關(guān)系的定義，且在內(nèi)容上僅圍繞圖論知識(shí)來講，不能展開討論其與關(guān)系相關(guān)內(nèi)容之間的聯(lián)系。在后續(xù)介紹關(guān)系內(nèi)容時(shí)，再詳細(xì)講述。

以筆者實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，可以考慮關(guān)系在前、圖論在后的順序。在講授關(guān)系相關(guān)內(nèi)容時(shí)，將學(xué)生的注意力集中于關(guān)系相關(guān)內(nèi)容，僅在必要處有針對(duì)性地插入圖論相關(guān)內(nèi)容。由于所需圖論內(nèi)容較為簡(jiǎn)單，學(xué)生理解起來并不費(fèi)力，如此安排一方面保證了關(guān)系內(nèi)容的連貫性和完整性，同時(shí)也為后續(xù)的圖論內(nèi)容完成了實(shí)例引入，使得學(xué)生學(xué)習(xí)圖論相關(guān)內(nèi)容時(shí)能達(dá)到事半功倍的效果。

7 結(jié)論

基于前述的討論，可以發(fā)現(xiàn)類序II較為合理，該順序一方面能較好地保證前續(xù)和后繼的關(guān)系，同時(shí)還能保證前后內(nèi)容的連貫性，能起到事半功倍的效果。如果教師能夠很好地把控授課節(jié)奏，也可以考慮如類序II'，它是類序II的改進(jìn)版本。筆者在實(shí)際教學(xué)中對(duì)上述兩種類序均進(jìn)行了嘗試，就個(gè)人經(jīng)驗(yàn)而言，依照類序II'進(jìn)行授課效果更佳。