王一帆

【摘要】? ? 在運(yùn)動(dòng)中，兩個(gè)物體發(fā)生正碰，可能存在能量損失。完全彈性碰撞遵循能量守恒定律，碰撞前后系統(tǒng)的總動(dòng)能不變;非彈性碰撞會(huì)有能量損失，系統(tǒng)碰撞前后總動(dòng)能不相等。由于碰撞過(guò)程極短，我們可以認(rèn)為碰撞前后系統(tǒng)的動(dòng)量保持不變。本文提出的四種碰撞的理想模型探討了物體質(zhì)量相等和物體質(zhì)量無(wú)限大的情況，可從這四種模型中理解碰撞發(fā)生的過(guò)程。

【關(guān)鍵詞】? ? 碰撞? ? 能量損失? ? 理想模型? ? 動(dòng)能? ? 速度

一、引言

碰撞在物理學(xué)中表現(xiàn)為兩粒子或物體間極短的相互作用。碰撞前后參與物發(fā)生速度、動(dòng)量或能量改變。碰撞可以是宏觀物體的碰撞，如打擊等，也可以是微觀粒子如原子等之間的碰撞[1]。碰撞問(wèn)題是歷年高考試題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，同時(shí)也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。碰撞問(wèn)題涉及到力與運(yùn)動(dòng)、功能轉(zhuǎn)換等。并且，復(fù)雜的碰撞問(wèn)題碰撞次數(shù)多，更加考察學(xué)生對(duì)全過(guò)程的分析思路。對(duì)于碰撞問(wèn)題，要通過(guò)理想模型來(lái)熟知計(jì)算公式和深刻了解碰撞前后的變化。所以總結(jié)碰撞問(wèn)題的抽象理想模型，很有必要。

二、碰撞問(wèn)題的類型

在運(yùn)動(dòng)中，兩個(gè)物體如果發(fā)生碰撞，其碰撞后的狀態(tài)可能存在多種可能。高中階段一般討論的是正碰，即可以把物體看作質(zhì)點(diǎn)，無(wú)自身的旋轉(zhuǎn)，這樣就不必考慮旋轉(zhuǎn)和力矩對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響。發(fā)生正碰，也可能有多種可能的結(jié)果，主要是因?yàn)橛心芰繐p失。高中物理階段，完全彈性碰撞遵循能量守恒定律，碰撞前后系統(tǒng)的總動(dòng)能不變;非彈性碰撞會(huì)有能量損失，系統(tǒng)碰撞前后總動(dòng)能不相等，一般是以內(nèi)能的方式消耗掉。

若在發(fā)生碰撞的接觸面上存在一根彈簧，則碰撞問(wèn)題的能量損失問(wèn)題更便于理解。發(fā)生碰撞時(shí)，動(dòng)能首先轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能儲(chǔ)存在彈簧中;當(dāng)彈簧壓縮至最短時(shí)，兩個(gè)物體共速。此時(shí)系統(tǒng)的總動(dòng)能降到最小，如果彈簧不反向伸長(zhǎng)，這就是發(fā)生了完全非彈性碰撞，這是能量損失最大的一種類型，彈簧中的彈性勢(shì)能就是沒(méi)有彈簧情況下的消耗掉的內(nèi)能。如果彈簧反向伸長(zhǎng)，恢復(fù)原長(zhǎng)，則碰撞前后沒(méi)有能量損失，發(fā)生完全彈性碰撞。如果彈簧反向伸長(zhǎng)，但是沒(méi)有恢復(fù)原長(zhǎng)，則存在部分能量損失，發(fā)生的是非彈性碰撞。

求解最終的狀態(tài)，還要結(jié)合動(dòng)量守恒。即發(fā)生碰撞的兩物體碰撞前后的質(zhì)量與速度的乘積保持不變[2]。非彈性碰撞有能量損失，導(dǎo)致能量不守恒。但是由于碰撞過(guò)程極短，我們可以認(rèn)為碰撞前后系統(tǒng)的動(dòng)量保持不變。所以，碰撞的問(wèn)題一般都需要在動(dòng)量守恒中尋找一個(gè)等式來(lái)求解系統(tǒng)變化后的狀態(tài)。一般地，在題目中如果是彈性球、光滑金屬球、分子原子微觀粒子等，均默認(rèn)發(fā)生彈性碰撞。如果是接觸面涂有橡膠、橡皮泥等，發(fā)生的是非彈性碰撞。

三、數(shù)學(xué)技巧在解物理問(wèn)題中的使用

數(shù)學(xué)與物理是密不可分的，物理解題隨處可見(jiàn)數(shù)值計(jì)算、函數(shù)、幾何、圖像、極值法等數(shù)學(xué)知識(shí)[3]。解碰撞問(wèn)題，一般情況下需要解二元二次方程組。如果采用一般公式解法，可能計(jì)算量較大。但是注意到二次方程至多兩個(gè)解，其中一個(gè)解就是碰撞前的速度狀態(tài)，另一個(gè)解是碰撞后的速度狀態(tài)。當(dāng)兩個(gè)物體質(zhì)量相同時(shí)，很容易得出碰撞后發(fā)生速度交換的現(xiàn)象。一般情況下的計(jì)算也存在對(duì)稱性，比如本文接下來(lái)第4部分的v'1和v'2的計(jì)算結(jié)果可由角標(biāo)1和2互換得出。因?yàn)楸举|(zhì)上，兩個(gè)物體的狀態(tài)沒(méi)有區(qū)別，是具有互換性的。

四、四種碰撞的理想模型

為了更好的理解完全彈性碰撞問(wèn)題，有必要熟知幾種常見(jiàn)的碰撞模型。從模型中更加深入地了解碰撞現(xiàn)象。并且，可以從模型出發(fā)，理解更復(fù)雜的現(xiàn)象。

首先，構(gòu)建一般的理想模型。有甲乙兩個(gè)完全一樣小球，表面光滑，質(zhì)量分別為m1，m2，初速度分別為v1，v2（v1>v2）。若他們?cè)谒矫嫔峡梢园l(fā)生完全彈性碰撞，則碰撞后的速度分別為多少？

這個(gè)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜。物理教學(xué)和學(xué)習(xí)過(guò)程中注重的是物理思想、物理過(guò)程和物理方法，而不是表面的數(shù)學(xué)運(yùn)算[4]。當(dāng)在某一項(xiàng)為0的時(shí)候，這個(gè)結(jié)果可以化簡(jiǎn)成簡(jiǎn)單的形式。下面本文提出幾個(gè)理想模型，均是由此簡(jiǎn)化而來(lái)。

4.1 反彈模型

也就是說(shuō)，甲球以同速率反向，乙球仍在靜止。如果把乙球當(dāng)成地面，這就很容易理解了。甲球如果彈性好，碰撞時(shí)間極短，那么發(fā)生類完全彈性碰撞，像乒乓球落地后再?gòu)椘稹Ｋ赃@種模型可以稱之為反彈模型。當(dāng)一個(gè)極大質(zhì)量的物體靜止時(shí)，如果另外一個(gè)彈性小物體碰撞，則小物體將被以同速率反向彈開(kāi)，這就是這個(gè)模型的現(xiàn)實(shí)意義。

4.2 彈飛模型

也就是說(shuō)，甲球質(zhì)量足夠大時(shí)，碰上質(zhì)量較小的乙球，對(duì)甲球幾乎無(wú)影響，甲球仍然以原速度向右運(yùn)動(dòng)。但是乙球會(huì)以2倍的甲的速度被碰撞開(kāi)。把甲球當(dāng)成大卡車，那么當(dāng)它裝上一個(gè)較小物體時(shí)，會(huì)使得小物體以二倍的卡車速度攤開(kāi)，而卡車速度不變。所以這種模型可以稱為彈飛模型。這個(gè)模型和反彈模型本質(zhì)相同，若以極大質(zhì)量的物體做為相對(duì)參考系，則彈飛模型就是反彈模型。

當(dāng)一個(gè)極大質(zhì)量的物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果碰上另外一個(gè)靜止小物體，則大質(zhì)量的物體速度不變，小物體將被以二倍速度向前彈開(kāi)，這就是這個(gè)模型的現(xiàn)實(shí)意義。

4.3 速度交換模型

也就是說(shuō)，甲球和乙球的速度發(fā)生了交換。這個(gè)現(xiàn)象從數(shù)學(xué)公式上也能輕易發(fā)現(xiàn)。因?yàn)槎畏匠讨炼鄡蓚€(gè)解，其中一個(gè)解就是碰撞前的速度。兩球的質(zhì)量相同，很容易由對(duì)稱性得出，另一個(gè)解就是交換后的速度。

當(dāng)兩個(gè)物體質(zhì)量相等時(shí)，它們發(fā)生完全彈性碰撞，則交換速度后前進(jìn)。牛頓擺即利用這一原理制成。一側(cè)的金屬圓球被拉起，釋放后重力勢(shì)能轉(zhuǎn)變成動(dòng)能，獲得初速度。再接觸緊挨著的靜止金屬圓球時(shí)，發(fā)生速度交換，第一個(gè)金屬圓球碰撞后靜止，第二個(gè)金屬圓球碰撞后獲得第一個(gè)金屬圓球的初速度，但是又立即與第三個(gè)金屬圓球發(fā)生碰撞，發(fā)生速度交換。這樣最后將速度傳遞到另一側(cè)的最后一個(gè)金屬圓球，使得其獲得第一個(gè)金屬球的初速度，然后動(dòng)能轉(zhuǎn)換成重力勢(shì)能，其又可以達(dá)到第一個(gè)金屬球被拉起的高度，然后再重力作用下，再次回落，依此發(fā)生速度交換，循環(huán)往復(fù)，而且碰撞時(shí)間極短。這樣，看起來(lái)就是兩側(cè)的金屬球互相碰撞彈起，中間的幾個(gè)金屬球靜止不動(dòng)。

4.4 子彈射入模型

上面三個(gè)類型都是完全彈性碰撞，不產(chǎn)生動(dòng)能損失。非彈性碰撞特點(diǎn)是兩物體碰撞后共速且有最大動(dòng)能損失[5]。若甲球追上乙球，發(fā)生完全非彈性碰撞，然后兩個(gè)球黏在一起以共同的速度v'0向前運(yùn)動(dòng)。

求得共同速度：

此時(shí)，系統(tǒng)碰撞前后以內(nèi)能消耗的能量損失EQ最大。

當(dāng)在某一項(xiàng)為0的時(shí)候，這個(gè)結(jié)果也可以化簡(jiǎn)成簡(jiǎn)單的形式。

當(dāng)v2=0時(shí)：

可以把甲球當(dāng)作子彈，乙球當(dāng)作木塊，然后子彈射入木塊了，連帶木塊一起運(yùn)動(dòng)?？梢园l(fā)現(xiàn)，是子彈（甲球）的動(dòng)量，轉(zhuǎn)換成子彈和木塊的動(dòng)量了。另一方面，結(jié)合能量損失公式和摩擦系數(shù)等參數(shù)，還能算出子彈射入木塊的深度。

五、結(jié)語(yǔ)

碰撞問(wèn)題是高中物理力與運(yùn)動(dòng)部分的典型題型。這類題的特點(diǎn)是變型多，過(guò)程復(fù)雜，可以與電磁學(xué)、能量等部分結(jié)合起來(lái)。所以，歸納幾種理想模型，有助于加深對(duì)碰撞問(wèn)題的理解。所以，本文對(duì)碰撞問(wèn)題的概念、分類、解題思路做了歸納，并且重點(diǎn)分析了四種理想模型的原理與應(yīng)用。

參? 考? 文? 獻(xiàn)

[1] 王澤昊.碰撞過(guò)程中的動(dòng)量守恒和能量損失研究[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2019，40（10）：192-194.

[2]? 石曉蘭，王延楠，劉世洪.在科學(xué)探究中提升科學(xué)思維——以“探究碰撞中的不變量”為例[J].物理通報(bào)，2019（07）：31-34.

[3]? 魏子昂.高中物理解題中融入數(shù)學(xué)知識(shí)的分析[J].物理通報(bào)，2018（05）：125-127.

[4]? 龐延理.巧解一維彈性碰撞[J].湖南中學(xué)物理，2019，34（06）：89-90+96.

[5]? 董靜雨.完全非彈性碰撞中的動(dòng)能損失[J].物理通報(bào)，2018（07）：44-45.