，，

(1. 福建工程學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，福建 福州 350118；2. 閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建 漳州 363000)

近年來，由于混沌系統(tǒng)的理論研究價(jià)值及其在實(shí)際應(yīng)用中的優(yōu)勢(shì)，混沌同步研究在不同領(lǐng)域被研究、關(guān)注[1-4]。有限時(shí)間同步是混沌同步研究的主要問題之一，目前已取得一系列成果[5-12]：對(duì)于兩個(gè)帶有不確定性的異結(jié)構(gòu)二階混沌系統(tǒng)，采用狀態(tài)反饋控制器實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間同步[5]；對(duì)于兩個(gè)相同的4階Rabinovich超混沌系統(tǒng)，設(shè)計(jì)反饋控制器實(shí)現(xiàn)主從系統(tǒng)有限時(shí)間同步[10]；對(duì)于兩個(gè)相同的混沌系統(tǒng)，利用非奇異坐標(biāo)變換，設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的有限時(shí)間同步[11]；對(duì)于兩個(gè)帶有或不帶有未知參數(shù)的異階混沌系統(tǒng)，分別設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器和反饋控制器實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間同步[12]。但是文獻(xiàn)[5][12]中的控制器包含主-從系統(tǒng)的所有信息，一般情況下很難實(shí)現(xiàn)。

實(shí)際系統(tǒng)難免存在不確定性，因此，F(xiàn). Amato等研究帶有時(shí)變未知參數(shù)和參數(shù)擾動(dòng)的線性系統(tǒng)有限時(shí)間控制問題[13]。對(duì)于帶有非線性不確定性的一類混沌系統(tǒng)，T.G. Gao等設(shè)計(jì)滑模控制器，使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)有效跟蹤一個(gè)光滑目標(biāo)軌跡[14]。對(duì)于兩個(gè)完全相同的混沌系統(tǒng)，H. Wang等設(shè)計(jì)含有eβ(β=q/p<1)項(xiàng)的控制器實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間同步[15]。對(duì)于帶有不確定性的永磁同步電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)，Y. H. Sun等設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的有限時(shí)間同步和參數(shù)識(shí)別[16]。對(duì)于兩個(gè)相同的二階非自治混沌系統(tǒng)，Y.Q. Yang等設(shè)計(jì)線性狀態(tài)反饋控制器實(shí)現(xiàn)主-從系統(tǒng)有限時(shí)間同步[17]。

本研究引入虛擬未知參數(shù)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步，避免了控制器和參數(shù)更新率中出現(xiàn)系統(tǒng)未知參數(shù)，在此基礎(chǔ)上，采用自適應(yīng)控制方法實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步。

1 問題描述

考慮帶有未知參數(shù)和外界擾動(dòng)的系統(tǒng)

(1)

其中x∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)變量，α∈Rm是未知參數(shù)，f(x)∈Rn×1、F(x)∈Rn×m是非線性矩陣函數(shù)，d(x,t)∈Rn是外界擾動(dòng)。

引入虛擬未知參數(shù)αm+1, 方程(1)改寫為

(2)

注1. 許多混沌系統(tǒng)都可以描述為系統(tǒng)(1) 、(2)的形式。以Lorenz系統(tǒng)為例，

f(x)+F(x)α=

(3)

注2. 系統(tǒng)(1)與(2)是一致的，虛擬未知參數(shù)并不改變系統(tǒng)的行為。

2 有限時(shí)間同步

令方程(1)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為

(4)

響應(yīng)系統(tǒng)(4)所對(duì)應(yīng)的含有虛擬未知參數(shù)的系統(tǒng)為

(5)

在設(shè)計(jì)控制器u(t,x)和參數(shù)更新率實(shí)現(xiàn)耦合系統(tǒng)(1)與(4)的有限時(shí)間同步。由于系統(tǒng)的等價(jià)性，將其變化為系統(tǒng)(2)與(5)的有限時(shí)間同步問題。為此，給出下列假設(shè)：

H3. 不確定參數(shù)α,β和外界擾動(dòng)d(x,t)均范數(shù)有界，即

‖α‖≤δα,‖β‖≤δβ,‖d(x,t)‖≤δd，

定義誤差變量e=x-y，可得誤差系統(tǒng)為

d(x,t)-u(t,x)

(6)

因此系統(tǒng)(2)-(5)的有限時(shí)間同步問題轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)(6)的有限時(shí)間穩(wěn)定問題。下文給出有限時(shí)間同步的定義和一些引理。

定義[15]考慮兩個(gè)混沌系統(tǒng):

其中xm,xs是n維向量。下標(biāo)‘m’、‘s’分別表示主、從系統(tǒng)。f:Rn→Rn、h:Rn→Rn是向量函數(shù)。如果存在一個(gè)常數(shù)T>0, 使得

且若t≥T，有‖xm-xs‖≡0，則稱系統(tǒng)(7)有限時(shí)間同步。

引理2[6]對(duì)于任意給定a,b∈R,0

下面給出主要結(jié)果。

定理1若假設(shè)條件H1～H3成立，且滿足下列條件：

(Ι) 控制器

u(x,t)=

(8)

(9)

(10)

證明: 選取Lyapunov函數(shù)

容易驗(yàn)證，當(dāng)控制器為(8)-(10)時(shí)，方程(6)右端不連續(xù)。因此由微分包含理論[19],方程(6)改寫為

d(x,t)-u(t,x)],

(11)

其中 “a.e.” 表示幾乎處處，“K[·]” 為微分包含。

從而，V沿著誤差系統(tǒng)(11)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

由假設(shè)H1～H3 和方程(8)可得

(12)

下面分3種情形討論：

顯然下列不等式成立，

因此，

由引理2可得，

綜上所述，存在正常數(shù)0<θ*≤1，使得

由引理1可知，當(dāng)t=t1時(shí)，誤差系統(tǒng)(6)穩(wěn)定于原點(diǎn)，其中

因此驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)(2)與(5)，即系統(tǒng)(1)與(4)實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間同步。

注3. 定理1引入虛擬未知參數(shù)是為了在控制器和參數(shù)更新率中不出現(xiàn)未知參數(shù)情況下，實(shí)現(xiàn)異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)有限時(shí)間同步。但是，如文獻(xiàn)[21]，控制器中含有未知參數(shù)。

注 4. 定理1可推廣到具有多個(gè)虛擬未知參數(shù)的異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步。

3 數(shù)值仿真

算例1：R?ssler系統(tǒng)和修正的Chua系統(tǒng)

為驗(yàn)證上述方法的有效性，選取R?ssler系統(tǒng)為主系統(tǒng)，

(13)

其中，d(x,t)為外界擾動(dòng)，α為未知參數(shù)。

從系統(tǒng)為修正的Chua系統(tǒng)[22]

(14)

圖1 R?ssler系統(tǒng)混沌吸引子在x1-x2平面、x1-x3平面上的投影Fig.1 x1-x2 and x1-x3 plane projections of R?ssler attractor

圖2 混沌系統(tǒng)(3)-(15)的同步誤差Fig.2 Synchronization error between systems (3) and (15)

算例2：Lorenz系統(tǒng)和Genesio系統(tǒng)

選取Lorenz系統(tǒng)(3)為主系統(tǒng)，從系統(tǒng)為Genesio系統(tǒng)[23]，

(15)

圖3 Lorenz系統(tǒng)混沌吸引子在x1-x3平面、x2-x3平面上的投影Fig.3 x1-x3 and x2-x3 plane projections of Lorenz attractor

圖4 混沌系統(tǒng)(3)-(15)的同步誤差Fig.4 Synchronization error between systems (3) and (15)

4 結(jié)論

研究帶有外界擾動(dòng)和未知參數(shù)的兩個(gè)異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問題。通過引入虛擬未知參數(shù)，設(shè)置控制器和未知參數(shù)更新率實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的有限時(shí)間同步，有效地避免了控制器和參數(shù)更新率中出現(xiàn)系統(tǒng)未知參數(shù)，使方法更具備實(shí)用性。數(shù)值仿真說明上述方法的有效性。