周蘭鎖,尹曉軍

(內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特010018)

1.引言

自從1834年,Russell首次觀察到孤立波以來(lái),孤立子作為非線性科學(xué)的重要組成部分已經(jīng)滲透到了許多研究領(lǐng)域,主要分布在應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)、大氣和海洋科學(xué)等交叉學(xué)科領(lǐng)域里[1?3].

近年來(lái),非線性方程發(fā)展作為孤立子理論的載體一直是數(shù)學(xué)物理工作者研究的熱點(diǎn),主要尋求非線性方程的孤立子解以及解的適定性問(wèn)題.目前對(duì)于非線性方程的求解方法已經(jīng)有很多,如:Jacobi橢圓函數(shù)展開法[4],同倫攝動(dòng)法[5],齊次平衡法[6],B¨acklund變換法[7],Hirota雙線性方法[8],Darboux 變換法[9],Sine-Cosine展開法[10?11]等.這些方法是求解非線性方程精確解的重要方法.但是,由于非線性方程的復(fù)雜性,至今沒(méi)有統(tǒng)一的求解方法.1895 年,Korteweg和他的學(xué)生de Vries研究淺水波運(yùn)動(dòng),推導(dǎo)出KdV方程并求得了精確解以來(lái),KdV方程就被視為非線性數(shù)學(xué)物理的基本模型之一.后來(lái),人們陸續(xù)在各個(gè)不同學(xué)科的實(shí)際背景下提出許多非線性偏微分方程,如mKdV,ZK,Schrdinger以及ZK-mZK方程等[12?15].

本文主要尋找一類5階KdV方程

的孤立波解,這里α,β,γ是任意非零常數(shù),其中uxxx,uxxxxx表示色散項(xiàng).當(dāng)方程系數(shù)為(α,β,γ) = (30,20,10),(120,40,20),(270,60,30) 時(shí),稱為L(zhǎng)ax方程[16?17],它廣泛應(yīng)用于量子力學(xué)、流體力學(xué)以及等離子體物理領(lǐng)域中.對(duì)于5階KdV方程,文[18]采用Jacobi橢圓函數(shù)展開法,獲得了5階KdV方程的一些精確解.文[19]利用Hirota雙線性方法研究了(2+1)維廣義5階KdV方程的單孤立子解以及雙孤立子解.文[20]根據(jù)Jost解的相容性原理,給出了求解高階KdV方程孤立子解的一種簡(jiǎn)單方法.這里我們主要應(yīng)用Sine-Cosine展開法去求解方程(1.1)的孤立波解.首先通過(guò)行波變換,把方程(1.1) 轉(zhuǎn)化成一個(gè)5階非線性常微分方程,然后經(jīng)過(guò)正余弦函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算求得方程(1.1)的孤立波解,并把所得結(jié)果分別應(yīng)用到Lax方程,SK方程,CDG方程中.

2.Sine-Cosine展開法的描述

假設(shè)偏微分方程

其中u(x,t)關(guān)于空間x和時(shí)間t的函數(shù).這里,我們應(yīng)用Sine-Cosine方法求解.

首先,為了求解方程(2.1)的孤立波解,我們引入行波變換

于是

根據(jù)(2.3)式,我們有下面的變換

應(yīng)用(2.4)可把偏微分方程(2.1)變成下面的常微分方程

這里uξ表示

其次,我們盡可能多次地對(duì)常微分方程(2.5)求積分,并且把積分常數(shù)設(shè)置為零.假設(shè)方程(2.5)有如下的解的形式

或者形如

這里λ,μ和m是有待確定的參數(shù),其中μ是波數(shù),c是波速.對(duì)函數(shù)(2.6)求有限次導(dǎo)數(shù),可得

同理對(duì)函數(shù)(2.7)求有限次導(dǎo)數(shù),得

然后,我們把(2.8)-(2.11)或(2.12)-(2.15)代入到化簡(jiǎn)的常微分方程(2.5)中來(lái).通過(guò)(2.12)-(2.15)余弦函數(shù)項(xiàng)之間的平衡,或者使用(2.8)-(2.11)正弦函數(shù)項(xiàng)之間的平衡,最后通過(guò)代數(shù)計(jì)算來(lái)確定λ,μ和m的值,從而獲得方程(2.1)的孤立波解.

3.方程的孤立波解

下面考慮5階KdV方程

其中描述行波解是u(x,t).應(yīng)用(2.3)和(2.4)變換,方程(3.1)可變?yōu)?/p>

對(duì)上述方程積分,并令常數(shù)為零,可得

把(2.12)-(2.15)式代入到(3.3)式,整理可得

根據(jù)余弦項(xiàng)之間的平衡,對(duì)比方程(3.4)中的余弦項(xiàng)次數(shù),得

即

把m=?2 帶入方程(3.4)中,整理可得

令方程(3.7)中余弦項(xiàng)的系數(shù)為零,可得

解方程組(3.8)得

因此,方程(3.1)的解為

或者,把(2.8)-(2.11)式代入到(3.1)式,同理可得方程(3.1)的解為

其中ξ=x ?16μ4t.

設(shè)μ=iμ1,那么(3.11)式變?yōu)?/p>

或者(3.12)式變?yōu)?/p>

其中ξ=x ?16μ41t.

圖3.1 方程(3.13)所表示的孤立波解,系數(shù)為:μ1 = 14,β =2,γ =2

圖3.2 方程(3.13)所表示的孤立波解,系數(shù)為:μ1 =?12,β =2,γ =2

下面我們具體討論三種方程的孤立波解:

令γ=10 得Lax方程[16]

方程(3.16)的孤立波解為

或者

其中ξ=x ?16μ41t.

b) 當(dāng)β=γ,α=51γ2時(shí),方程(1.1)為

令γ=5 得Sawada-Kotera(SK)方程[21]

方程(3.20)的孤立波解為

或者

其中ξ=x ?16μ41t.

c) 當(dāng)β=γ,α=15γ2時(shí),方程(1.1)為

令γ=30 得Caudrey-Dodd-Gibbon方程(CDG)[22]

方程(3.24)的孤立波解為

或者

其中ξ=x ?16μ41t.

4.小結(jié)

本文主要對(duì)一類5階KdV方程的解析解進(jìn)行了研究.應(yīng)用Sine-Cosine展開法對(duì)具有一般性的5階KdV方程求解,通過(guò)分別比較余弦項(xiàng)(正弦項(xiàng))的次數(shù)和系數(shù),得出了一類5階KdV方程的孤立波解.然后應(yīng)用所得的結(jié)果相應(yīng)地得到了三種方程: Lax方程,Sawada-Kotera方程,Caudrey-Dodd-Gibbon方程的孤立波解,其結(jié)果擴(kuò)充了5階KdV方程解的結(jié)構(gòu).